條件概率知識(shí)點(diǎn)、例題、練習(xí)題參考

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 條件概率專題一、知識(shí)點(diǎn) 只須將無條件概率替換為條件概率，即可類比套用概率滿足的三條公理及其它性質(zhì) 在古典概型中 - 在幾何概型中 -條件概率及全概率公式 3.1.對(duì)任意兩個(gè)事件A、B, 是否恒有P(A)P(A|B).答：不是. 有人以為附加了一個(gè)B已發(fā)生的條件, 就必然縮小了樣本空間, 也就縮小了概率, 從而就一定有P(A)P(A|B),  這種猜測是錯(cuò)誤的. 事實(shí)上,可能P(A)P(A|B), 也可能P(A)P(A|B), 下面舉例說明.在0,1,9這十個(gè)數(shù)字中, 任意抽取一個(gè)數(shù)字,令 A=抽到一數(shù)字是3的倍數(shù); 

2、   B1=抽到一數(shù)字是偶數(shù);    B2=抽到一數(shù)字大于8, 那么    P(A)=3/10, P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=1. 因此有 P(A)P(A|B1), P(A)P(A|B2).3.2.以下兩個(gè)定義是否是等價(jià)的. 定義1. 若事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B),  則稱A、B相互獨(dú)立. 定義2. 若事件A、B滿足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 則稱A、B相互獨(dú)立.答：不是的.因?yàn)闂l件概率的定義為     P(A|B

3、)=P(AB)/P(B) 或 P(B|A)=P(AB)/P(A)自然要求P(A)0,  P(B)0, 而定義1不存在這個(gè)附加條件, 也就是說,P(AB)=P(A)P(B)對(duì)于P(A)=0或P(B)=0也是成立的. 事實(shí)上,  若P(A)=0由0P(AB)P(A)=0可知P(AB)=0故 P(AB)=P(A)P(B).因此定義1與定義2不等價(jià), 更確切地說由定義2可推出定義1,  但定義1不能推出定義2, 因此一般采用定義1更一般化.3.3.對(duì)任意事件A、B, 是否都有        

4、P(AB)P(A)P(A+B)P(A)+P(B).答：是的.由于 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*)因?yàn)?#160; P(AB)0, 故 P(A+B)P(A)+P(B).由P(AB)=P(A)P(B|A), 因?yàn)?P(B|A)1,故 P(AB)P(A);同理P(AB)P(B),  從而 P(B)-P(AB)0, 由(*)知 P(A+B)P(A).原命題得證.3.4.在引入條件概率的討論中, 曾出現(xiàn)過三個(gè)概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 從事件的角度去考察, 在A、B相容的情況下, 它們都是下圖中標(biāo)有陰影的部分, 然而從概率計(jì)算的角度看, 它們卻是

5、不同的. 這究竟是為什么?答：概率的不同主要在于計(jì)算時(shí)所取的樣本空間的差別:P(A|B)的計(jì)算基于附加樣本空間B;P(B|A)的計(jì)算基于附加樣本空間A;P(AB)的計(jì)算基于原有樣本空間. 3.5.在n個(gè)事件的乘法公式： P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)中,涉及那么多條件概率, 為什么在給出上述乘法公式時(shí)只提及P(A1A2An-1)>0呢? 答：按條件概率的本意, 應(yīng)要求P(A1)>0,  P(A1A2)>0, ,  P(A1A2An-2)>0,    

6、;       P(A1A2An-1)>0.事實(shí)上, 由于A1A2A3An-2 A1A2A3An-2An-1, 從而便有P(A1A2An-2) P(A1A2An-1)>0. 這樣,  除P(A1A2An-1)>0作為題設(shè)外,  其余條件概率所要求的正概率,  如P(A1A2An-2) >0, ,  P(A1A2) >0,  P(A1)>0便是題設(shè)條件P(A1A2An-1)>0的自然結(jié)論了.3.6.計(jì)算P(B)時(shí),  如果事件B的表達(dá)式

7、中有積又有和, 是否就必定要用全概率公式.答：不是. 這是對(duì)全概率公式的形式主義的認(rèn)識(shí),  完全把它作為一個(gè)”公式”來理解是不對(duì)的.   其實(shí),  我們沒有必要去背這個(gè)公式,  應(yīng)著眼于A1,A2,An的結(jié)構(gòu). 事實(shí)上,  對(duì)于具體問題,  若能設(shè)出n個(gè)事件Ai, 使之滿足 (*)就可得    . (*)這樣就便于應(yīng)用概率的加法公式和乘法公式.因此,  能否使用全概率公式,  關(guān)鍵在于(*)式, 而要有(*)式,  關(guān)鍵又在于適當(dāng)?shù)貙?duì)進(jìn)行一個(gè)分割,  即有(*)式.

