平面彎曲梁的強度和剛度計算

1、第八章 平面彎曲梁的強度與剛度計算§8-1 純彎曲時橫截面的正應力一純彎曲試驗：純彎曲：內(nèi)力只有彎矩，而無剪力的彎曲變形。剪切彎曲：既有彎矩，又有剪力的彎曲變形。為了研究梁橫截面上的正應力分布規(guī)律，取一矩形截面等直梁，在表面畫些平行于梁軸線的縱線和垂直干梁軸線的橫線。在梁的兩端施加一對位于梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的力偶，梁則發(fā)生彎曲。梁發(fā)生彎曲變形后，我們可以觀察到以下現(xiàn)象：橫向線仍是直線且仍與梁的軸線正交，只是相互傾斜了一個角度；縱向線（包括軸線）都變成了弧線；梁橫截面的寬度發(fā)生了微小變形，在壓縮區(qū)變寬了些，在拉伸區(qū)則變窄了些。根據(jù)上述現(xiàn)象，可對梁的變形提出如下假設：平面假設：梁彎曲變形時，

2、其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉(zhuǎn)過了一個微小的角度。單向受力假設：設梁由無數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài)。 可以看出，梁下部的縱向纖維受拉伸長，上部的縱向纖維受壓縮短，其間必有一層纖維既不伸長也木縮短，這層纖維稱為中性層。中性層和橫截面的交線稱為中性軸，即圖中的Z軸。梁的橫截面繞Z軸轉(zhuǎn)動一個微小角度。二梁橫截面上的正應力分布： 圖中梁的兩個橫截面之間距離為dx，變形后中性層纖維長度仍為dx且dx=d。距中性層為y的某一縱向纖維的線應變?yōu)椋?#160;對于一個確定的截面來說，其曲率半徑是個常數(shù)，因此上式說明同一截面處任一點縱向纖維的線應變與該點到中性層的距離成正比。

3、由單向受力假設，當正應力不超過材料的比例極限時，將虎克定律代入上式，得： 由上式可知，橫截面上任一點的彎曲正應力與該點到中性軸的距離成正比，即正應力沿截面高度呈線性變化，在中性軸處，y=0，所以正應力也為零。 三梁的正應力計算： 在梁的橫截面上任取一微面積dA，作用在這微面積上的微內(nèi)力為dA，在整個橫截面上有許多這樣的微內(nèi)力。微面積上的微內(nèi)力dA對z軸之矩的總和，組成了截面上的彎矩則式中稱為橫截面對中性軸的慣性矩，是截面圖形的幾何性質(zhì)，僅與截面形狀和尺寸有關。上式是梁純彎曲時橫截面上任一點的正應力計算公式。應用時M及y均可用絕對值代入，至于所求點的正應力是拉應力還

4、是壓應力，可根據(jù)梁的變形情況，由纖維的伸縮來確定，即以中性軸為界，梁變形后靠凸的一側(cè)受拉應力，靠凹的一側(cè)受壓應力。也可根據(jù)彎矩的正負來判斷，當彎矩為正時，中性軸以下部分受拉應力，以上部分受壓應力，彎矩為負時，則相反。橫截面上最大正應力發(fā)生在距中性軸最遠的各點處。即令則WZ稱為抗彎截面模量，也是衡量截面抗彎強度的一個幾何量，其值與橫截面的形狀和尺寸有關。彎曲正應力計算公式是梁在純彎曲的情況下導出來的。對于一般的梁來說，橫截面上除彎矩外還有剪力存在，這樣的彎曲稱為剪切彎曲。在剪切彎曲時，橫截面將發(fā)生翹曲，平截面假設不再成立。但較精確的分析證明，對于跨度l與截面高度h之比 l/h>5的梁，計算

5、其正應力所得結(jié)果誤差很小。在工程上常用的梁，其跨高比遠大于5，因此，計算式可足夠精確地推廣應用于剪切彎曲的情況。§8-2 常用截面二次矩 平行移軸公式一、常用截面二次矩：1、矩形截面：2、圓形截面與圓環(huán)形截面：圓形截面： IZd4/64 WZd3/32圓環(huán)形截面： IZ（D4d4）/64 WZd31-(d/D)4/323、型鋼的截面：查表，見附錄。二組合截面二次矩 平行移軸公式：計算彎曲正應力時需要截面對中性軸的慣性矩，截面的中性軸又是截面的形心主軸。在截面上任一點K，取鄰域dA，K點到z軸、y軸的距離分別為y、z，定義y2dA、z2dA為微元對z軸、y軸的慣性矩，分別記作：dIz=

