小學(xué)六年級奧數(shù)第十四章統(tǒng)籌問題

1、第十四章統(tǒng)籌問題知識要點在日常生活和生產(chǎn)中， 我們會經(jīng)常遇到一些事情需要進(jìn)行合理、科學(xué)地安排，既要在指定時間內(nèi)完成任務(wù)，又要考慮到精打細(xì)算， 用最少的時間、人力、物力，發(fā)揮出最大的效率。 這就涉及這一章的知識“統(tǒng)籌問題”。它包含的內(nèi)容非常廣泛，例如統(tǒng)籌安排問題、排隊問題、最短路線問題、場地設(shè)置問題、物資調(diào)運問題、最省運費問題等等，每類問題都有特定 的解法。這些來源于生活的實際問題，正是啟發(fā)同學(xué)們學(xué)數(shù)學(xué)、 用數(shù)學(xué)最好的思維鍛煉題目。例1趙鄉(xiāng)長下村召集甲、乙、丙、丁四個村的干部開會，這四個村子，每兩個村子都是相 距5千米(如下圖)，參加會議的人數(shù)甲村 8人，乙村5人，丙村3人，丁村7人。試求趙鄉(xiāng)

2、長應(yīng)在()村子召集會議最為合理。5T.5K鄉(xiāng)于米5干*甲村乙村丙村丁村8 人 5 人3人 7 人點拔 要使所有參加會議的人所走路程的總和最小，首先，某村人數(shù)是總?cè)藬?shù)的一半以上，該村就是設(shè)置會場的最好地點，這稱為“小往大靠”。其次，某村人數(shù)不超過總?cè)藬?shù)的一半，可以把本村人移到鄰近村莊，這稱“支往干靠”。解四村總?cè)藬?shù)的一半是(8 + 5+ 3 + 7)十2= 11.5(人)，沒有一個村莊的人數(shù)多于11.5人，屬于“支往干靠”。甲村人數(shù)+乙村人數(shù)=8+ 5= 13(人)丙村人數(shù)+ 丁村人數(shù)= 3+ 7= 10(人)因為10V 13，所以“小往大靠”。顯然會議地點應(yīng)選在乙村最為合理。例2天津和廣州同時

3、制成大型電子計算機若干臺，天津可調(diào)往外地12臺，廣州可調(diào)往外地6臺?，F(xiàn)決定給成都調(diào)去 10臺，給合肥調(diào)去8臺，若每臺運費如下表所示，問怎樣調(diào)運 運費最?。抠M用點成都合肥天津P00元500元廣州60Q元40(丘點撥一 依題意，設(shè)廣州調(diào)往合肥x臺(x < 6)。根據(jù)題中的相應(yīng)數(shù)量關(guān)系列關(guān)于總費用的關(guān) 系式，再通過對最值問題的討論，則問題易解。解法一 設(shè)廣州調(diào)往合肥x臺(1 < 6),貝U廣州調(diào)往成都應(yīng)為(6 x)臺，天津調(diào)往合肥(8 x) 臺，天津調(diào)往成都12 (8 x) = (4 + x)臺，則總費用為：400x+ 600X (6 x) + 500X (8 x) + 900X (4

4、+ x)=400x 600x 500x + 900x + 3600+ 4000 + 3600=200x+11200要使運費最省，只有當(dāng) x = 0時，這時總運費為11200元。即天津調(diào)運4臺到成都，調(diào) 運8臺到合肥，廣州的6臺全調(diào)運至成都，運費最省。點撥二 通常從運費最少的地方考慮，如廣州的6臺全運給合肥，則合肥還缺2臺，再從天津運2臺給合肥，其余運給成都。計算總費用，但不一定最少。還應(yīng)比較一下，需要量多、 運費也多的地方如何運才能使運費最省，如廣州的6臺全運給成都后，再從天津運4臺給成都，其余全部運給合肥。計算總運費，比較一下便知，怎樣調(diào)運運費最少。解法二通常從運費最少的那個地方考慮，如廣州