8、3.7.設(shè)P(A)0,  P(B)0, 因?yàn)橛?1)若A、B互不相容, 則A、B一定不獨(dú)立.(2)若A、B獨(dú)立, 則A、B一定不互不相容.故既不互不相容又不獨(dú)立的事件是不存在的. 上述結(jié)論是否正確.答：不正確. 原命題中的結(jié)論(1)(2)都是正確的.  但是由(1)(2)(它們互為逆否命題,  有其一就可以了)只能推出在P(A)0,  P(B)0的前提下, 事件A、B既互不相容又獨(dú)立是不存在的,  并不能推出“A、B既不獨(dú)立又不互不相容是不存在的”. 事實(shí)上, 恰恰相反,  既不互不相容又不獨(dú)立的事件組是存在的, 下面舉一例.5個(gè)乒乓

9、球(4新1舊),  每次取一個(gè),  無放回抽取三次,  記Ai=第i次取到新球,  i=1, 2, 3. 因?yàn)槭菬o放回抽取, 故A1、A2、A3互相不獨(dú)立, 又A1A2A3=三次都取到新球,  顯然是可能發(fā)生的,  即A1、A2、A3可能同時(shí)發(fā)生,  因此A1、A2、A3不互不相容.3.8.事件A、B的“對(duì)立”與“互不相容”有什么區(qū)別和聯(lián)系? 事件A、B “獨(dú)立”與“互不相容”又有什么區(qū)別和聯(lián)系?答：“對(duì)立”與“互不相容”區(qū)別和聯(lián)系,  從它們的定義看是十分清楚的, 大體上可由如下的命題概括: “對(duì)立” “互不相容

10、”,  反之未必成立.至于“獨(dú)立”與“互不相容”的區(qū)別和聯(lián)系, 并非一目了然.事件的互不相容性只考慮它們是否同時(shí)發(fā)生，是純粹的事件的關(guān)系,  絲毫未涉及它們的概率, 其關(guān)系可借助圖直觀顯示.事件的獨(dú)立性是由概率表述的,  即當(dāng)存在概率關(guān)系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)時(shí),  稱A、B是相互獨(dú)立的.它們的聯(lián)系可由下述命題概括: 對(duì)于兩個(gè)非不可能事件A、B,  則有“A、B互不相容” “A、B不獨(dú)立”.  其等價(jià)命題是: 在P(A)>0與P(B)>0下,  則有“A、B獨(dú)立” “A、B不互不相容”(相

11、容). 注意,  上述命題的逆命題不成立.3.9.設(shè)A、B為兩個(gè)事件,若 0<P(A)<1, 0<P(B)<1. (*)則A、B相互獨(dú)立, A、B互不相容, , 這三種情形中的任何兩種不能同時(shí)成立.答：在條件(*)下當(dāng)A、B相互獨(dú)立時(shí), 有 P(AB)=P(A)P(B);當(dāng)A、B互不相容時(shí), 有 P(AB)<P(A)P(B);當(dāng) 時(shí), 有 P(AB)>P(A)P(B). 在條件(*)下, 上述三式中的任何兩個(gè)不能同時(shí)成立. 因此,  A、B相互獨(dú)立, A、B互不相容,   這三種情形中的任何兩種不能同時(shí)成立.此結(jié)論表明: 在條件

12、(*)下,若兩個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí),  必不互不相容，也不一個(gè)包含另一個(gè),而只能是相容了.3.10.證明: 若P(A)=0或P(A)=1,  則A與任何事件B相互獨(dú)立.答：若P(A)=0, 又,  故0P(AB)P(A)=0.于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A與任何事件B相互獨(dú)立.若P(A)=1, 則 .由前面所證知, 與任何事件B相互獨(dú)立.  再由事件獨(dú)立性的性質(zhì)知,   與B相互獨(dú)立, 即A與B相互獨(dú)立.另種方法證明: 由P(A)=1知 ,  進(jìn)而有. 又 且AB與互不相容,  故 . 即A與B相互獨(dú)立.3.11.

