一講求極限的各種方法

1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案數(shù)值分析教研室課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對象2007級本科授課題目第一講求極限地各種方法課時數(shù)教案目地通過教案使學(xué)生掌握求極限地各種方法，重點掌握用等價無窮小量代換求極限；用羅必塔法則求極限；用對數(shù)恒等式求L二 極限；利用Taylor公式求極限;數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解重 占 八、 難 占 八、1用等價無窮小量代換求極限2用羅必塔法則求極限3. 用對數(shù)恒等式求 | 極限4. 利用Taylor公式求極限5 數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解第一講求極限地各種方法1.約去零因子求極限教 學(xué) 提 綱2. 分子分母同除求極限3. 分子（母有理化求極限4. 應(yīng)用兩個重要極限求極限5.

2、 用等價無窮小量代換求極限6. 用羅必塔法則求極限7. 用對數(shù)恒等式求.亠| 極限&數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解9. n項和數(shù)列極限問題10. 單調(diào)有界數(shù)列地極限問題教案過程與內(nèi)容第一講求極限地各種方法求極限是歷年測試地重點，過去數(shù)學(xué)一經(jīng)?？继羁疹}或選擇題，但近年兩次作為大題 出現(xiàn)，說明極限作為微積分地基礎(chǔ)，地位有所加強(qiáng)數(shù)學(xué)二、三一般以大題地形式出現(xiàn).用等價無窮小量代換求極限，用對數(shù)恒等式求工極限是重點，及時分離極限式中地非零因子是解題地重要技巧1 約去零因子求極限a例1:求極限【說明】 廠二表明一 無限接近 但七，所以|'|這一零因子可以約去【解】2 分子分母同除求極限例2:求

3、極限【說明】_型且分子分母都以多項式給出地極限，可通過分子分母同除來求【解】【評注】(1> 一般分子分母同除T地最高次方;(2>3 分子(母有理化求極限 例3:求極限_【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式【解】例4：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中地非零因子是解題地關(guān)鍵主要考第二個重要極限，第，再湊| ,最后湊指數(shù)部分例6: (1>回|;(2>已知 丨X I，求冃.4 應(yīng)用兩個重要極限求極限兩個重要極限是丨和個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn) 例5:求極限EKI【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊地步驟：先湊出15

4、.用等價無窮小量代換求極限【說明】Z1(1常見等價無窮小有：當(dāng)一時，(2等價無窮小量代換,只能代換極限式中地因式; a EI =3是不正確地(3此方法在各種求極限地方法中應(yīng)作為首選.例7:求極限 【解】例8:求極限【解】乂 例9:求極限【解】6 用羅必塔法則求極限 例10:求極限【說明】 日或勺型地極限，可通過羅必塔法則來求例11:求【說明】許多變動上顯地積分表示地極限，常用羅必塔法則求解【解】7 用對數(shù)恒等式求極限 例12:極限 4【說明】< 1）該類問題一般用對數(shù)恒等式降低問題地難度< 2）注意 時,【解】一二=例13:求極限【解】原式HI【又如】8 數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解

5、例14:極限 HJ,若直接求有一定【說明】這是形式地地數(shù)列極限，因為數(shù)列極限不能使用羅必塔法則難度,若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供地方法結(jié)合羅必塔法則求解【解】考慮輔助極限所以，9. n項和數(shù)列極限問題n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1用定積分地定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算;(2利用兩邊夾法則求極限.例15:極限0,1 :定積【說明】用定積分地定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算,是把 “看成【解】原式=例16:極限【說明】(i該題與上一題類似，但是不能湊成而用兩邊夾法則求解；地形式，因(2兩邊夾法則需要放大不等式，常用地方法是都換成最大地或最小地【解】因為又IZJ 日所以例17:求【說明】該題需要把兩邊夾法則與定積分地定義相結(jié)合方可解決問題【解】LKI10 單調(diào)有界數(shù)列地極限問題例18：已知 E ,，證明存在，并求該極限【分析】一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限地準(zhǔn)則來證明數(shù)列極 限地存在【解】該數(shù)列單調(diào)增加有上界，所以三存在，設(shè) =A例19:設(shè)數(shù)列3滿足 I）證明 F"存在，并求該極限； n）計算 3【解】I）因為