5、的6臺全運往合肥只需400X 6=2400（元），還缺2臺，再從天津運來 2臺運費為500X 2= 1000（元），總計：2400+ 1000 =3400（元），與上面計算的從天津調(diào) 8臺到合肥的運費 500X 8= 4000（元）比較是節(jié)省了，但 總的費用反而多：10X 900+ 3400= 12400。這就告訴我們，應(yīng)該先比較一下， 需要量多運費 也多的地方如何運最省。如運往成都，廣州6臺運費600X 6= 3600（元），成都還缺少4臺，再從天津調(diào)運，運費900X 4= 3600（元），比直接從天津調(diào)運到成都省10X 900- 3600 3600=1800（元）。因此天津調(diào)運4臺到成都，

6、調(diào)運8臺到合肥，廣州的6臺調(diào)運至成都，運費最 少。例3（ “華羅庚金杯”決賽試題）有十個村莊，坐落在從水庫出發(fā)的一條公路上（如下圖，距離單位是千米），要安裝水管，從水庫送自來水供給各村，可以用粗細(xì)兩種水管。粗管足夠 供應(yīng)所有各村用水，細(xì)管只能供應(yīng)一個村用水。粗管每千米要用8000元，細(xì)管每千米要用2000元。把粗管和細(xì)管適當(dāng)搭配、互相連接，可以降低工程的總費用，按你認(rèn)為最節(jié)約的方法，費用應(yīng)是多少？蟲庫3052 4232225 亠 如 | k K 1” Afl*iR、歇 乩 jffj Rq點撥由題意可知，粗管每千米的費用正好是細(xì)管每千米費用的4倍，因此，如果在同一段上要安裝4根以上的細(xì)管，就應(yīng)該

7、用一根粗管來代替，便可降低工程的總費用。解 假設(shè)從水庫到每個村子都各接一根細(xì)管 （如上圖），那么在AB、AE2、AE3、AB、AE5、 AB之間各有10根、9根、8根、7根、6根、5根細(xì)管，應(yīng)該把 A與Be之間都換裝粗管，工 程的總費用將最低，這時的總費用是8000X （30 + 5 + 2+ 4 + 2+ 3） + 2000X （2 X 4+ 2X 3+ 2X 2+ 5） = 414000（元）說明 做這類問題時，根據(jù)粗管費用是細(xì)管費用的a倍（或v a倍），那么最后a（或a 1）個村子用細(xì)管，這樣費用最省。例4 （北京市“迎春杯”競賽試題 ）甲地有89噸貨物運到乙地，大卡車的載重量是 7噸，

8、小 卡車的載重量是4噸，大卡車運一趟貨物耗油 14升，小卡車運一趟貨物耗油 9升。運完這 些貨物最少耗油多少升？點撥 大卡車載重7噸，運一趟貨物用汽油14升，運1噸貨平均用汽油14-7= 2（升）;小1卡車載重4噸，運一趟貨物用汽油 9升，運一噸貨平均耗油 9十4= 2丄（升）。因為大卡車比4小卡車耗油量少，應(yīng)盡量用大卡車運。解（1）如果89噸全用大卡車運，要運89- 7 13（趟），耗油14X 13= 182（升）。（2）如果用大卡車運 12趟，89 = 7X 12+ 5,所以剩下的5噸要用小卡車運 2趟，耗油14X 12+ 9X 2= 186（升）。（3） 如果用大卡車運 11趟，89 =

9、 7X 11+ 12,所以剩下的12噸用小卡車運3趟，耗油 14X 11 + 9X 3= 181（升）。三種方法比較，安排大卡車運11趟，小卡車運3趟耗油最少，最少耗油181升。說明計算這類問題時要注意，不一定是大、小卡車正好把貨物裝完才最省油，需要嘗試幾種運法后才能得出正確答案。例5 （第二屆“祖沖之杯”邀請賽試題 ）某人從住地外出有兩種方案，一種是騎自行車去， 另一種是乘公共汽車去。顯然公共汽車的速度比自行車的速度快，但乘公共汽車有一個等候時間（候車時間可看做是固定不變的 ）。在任何情況下，他總會采用花時間最少的最佳方案。下表表示他到達(dá) A、B、C三地采用最佳方案所需要的時間。為了到達(dá)離他