13、設(shè)A、B是兩個(gè)基本事件,  且0<P(A)<1,P(B)>0,   , 問事件A與B是什么關(guān)系?解1由已知條件 可得 .由比例性質(zhì), 得 .所以 P(AB)=P(A)P(B).因此事件A與B相互獨(dú)立.解2由 得 .因而 .又 ,所以 P(B|A)=P(B).因此事件A與B相互獨(dú)立.3.12.是不是無論什么情況,  小概率事件決不會(huì)成為必然事件.答：不是的. 我們可以證明,  隨機(jī)試驗(yàn)中, 若A為小概率事件, 不妨設(shè)P(A)=(01為不論多么小的實(shí)數(shù) ), 只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn), 則A遲早要發(fā)生的概率為1. 事實(shí)上, 設(shè)Ak=A在

14、第k次試驗(yàn)中發(fā)生, 則P(Ak)=, , 在前n次試驗(yàn)中A都不發(fā)生的概率為: . 于是在前n次試驗(yàn)中,  A至少發(fā)生一次的概率為    . 如果把試驗(yàn)一次接一次地做下去,  即讓n, 由于01, 則當(dāng)n時(shí), 有pn1.以上事實(shí)在生活中是常見的, 例如在森林中吸煙, 一次引起火災(zāi)的可能性是很小的, 但如果很多人這樣做,  則遲早會(huì)引起火災(zāi).3.13.只要不是重復(fù)試驗(yàn),  小概率事件就可以忽視.答：不正確. 小概率事件可不可以忽視, 要由事件的性質(zhì)來決定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性將導(dǎo)致火災(zāi)是不能忽視的, 但火柴有1%的可能性擦不

15、燃是不必在意的.3.14.重復(fù)試驗(yàn)一定是獨(dú)立試驗(yàn), 理由是: 既然是重復(fù)試驗(yàn)就是說每次試驗(yàn)的條件完全相同, 從而試驗(yàn)的結(jié)果就不會(huì)互相影響, 上述說法對(duì)嗎?答：不對(duì). 我們舉一個(gè)反例就可以證明上述結(jié)論是錯(cuò)誤的.一個(gè)罐子中裝有4個(gè)黑球和3個(gè)紅球, 隨機(jī)地抽取一個(gè)之后, 再加進(jìn)2個(gè)與抽出的球具有相同顏色的球, 這種手續(xù)反復(fù)進(jìn)行, 顯然每次試驗(yàn)的條件是相同的. 每抽取一次以后, 這時(shí)與取出球有相同顏色的球的數(shù)目增加，而與取出球顏色不同的球的數(shù)目保持不變，從效果上看，每一次取出的球是什么顏色增加了下一次也取到這種顏色球的概率，因此這不是獨(dú)立試驗(yàn),此例是一個(gè)如同傳染病現(xiàn)象的模型，每一次傳染后都增加再傳染的

16、概率.3.15.伯努利概型的隨機(jī)變量是不是都服從二項(xiàng)分布.答：不一定. 例如某射手每次擊中目標(biāo)的概率是p，現(xiàn)在連續(xù)向一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到射中為止. 此試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A=命中； =未命中，且P(A)=p. 并且是重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，因此它是伯努利試驗(yàn)（伯努利概型），設(shè)Xk=第k次射中，Xk顯然是一個(gè)隨機(jī)變量，但        P(Xk=k)=qk-1p，k=1,2,，其中q=p-1，可見Xk是服從參數(shù)為p的幾何分布，而不是二項(xiàng)分布.3.16.某人想買某本書, 決定到3個(gè)新華書店去買, 每個(gè)書店有無此書是等可能的. 如有,

17、是否賣完也是等可能的. 設(shè)3個(gè)書店有無此書, 是否賣完是相互獨(dú)立的. 求此人買到此本書的概率.答：(37/64).3.17.在空戰(zhàn)中, 甲機(jī)先向乙機(jī)開火, 擊落乙機(jī)的概率是0.2;  若乙機(jī)未被擊落, 就進(jìn)行還擊, 擊落甲機(jī)的概率是0.3,  則再進(jìn)攻乙機(jī), 擊落乙機(jī)的概率是0.4. 在這幾個(gè)回合中,(1)  甲機(jī)被擊落的概率是多少?(2) 乙機(jī)被擊落的概率是多少?答：以A表示事件“第一次攻擊中甲擊落乙”, 以B表示事件“第二次攻擊中乙擊落甲”, 以C表示事件“第三次攻擊中甲擊落乙”.(1)甲機(jī)被擊落只有在第一次攻擊中甲未擊落乙才有可能, 故甲