6、y2dA dIy=z2dA上式對整個截面積分，得截面對z軸、y軸的慣性矩：圖所示的截面形心為C，面積為A，zc軸、yc軸通過截面形心C，現(xiàn)有不通過形心的z軸、y軸分別與zc軸、yc軸平行，兩軸之間的距離分別為a、b，截面對z軸、zc軸以及對y軸、yc軸的慣性矩有以下關系：IZ=IZc+a2AIY=IYc+b2A上式稱為慣性矩的平行移軸公式，即截面對任一軸z的慣性矩等于該截面對過形心而平行于z軸的zc軸的慣性矩加上兩軸之間的距離的平方與截面面積的乘積見教材P146例題8.1。§8-3 彎曲正應力強度計算為保證梁安全地工作，危險點處的正應力必須小于梁的彎曲許用應力，這是梁的正應力強度條件

7、。對于塑性材料，其抗拉和抗壓強度相同，宜選用中性軸為截面對稱軸的梁，其正應力強度條件為：對于脆性材料，其抗拉和抗壓強度不同，宜選用中性軸不是截面對稱軸梁，并分別對抗拉和抗壓應力建立強度條件：對于中性軸不是截面的對稱梁，其最大拉應力值與最大壓應力值不相等。如圖所示的T形截面梁，最大拉應力和最大壓應力分別為：強度條件可解決三類強度計算問題： 強度校核：驗算梁的強度是否滿足強度條件，判斷梁在工作時是否安全。 截面設計：根據(jù)梁的最大載荷和材料的許用應力，確定梁截面的尺寸和形狀，或選用合適的標準型鋼。 確定許用載荷：根據(jù)梁截面的形狀和尺寸及許用應力，確定梁可承受的最大彎矩，再由彎矩和載荷的關系確定梁的許

8、用載荷。注：對于非對稱截面，需按公式分別計算三類問題?！纠繄D示T形截面鑄鐵外伸梁，其許用拉應力30MPa，許用壓應力60MPa，截面尺寸如圖。截面對形心軸z的慣性矩Iz763mm4，且y1=52cm。試校核梁的強度。   解：1、求支座反力：FA=2.5kN FB=10.5kN畫出彎矩圖，最大正彎矩在C點，最大負彎矩在B點，即C點為上壓下拉，而B點為上拉下壓。2、求出B截面最大應力：最大拉應力（上邊緣）最大壓應（下邊緣）3、求出C截面最大應力：最大拉應力（下邊緣）最大壓應力（上邊緣）最大拉應力在C點且Cmax=28.83MPa<=30MPa最大壓應力在B點

9、且Bmax=46.13MPa<60MPa故梁強度足夠。見教材P147例題8.2/8.3/8.4。師生小結(jié)：1、純彎曲的定義及應用；2、梁的彎曲強度計算；3、應用。 §8-5 梁的彎曲變形概述梁在外載荷作用下將產(chǎn)生變形，梁不但要滿足強度條件，還要滿足剛度條件，即要求梁在工作時的變形不能超過一定的范圍，否則就會影響梁的正常工作。一、撓曲線方程：懸臂梁在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的外力P的作用下將發(fā)生平面彎曲，變形后梁的軸線將變?yōu)橐粭l光滑的平面曲線，稱為梁的撓曲軸線，也稱彈性曲線、撓曲線。y=f(X)梁的繞曲線方程。二、撓度和轉(zhuǎn)角：梁上任一截面C，變形后其形心在C/處，C截面的形心產(chǎn)生線