10、8千米的地方，他需要花多少分鐘？請簡述理由。目的地目的地距住地的路程最佳方案所需時間1A地2千米12分鐘B地3千米15.5分鐘C地4千米18分鐘點撥A、B兩地離住地相差1千米，多用3.5分鐘；而B C兩地離住地相差1千米，只多 用2.5分鐘，由此可見，至U A、B C三地采用了不同的方案。由于候車時間是固定的，由常識可知較遠(yuǎn)處的 C地是乘公共汽車，而較近的 解 顯然去B地不是騎自行車，因為如果去 （12十2） X 3= 18（分鐘），而實際最佳方案只需 由B、C兩地都是乘公共汽車，可知汽車行 算出候車時間是8分鐘。A地是騎自行車。B地采用騎自行車的方案，那么需要的時間是 15.5分鐘，所以去B

11、地是乘公共汽車。1千米需18 - 15.5 = 2.5（分鐘），由此又可所以，到達(dá)離住地8千米的地方應(yīng)用乘公共汽車的方案，需要時間是8+ 2.5 X 8= 28（ 分鐘）。說明這類題要根據(jù)路程間的相差關(guān)系和時間的相差關(guān)系來確定出最佳方案。例6有四輛汽車要派往五個地點運送貨物 （如右圖），O中的數(shù)字分別表示五個地點完成任 務(wù)需要的裝卸工人數(shù)，五個地點共需裝卸工 20人。如果有些裝卸工可以跟車走，那么應(yīng)如 何安排跟車人數(shù)及各點的裝卸工人數(shù)，使完成任務(wù)所用的裝卸工總?cè)藬?shù)最少？點撥一 可用嘗試法。因為五個地點中需裝卸工最多的是 5個人，所以如果每輛車跟 5名工 人，那么每輛車到達(dá)任何一個地點，都能正常

12、進(jìn)行裝卸。 由此得到，跟車人數(shù)的試探范圍是15人。解法一 若每車跟車5人，則各點不用安排人，共需 20人；若每車跟車 4人，則原來需5 人的點還需各安排1人，共需18人；若每車跟車3人，則原來需5人的點還需各安排 2人，原來需4人的點還需各安排 1 人，共需17人；同理可求出，每車跟車 2人，共需18人；每車跟車1人，共需19人。可見，安排每車跟車 3人，原來需5人的兩個點各安排 2人，原來需4人的點安排1 人，這時所用的裝卸工總?cè)藬?shù)最少，需17人。點撥二 假設(shè)有m個地點，n輛車(n < m), m個地點需要的人數(shù)按從多到少排列為A,A m,則需要的最少總?cè)藬?shù)就是前n個數(shù)之和，即A 1+

13、 A+ , + Ano這時每車的跟車人數(shù)可以是An+ 1至An之間的任一數(shù)。解法二 具體到例6, 5個點4輛車，5個點中需要人數(shù)最多的 4個數(shù)之和，即5 + 5+ 4 + 3 =17(人)就是需要的最少總?cè)藬?shù)，因為A4=3，所以每車跟車 3人。若在例6是只有2輛車，其他條件不變，則最少需要 5+ 5= 10(人)，因為A2= 5,4,所以每車跟車5人或4人。當(dāng)每車跟車5人時，所有點不再安排人；當(dāng)每車跟車4人時，需要5人的兩個點各安排1人，其余點不安排人。說明 如果車輛數(shù)大于地點數(shù)，即n>m則跟車人數(shù)是0,各點需要人數(shù)之和就是總共需要的最少人數(shù)。例7 (第四屆“希望杯”邀請賽試題 )某班4

14、0名師生星期天參加植樹活動，師生按身體狀況分成甲、乙、丙三種人員。他們的任務(wù)是挖樹坑和運樹苗兩種活，要求挖樹坑30人，運樹苗則運得越多越好。甲、乙、丙三種勞動人員的效率，如下表所示，試求最合理的人員分 配方案及運樹苗總數(shù)。=5運樹苗人數(shù)1' 122015乙1.210150. 87!0點拔 看了題目后，一定會有人覺得這個問題不難解決，可以讓甲種人員去挖坑，乙種和丙種人員去運樹苗。這確實是一種方案。由于這種方案滿足挖30個坑的要求，并且運樹苗為220棵(10 X 15+ 7X 10)。但這種方案不是最優(yōu)方案。我們的目的是在完成挖樹坑30個的基礎(chǔ)上，使運樹苗盡可能多，此時應(yīng)用的方法是“相對效

