廈門大學(xué)2013級高等數(shù)學(xué)經(jīng)管類A期中試卷含答案

1、廈門大學(xué)一元微積分（A）課程期中試卷學(xué)院系年級專業(yè)經(jīng)管類高數(shù)A期中試卷 試卷類型：（A卷）一、解答題（共76分）1、計算下列各題：（每題6分，共30分）（1）;解：因?yàn)?，?而 ，故 .（2）設(shè)，求常數(shù)與使得當(dāng)時與是等價無窮小.解 因?yàn)楫?dāng)時，故，故，于是，.（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 ，于是， .（4）求函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求及。解：，故；，故.（5）設(shè)，求.解：，則 .2、(8分)求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型（說明理由）。解：因?yàn)?，故為函?shù)的第二類間斷點(diǎn)（無窮間斷點(diǎn)）；由于，所以，為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn)）；而，故為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)）.3、(6分)設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)

2、，求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程。解 對方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，則有 ，令，則有，于是所求切線斜率.于是，所求切線方程為，即，法線方程為，即.4、（8分）設(shè), 試問（1）為何值時，在內(nèi)連續(xù)？（2）在處是否可導(dǎo)?解 只須考慮在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.（1）為使在處連續(xù)，則有 ，即 .（2）， .故在處不可導(dǎo).5、（8分）討論函數(shù)的單調(diào)性，并求出該函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的極值和最值.解 ，令，得或.00極小值極大值函數(shù)在及上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加. 于是，函數(shù)在處取得極小值，極小值為，在處取得極大值，極大值為. 由于，而，因此，函數(shù)沒有最大值，在處取得最小值0.6、（8分）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，求：（1）；（2

3、）.解：因?yàn)楹瘮?shù)在處連續(xù)，故.（1）；（2） .7、（8分）設(shè)，（），證明數(shù)列收斂，并求極限；解1：.先用歸納法證明：且事實(shí)上，且.假設(shè)結(jié)論對時成立，即，那么時， ，且，即.故數(shù)列單調(diào)增加，且有上界，于是極限存在，設(shè). 由兩邊取極限，得，解得，因?yàn)?，所以?解2：顯然對任意的正整數(shù)，且，即有界。此數(shù)列的遞歸函數(shù)，故單調(diào)，所以單調(diào)有界，故存在，不妨記此極限為，由兩邊取極限，得，解得，因?yàn)?，所以?二、應(yīng)用題（第一小題8分，第二小題10分，共18分）1、設(shè)商品需求量是價格的單調(diào)減函數(shù)，其需求價格彈性的絕對值，（1）設(shè)為總收益函數(shù)，證明：；（2）求時總收益對價格的彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。解 （1）因?yàn)樯唐沸枨罅渴莾r格的單調(diào)減函數(shù)，于是，即，因此，.由可得.（2）總收益對價格的彈性為，于是當(dāng)時，總收益對價格的彈性為.其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)時，價格上漲時，總收益增加0.5385%.2、在橢圓的第一象限部分上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線、橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最小。解：過橢圓上任意點(diǎn)的切線斜率滿足，則，切線方程為. 分別令與，求得軸上的截距為：，于是該切線與橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積為：其中，代入得.問題是求：的最小值，此問題又與求函數(shù)在閉區(qū)間上最大值等價。由，得，即 （舍去），注意到，故是在上最大值點(diǎn)，因此即為所求的點(diǎn).三、證明題（6分） 設(shè)是二階可導(dǎo)的函數(shù), 令