九年級數(shù)學(xué)下冊第29章幾何的回顧29.1幾何問題的處理方法第1課時課件2

1、第29章 幾何的回顧29.1 幾何問題的處理方法(第1課時) 使學(xué)生理解推理證明是判斷猜想正確與否的重使學(xué)生理解推理證明是判斷猜想正確與否的重要手段，明確推理證明所要依據(jù)的公理，掌握證明要手段，明確推理證明所要依據(jù)的公理，掌握證明的方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力的方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力. . 邏輯推理是研究數(shù)學(xué)的一邏輯推理是研究數(shù)學(xué)的一個重要的基本方法個重要的基本方法. .幾何學(xué)的幾何學(xué)的研究充分運用了這一方法研究充分運用了這一方法. .這就是中國明代偉大的科學(xué)家徐這就是中國明代偉大的科學(xué)家徐光啟與他翻譯的光啟與他翻譯的幾何原本幾何原本. .哥白尼哥白尼地球是運動的地球是運動的! !缺乏依

2、據(jù)缺乏依據(jù), ,無法證明無法證明. .（1 1）通過看一看、畫一畫、比一比、量一量、算一算、）通過看一看、畫一畫、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜得出結(jié)論，并在實驗、操作中對結(jié)論作出想一想、猜一猜得出結(jié)論，并在實驗、操作中對結(jié)論作出解釋的方法解釋的方法. . （2 2）用邏輯推理的方法）用邏輯推理的方法. .探索幾何圖形性質(zhì)常用的兩種方法：探索幾何圖形性質(zhì)常用的兩種方法： 做一張等腰三角形的半透明紙片，每個人的等腰三角形的大小和做一張等腰三角形的半透明紙片，每個人的等腰三角形的大小和形狀可以不一樣形狀可以不一樣. .如圖，把紙片對折，讓兩腰如圖，把紙片對折，讓兩腰ABAB、ACAC重疊在

3、一起，折重疊在一起，折痕為痕為AD.AD.你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？ABCDABCD1.1.可以發(fā)現(xiàn)折疊的兩個部分是互相重合的，所以等腰三角形可以發(fā)現(xiàn)折疊的兩個部分是互相重合的，所以等腰三角形是一個軸對稱圖形，折痕是一個軸對稱圖形，折痕ADAD所在的直線就是它的對稱軸所在的直線就是它的對稱軸. .2.2.由于由于ABAB與與ACAC重合，因此點重合，因此點B B與點與點C C重合，這樣線段重合，這樣線段BDBD與與CDCD也重合也重合. .所以所以B=C.B=C.3.3.等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等. .（簡寫成（簡寫成“等邊對等角等邊對等角”）4.4.這種合

4、情推理的方法是研究幾何圖形屬性的一種基本方法這種合情推理的方法是研究幾何圖形屬性的一種基本方法. .同時我們也學(xué)習(xí)了用邏輯推理的方法去探索一些幾何圖形所同時我們也學(xué)習(xí)了用邏輯推理的方法去探索一些幾何圖形所具有的屬性具有的屬性. . 等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形是軸對稱圖形 B=C, B=C,等腰三角形兩個底角相等等腰三角形兩個底角相等 BD=CD BD=CD，ADAD為底邊上的中線為底邊上的中線. . ADB=ADC ADB=ADC ，ADAD為底邊上的高線；為底邊上的高線； BAD=CAD BAD=CAD，ADAD為頂角的平分線；為頂角的平分線；ABCD( (簡寫成簡寫成“等邊對等角等邊

5、對等角”) )； 等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）中線、底邊上的高互相重合（即等腰三角形三線合一）. 用邏輯推理的方法去探索一些幾何圖形所具有的屬性用邏輯推理的方法去探索一些幾何圖形所具有的屬性是研究問題的又一種基本方法是研究問題的又一種基本方法. .解：解：ABABACAC（已知），（已知）， C CB B 8080（等邊對等角），（等邊對等角）， A AB BC C180180（三角形的內(nèi)角和等于（三角形的內(nèi)角和等于180180），），AA180180B BC C（等式的性質(zhì)）（等式的性質(zhì)）18018080

6、8080802020. .已知：在已知：在ABCABC中，中，ABABACAC，B B8080. .求求C C和和A A的度數(shù)的度數(shù). .【例題例題】邏輯推理的方法是研究數(shù)學(xué)的一個重要的基本方法邏輯推理的方法是研究數(shù)學(xué)的一個重要的基本方法. . 邏輯推理需要依據(jù)邏輯推理需要依據(jù), ,我們試圖用最少的幾條基本事實我們試圖用最少的幾條基本事實作為邏輯推理最原始的依據(jù)作為邏輯推理最原始的依據(jù), ,因此在前面的學(xué)習(xí)中因此在前面的學(xué)習(xí)中, ,給出了給出了如下的公理如下的公理: :(1)(1)一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等. . (2)(2)兩條直線被第三條直