15、率”法。解先求出各種勞動人員的挖坑與運樹的相對效率：甲=0.1，乙=0.12，丙=0.11420107由此得到：甲v丙v乙。因為乙種人員挖坑的相對效率高，所以優(yōu)先安排乙種人員去挖坑。乙種人員共15人，挖坑1.2 X 15= 18(個)，這不能完成挖 30個樹坑的任務(wù)，再安排相對效率次高的丙種人員 去挖坑，丙種人員共10人，挖坑8個(0.8 X 10)，還差4個樹坑，最后安排2個甲種人員去 挖坑，這樣30個樹坑的任務(wù)全都安排好了，剩下的13名甲種人員是運樹，可運260棵(20 X 13)樹苗。這顯然比前面所得 220棵要多，如此得到了最優(yōu)方案。即由13名甲種人員去運樹苗，其余的人員全部去挖樹坑。

16、說明“相對效率”是指一名勞動人員干兩種工作的效率之比，如本題中甲種勞動人員挖樹2坑與運樹苗的效率之比是 =0.1，它是指甲種勞動人員平均運一棵樹，相當(dāng)于他挖0.1201 2個樹坑。又如乙種勞動人員的相對效率是=0.12，即乙種人員運一棵樹，相當(dāng)于他挖100.12個樹坑。如此可知，雖然乙種人員一天內(nèi)挖樹坑或運樹苗的單一效率比甲種人員差， 但相對效率卻比甲高，這就是說乙種人員在挖樹坑時要比運樹苗發(fā)揮的能量更大。解題技巧統(tǒng)籌問題包含的內(nèi)容非常廣泛，并且每類問題都有特定的解法。如排隊問題，一般是把時間少的人或事放在前面；物資調(diào)運問題要巧妙設(shè)點加以解決；最少人力問題要采用逐步調(diào)整法，找出符合要求的答案。

17、 有些問題存在著兩種或兩種以上的方案，需要根據(jù)題意選擇最佳方案；有些數(shù)字問題的分析、解答與兩個或兩個以上的條件有關(guān)系，根據(jù)解題的需要同時兼顧這些條件分析思考。在學(xué)習(xí)過程中，要掌握分析問題的某些樸素的思想方法，如高效率優(yōu)先的原則，調(diào)整比較的思想，嘗試探索的方法等。競賽能級訓(xùn)練A 級1. A、B兩個糧店分別有 70噸和60噸大米，甲、乙、丙三個居民點分別需要30噸、40噸和50噸大米。從A、B兩糧店每運1噸大米到三個居民點的運費如下表所示。如何調(diào)運才能使運費最少？運如矗、到站甲乙內(nèi)A1331052. 電車公司維修站有 7輛電車需要進(jìn)行維修。如果用一名工人維修這 7輛電車的修復(fù)時間分 別為12分鐘、

18、17分鐘、8分鐘、18分鐘、23分鐘、30分鐘、14分鐘。每輛電車每停開 1 分鐘經(jīng)濟損失11元?，F(xiàn)在由3名工作效率相同的維修工人各自單獨工作，要使經(jīng)濟損失減到最低程度，最少損失多少元？3. 某蔬菜專業(yè)隊有甲等勞力 15人、乙等勞力23人、丙等勞力15人、丁等勞力25人，他們既要整地，又要種菜，而且要求每天整出的地要及時種上菜。應(yīng)如何調(diào)配安排勞力，才能使一天種菜25公畝，并整地盡量多？（各種勞力整地和種菜的效率如下表）第地種菜屮等1.10. 815山7L亠 ”230+ 70. 515丁等仏54.A、B兩地油井每月各產(chǎn)原油30萬噸、50萬噸，準(zhǔn)備投資修建=座煉油廠，加工A B兩地所產(chǎn)的原油。煉油

19、廠建于何處時，才能使運費最??？（兩地噸公里運費相同）5. 打字室收到一份共 12整頁的文件，要求盡快打印。小王每小時能打3頁，小紅每小時能打4頁。兩人同時打字，小王和小紅各打多少頁完成任務(wù)最快？需要多少小時？6. 某水池可以用甲、乙兩個水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需 24小時注滿?，F(xiàn)在要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能的少，那么甲、乙合放最少 需多少小時？7. 有一個80人的觀光團，其中男 50人，女30人，他們住的旅館有 11人、7人和5人的三種房間。男、女分住不同房間， 而且每個房間都按原定人數(shù)住滿了旅游團的成員。他們至少要住幾個房間？B 級1. 一條單線鐵