10、位移CC/。CC/既有水平分量，也有垂直分量，而水平分量很小，只討論垂直分量C/C/。截面形心位移的垂直分量稱該截面的撓度，用y表示。C截面不但產(chǎn)生線位移，還產(chǎn)生了角位移，橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動產(chǎn)生了角位移，此角位移稱轉(zhuǎn)角，用表示。撓度和轉(zhuǎn)角的正負號作如下規(guī)定：撓度與y軸正方向同向為正，反之為負；截面轉(zhuǎn)角以逆時針方向轉(zhuǎn)動為正，反之為負。只要知道梁的撓曲軸線方程y=f(x)，就可求出撓度和轉(zhuǎn)角。§8-6 用疊加法求梁的變形一、撓曲軸線近似微分方程：梁任一截面的曲率： (1)曲線y=f(x)的曲率： (2)代入（1）式得： (3)式（3）稱梁的撓曲軸線微分方程。由于y/很小，y/2更小，可忽

11、略。方程的正負號與彎矩M的正負號的規(guī)定以及撓度的正方向規(guī)定有關，規(guī)定撓度向上為正。彎矩M與曲線的二階導數(shù)y/的正負號關系為：1）梁的撓曲軸線是一下凸曲線，梁的下側(cè)纖維受拉，彎矩M>0，曲線的二階導數(shù)y/>0；2）梁的撓曲軸線是一上凸曲線，梁的上側(cè)纖維受拉，彎矩M<0，曲線的二階導數(shù)y/<0。由此可知，這兩種情況下彎矩與曲線的二階導數(shù)均同號，上式應取正號，即：注：書本P153表8.1給出了梁在簡單載荷下的撓曲線方程，端截面轉(zhuǎn)角和最大撓度。二、用疊加法求梁的變形： 小變形時梁彎曲撓度的二階導數(shù)與彎矩成正比，而彎矩是載荷的線性函數(shù)，所以梁的撓度與轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)，可以使用

12、疊加法計算梁的轉(zhuǎn)角和撓度，即梁在幾個載荷同時作用下產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角等于各個載荷單獨作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加和，這就是計算梁彎曲變形的疊加原理。舉例：外伸梁在外伸段作用有均布載荷q，梁的抗彎剛度為EI，求C截面的撓度。解：把外伸梁段上的均布載荷向B截面簡化，得集中力qa，力偶qa2/2，將使B截面產(chǎn)生轉(zhuǎn)角B，BC段的實際變形等于固定端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角B的懸臂梁。C截面的撓度由以下兩部分構(gòu)成：懸臂梁由于B截面產(chǎn)生轉(zhuǎn)角引起的撓度yC1和懸臂梁在載荷下產(chǎn)生的撓度yC2。首先計算B截面轉(zhuǎn)角B：三、梁的剛度條件：梁除了要滿足強度條件外，還要滿足剛度條件，即工作中的梁的撓度和轉(zhuǎn)角不能太大。設梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角

13、分別為ymax和max，而y和分別為撓度和轉(zhuǎn)角的許用值，則梁的剛度條件為：ymaxymax舉例：簡支梁選用32a工字鋼，P=20KN，l=8.86m，E=210Gpa，梁的許用撓度f=l/500，試校核梁的剛度。解：查表得：IZ=11100cm4。查表得梁的跨中撓度為：，；因為y<f，所以梁滿足剛度條件。見教材P155例題8.6。§8-7 提高梁的強度和剛度的措施1、合理安排梁的支承：均布載荷作用在簡支梁上時，最大彎矩與跨度的平方成正比，如能減少梁的跨度，將會降低梁的最大彎矩。舉例：2、合理地布置載荷：（P158圖8.20）使梁上載荷分散布置，可以降低最大彎矩。舉例：3、選擇梁的合理截面：根據(jù)抗彎截面系數(shù)與截面面積比值Wz/A選擇截面：抗彎截面系數(shù)越大，梁能承受載荷越大；橫截面積越小，梁使用的材料越少。同時考慮梁的安全性與經(jīng)濟性，可知Wz/A值越大，梁截面越合理。以下比較具有同樣高度h的矩形、圓形和工字形（槽形）截面的Wz/A值：高為h、寬為b的矩形截面：直徑為h的圓形截面：。高為h的工字形與槽形截面：?？梢娺@三種截面的合理順序是：1）工字形與槽形截面；2）矩形截面；3）圓形截面。截面形狀的合理性，可以從梁截面彎曲正應力的分布規(guī)律說明，梁截面的彎曲正應力沿截面高度呈線性變化，截面邊緣處的正應力最大，中性軸處的正應力值為零，