18、機(jī)被擊落的概率為 . (2)乙機(jī)被擊落有兩種情況. 一是第一次攻擊中甲擊落乙, 二是第三次攻擊中甲擊落乙, 故乙機(jī)被擊落的概率是 =0.2+(1-0.2)(1-0.3)×0.4=0.424.3.18.某個(gè)問題, 若甲先答, 答對(duì)的概率為0.4; 若甲答錯(cuò), 由乙答, 答對(duì)的概率為0.5. 求問題由乙答出的概率.答：(0.3)3.19.有5個(gè)人在一星期內(nèi)都要到圖書館借書一次, 一周內(nèi)某天借書的可能性相同, 求 (1)5個(gè)人都在星期天借書的概率; (2)5個(gè)人都不在星期天借書的概率; (3)5個(gè)人不都在星期天借書的概率.答： (1)(1/75);   

19、60;     (2)(65/77);         (3)(1-1/75).窗體頂端1. 從1, 2, 3, 15中,甲、乙兩人各任取一數(shù)(不重復(fù)),已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù),求甲數(shù)大于乙數(shù)的概率. 二、例題解.設(shè)事件A表示“甲取到的數(shù)比乙大”,設(shè)事件B表示“甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)”. 則顯然所要求的概率為P(A|B).根據(jù)公式            而P(B)=3/15=1

20、/5 ,            ,        P(A|B)=9/14.窗體底端窗體頂端2. 擲三顆骰子,已知所得三個(gè)數(shù)都不一樣,求含有1點(diǎn)的概率.   解.設(shè)事件A表示“擲出含有1的點(diǎn)數(shù)”,設(shè)事件B表示“擲出的三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不一樣”.則顯然所要求的概率為P(A|B).根據(jù)公式          ,    &#

21、160;     , P(A|B)=1/2.3. 袋中有一個(gè)白球和一個(gè)黑球,一次次地從袋中摸球,如果取出白球,則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球,直至取出黑球?yàn)橹?求取了N次都沒有取到黑球的概率. 1解.設(shè)事件Ai表示“第i次取到白球”. (i=1,2,N)則根據(jù)題意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,由乘法公式可知:    P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而   P(A3|A1A2)=3/4 ,       P(A1A2A3

22、)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 .由數(shù)學(xué)歸納法可以知道            P(A1A2AN)=1/(N+1).窗體底端窗體頂端4.  甲袋中有5只白球, 7 只紅球;乙袋中有4只白球, 2只紅球.從兩個(gè)袋子中任取一袋, 然后從所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.   解.設(shè)事件A表示“取到的是甲袋”, 則表示“取到的是乙袋”,事件B表示“最后取到的是白球”.根據(jù)題意 :  P(B|A)=5/12 ,   

23、                 ,                      P(A)=1/2.            . 窗體底端窗體頂

24、端5. 有甲、乙兩袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋,然后再從乙袋中任取一球,求此球?yàn)榘浊虻母怕? 解.設(shè)事件Ai表示“從甲袋取的2個(gè)球中有i個(gè)白球”,其中i=0,1,2 . 事件B表示“從乙袋中取到的是白球”.  顯然A0, A1, A2構(gòu)成一完備事件組,且根據(jù)題意    P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ;   P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ;由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+

25、P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.6. 袋中裝有編號(hào)為1, 2, N的N個(gè)球,先從袋中任取一球,如該球不是1號(hào)球就放回袋中,是1號(hào)球就不放回,然后再摸一次,求取到2號(hào)球的概率. 解.設(shè)事件A表示“第一次取到的是1號(hào)球”,則 表示“第一次取到的是非1號(hào)球”;事件B表示“最后取到的是2號(hào)球”.顯然       P(A)=1/N, , 且   P(B|A)=1/(N-1),    

26、     ; =1/(N-1)×1/N+1/N×(N-1)/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7.  袋中裝有8只紅球 , 2只黑球,每次從中任取一球, 不放回地連續(xù)取兩次, 求下列事件的概率.(1)取出的兩只球都是紅球; (2)取出的兩只球都是黑球; (3)取出的兩只球一只是紅球,一只是黑球; (4)第二次取出的是紅球.   解.設(shè)事件A1表示“第一次取到的是紅球”,設(shè)事件A2表示“第二次取到的是紅球”.(1)要求的是事件A1A2的概率.根據(jù)題意  P(A1)=4/5,  

27、60;             ,                P(A2|A1)=7/9,   P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45. (2)要求的是事件的概率. 根據(jù)題意:    ,     