20、路上有 A B、C D E五個車站，它們之間的距離如下圖所示 （單位：千米）。 兩列火車同時從 A、E兩站相對開出，從A站開出的火車每小時行 60千米，從E站開出的火 車每小時行50千米。由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道，要使對面開來的列車通過，須在車站停車，才能讓開行車軌道。因此應(yīng)該安排在（） 站相遇，才能使停車等待的時間最短。先到這一站的那列火車至少需要停車（） 分鐘。R C DEAI_11i22525 ）52302. 某種產(chǎn)品是由一個大零件和兩個小零件組成的，師傅每小時可生產(chǎn)9個大零件或者14個小零件。徒弟每小時可生產(chǎn) 3個大零件或者10個小零件?，F(xiàn)在要生產(chǎn)27個這種產(chǎn)品，兩人 合

21、作至少用多少小時？3. 建筑工程隊給窗戶安鐵齒，需要長度分別為44cm 36cm 65.5cm的鋼筋?，F(xiàn)在有一批長800cm的鋼條，每鋸斷一根需要損耗 0.5cm。最好每根800cm長的鋼筋鋸成 44cm的（） 根，36cm的（） 根，65.5cm的（） 根才不浪費。4. 某縫紉社有甲、乙、丙、丁四個小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子?，F(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套一件上衣和一條褲子），7天中這四個小組最多可縫制多少套衣服？5. 鋼筋原材料每件長 7.3米，每套鋼筋架子用長2.9米、

22、2.1米和1.5米的鋼筋各一段。現(xiàn)在需要綁好鋼筋架子 100套，至少要用去原材料幾件？截料方法怎樣最??？6. 有100名少先隊員在岸邊準(zhǔn)備坐船去湖中離岸邊600米的甲島，等最后一人到達(dá)甲島15分鐘后，再去離甲島900米的乙島?，F(xiàn)有機船和木船可各坐10人和25人，機船速度為每分鐘300米，機船速度是木船速度的兩倍。 最后一批少先隊員到達(dá)乙島最短需要多長時間？（按小時計算）37. 甲、乙兩個服裝廠的工人和設(shè)備都能全力生產(chǎn)同一規(guī)格的西服。甲廠每月用的時間生5243產(chǎn)上衣，一的時間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)900套西服；乙廠每月用一的時間生產(chǎn)上衣，一577的時間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)1200套西服?，F(xiàn)在兩

23、廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長多生產(chǎn)西服，那么現(xiàn)在每月比過去多生產(chǎn)西服多少套？8. 某天然氣站要安裝天然氣管道通往位于一條環(huán)形線上的AG七個居民區(qū)，每兩個居民區(qū)間的距離如右圖所示（單位：千米）。管道有粗、細(xì)兩種規(guī)格，粗管可供所有七個居民區(qū)用氣， 每千米8000元；細(xì)管只能供一個居民區(qū)用氣，每千米3000元。粗、細(xì)管的轉(zhuǎn)接處必須在居民區(qū)中，問應(yīng)怎樣搭配使用這兩種管道才能使費用最??？4H1亠育7卜'E9. 一條環(huán)行道路,周長 2千米。甲、乙、丙三人從冋一點冋時出發(fā)，每人環(huán)行兩周?，F(xiàn)有自行車兩輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙或丙下車步行，把自行車留給其他人騎。已知甲步行的速度是每小時 5千米，乙和丙步行的速度是每小時 4千米，三人騎車的速 度都是每小時20千米。請你設(shè)計一種走法，使三個人、兩輛車同時到達(dá)終點。環(huán)形兩周最 少要用多少分鐘？能力測試一、填空題（每題8分，共48分）1. 炒一道菜需五道程序，每道程序所需時間如下：洗菜3分鐘，切菜2分鐘，刷炒菜鍋1分鐘，燒熱油4分鐘，炒菜3分鐘。那么炒好這道菜所需的最短時間為 分鐘。2. 小明、小剛、小紅、小芳四人分別用16千克、14千克、12千克、10千克的水桶在同一個水龍頭下打水，假設(shè)每分鐘水的流量是1千克，那么四人等待打水