28、         , . (3)要求的是取出一只紅球一只黑球,它包括兩種情形,即求事件 的概率.      , ,       ,      ,   . (4)要求第二次取出紅球,即求事件A2的概率. 由全概率公式 :   =7/9×4/5+8/9×1/5=4/5. 8.  某射擊小組共有20名射手,其中一級(jí)射手4人, 二級(jí)射手

29、8人, 三級(jí)射手7人, 四級(jí)射手1人. 一、二、三、四級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率.   解.設(shè)事件A表示“射手能通過選拔進(jìn)入比賽”,設(shè)事件Bi表示“射手是第i級(jí)射手”.(i=1,2,3,4) 顯然, B1、B2、B3、B4構(gòu)成一完備事件組,且 P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20; P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2. 由全概率公式得到 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|

30、B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.窗體底端窗體頂端9. 轟炸機(jī)轟炸某目標(biāo),它能飛到距目標(biāo)400、200、100(米)的概率分別是0.5、0.3、0.2,又設(shè)它在距目標(biāo)400、200、100(米)時(shí)的命中率分別是0.01、0.02、0.1 .求目標(biāo)被命中的概率為多少? 解.設(shè)事件A1表示“飛機(jī)能飛到距目標(biāo)400米處”,設(shè)事件A2表示“飛機(jī)能飛到距目標(biāo)200米處”,設(shè)事件A3表示“飛機(jī)能飛到距目標(biāo)100米處”,用事件B表示“目標(biāo)被擊中”.由

31、題意,  P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,     且A1、A2、A3構(gòu)成一完備事件組. 又已知 P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1. 由全概率公式得到 : P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031. 10.  加工某一零件共需要4道工序,設(shè)第一第二第三第四道工序的次品率分別為2%3%5%3%, 假定各道工序的加工互不影響

32、, 求加工出零件的次品率是多少?   解.設(shè)事件Ai表示“第i道工序出次品”, i=1,2,3,4 因?yàn)楦鞯拦ば虻募庸せゲ挥绊?因此Ai是相互獨(dú)立的事件. P(A1)=0.02, P(A2)=0.03, P(A3)=0.05, P(A4)=0.03, 只要任一道工序出次品,則加工出來的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)這個(gè)事件的概率. 為了運(yùn)算簡便,我們求其對(duì)立事件的概率 =(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876. P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124. 窗體底端窗體頂端11.  某人過去射擊的成績

33、是每射5次總有4次命中目標(biāo), 根據(jù)這一成績, 求 (1)射擊三次皆中目標(biāo)的概率; (2)射擊三次有且只有2次命中目標(biāo)的概率; (3)射擊三次至少有二次命中目標(biāo)的概率.   解.設(shè)事件Ai表示“第i次命中目標(biāo)”, i=1,2,3 根據(jù)已知條件 P(Ai)=0.8,   ,i=1,2,3 某人每次射擊是否命中目標(biāo)是相互獨(dú)立的,因此事件Ai是相互獨(dú)立的 . (1)射擊三次皆中目標(biāo)的概率即求P(A1A2A3). 由獨(dú)立性:      P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512. (2)“射擊三次有且只有

34、2次命中目標(biāo)”這個(gè)事件用B表示. 顯然 ,又根據(jù)獨(dú)立性得到: . (3)“射擊三次至少有2次命中目標(biāo)”這個(gè)事件用C表示. 至少有2次命中目標(biāo)包括2次和3次命中目標(biāo),所以C=B+A1A2A3 P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=0.384+0.512=0.896. 12.  三人獨(dú)立譯某一密碼, 他們能譯出的概率分別為1/3, 1/4, 1/5, 求能將密碼譯出的概率.   解.設(shè)事件Ai表示“第i人能譯出密碼”, i=1,2,3. 由于每一人是否能譯出密碼是相互獨(dú)立的,最后只要三人中至少有一人能將密碼譯出,則密碼被譯出,因此所求的概率為P(A1+A2+A3). 已知P(

35、A1)=1/3, P(A2)=1/4, P(A3)=1/5, 而          =(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.   P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6. 窗體底端窗體頂端13.  用一門大炮對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行三次獨(dú)立射擊,  第一、二、三次的命中率分別為0.4、0.5、0.7, 若命中此目標(biāo)一、二、三彈, 該目標(biāo)被摧毀的概率分別為0.2、0.6和0.8,  試求此目標(biāo)被摧毀的概率. 解.設(shè)事件Ai表示“第i次命中目標(biāo)”, i=1,2,3. 設(shè)事件Bi表示“目標(biāo)被命中i彈”, i=0,1,2,3.