7、線所截，如果同位角相等，那么兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線這兩條直線平行平行. .(3)(3)如果兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊如果兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊, ,或或三邊）分三邊）分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等. .(4)(4)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等. . 等式、不等式的有關(guān)性質(zhì)以及等量代換也是推理的等式、不等式的有關(guān)性質(zhì)以及等量代換也是推理的依據(jù)依據(jù). .也將也將“經(jīng)過兩點有且只有一條直線經(jīng)過兩點有且只有一條直線”以及以及“經(jīng)過直經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線

8、與已知直線平行（平行公線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（平行公理）理）”作為添加輔助線的依據(jù)作為添加輔助線的依據(jù). . 有了上述推理依據(jù)，我們就能用邏輯推理的方法證明有了上述推理依據(jù)，我們就能用邏輯推理的方法證明教材中出現(xiàn)的所有的幾何圖形的屬性教材中出現(xiàn)的所有的幾何圖形的屬性. .ABCDEF2413平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)如圖如圖,AB/CD, ,AB/CD, 同位角同位角1 1與與2 2大小大小有什么關(guān)系？其他同位角大小也有這有什么關(guān)系？其他同位角大小也有這樣的關(guān)系嗎？樣的關(guān)系嗎？結(jié)論：結(jié)論：如果兩條如果兩條平行直線被第三平行直線被第三條直線所截，同位角相等條直線所截，同位角相等.

9、.平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)ABCDc21簡記：簡記：兩直線平行同位角相等兩直線平行同位角相等.如圖，若如圖，若AB/CD,AB/CD,則則1=2.1=2.討論討論: :在這個特征中在這個特征中, ,條件是什么條件是什么? ?結(jié)論是什么結(jié)論是什么? ? 它與它與“同同位角相等位角相等, ,兩直線平行兩直線平行”有什么不同有什么不同? ?平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)如圖如圖,AB/CD, ,AB/CD, 內(nèi)錯角內(nèi)錯角2 2與與3 3的大的大小有什么關(guān)系？小有什么關(guān)系？如果兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等如果兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等. .我們可以猜想得到我們可以猜想得到: :AB

10、CDEF2413同學(xué)們，請你們利用剛學(xué)的結(jié)論同學(xué)們，請你們利用剛學(xué)的結(jié)論來證明一下來證明一下 ，好嗎？，好嗎？公理：公理：兩直線平行，同位角相等兩直線平行，同位角相等. .猜想：猜想：兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等. .證明：證明： a/b ( a/b (已已 知知) )，（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等）. .又又 1=21=2 （對頂角相等）（對頂角相等）, , 2=3 2=3 （等量代換）（等量代換）. . 1=3 1=3243abc1平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)結(jié)論：結(jié)論：如果兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等如果兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相

11、等. .簡記：簡記：兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)如圖如圖,AB/CD, ,AB/CD, 同旁內(nèi)角同旁內(nèi)角2 2與與4 4的大的大小有什么關(guān)系？小有什么關(guān)系？猜想猜想: :如果兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角如果兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補互補. .ABCDEF2413同學(xué)們，請你們幫忙證明我的結(jié)論吧！同學(xué)們，請你們幫忙證明我的結(jié)論吧！呵呵呵呵猜想：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補猜想：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補. .243abc1a/b(a/b(已知已知),),2=32=3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）. .證明：證明：已

12、證：已證：兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等. .又又3+4=1803+4=180（鄰補角的定義）（鄰補角的定義）, ,2+4=1802+4=180( (等量代換等量代換).).公理：公理：兩直線平行，同位角相等兩直線平行，同位角相等. .平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)結(jié)論：如果兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)結(jié)論：如果兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補角互補. .簡記：簡記：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補兩直線平行，同旁內(nèi)角互補平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)1.1.兩直線平行，同位角相等兩直線平行，同位角相等. .2.2.兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等. .3.3.兩直線平

13、行，同旁內(nèi)角互補兩直線平行，同旁內(nèi)角互補. .243abc1（若（若a/b a/b ，則，則1=3 1=3 ）（若（若a/b a/b ，則，則2=3 2=3 ）（若（若ab ab ，則，則2+4=1802+4=180）1 12 2a ab bc c 如圖如圖, ,三根木條相交成三根木條相交成1 1與與2,2,固定木條固定木條b, cb, c，轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動木條木條a.a.并猜想并猜想: 1: 1與與2 2滿足什么條件時滿足什么條件時, a/b?, a/b?b b我們以前是怎樣過已知直線我們以前是怎樣過已知直線a a外一點外一點p p畫畫a a的平行線的平行線b b的的? ?c ca ap p兩條直

14、線被第三條直線所截兩條直線被第三條直線所截, ,如果同位角相等如果同位角相等, ,那么這兩條那么這兩條直線平行直線平行. .平行線的判定方法平行線的判定方法1:1:同位角相等同位角相等, ,兩直線平行兩直線平行. .a ab bc c3 32 21 1如圖如圖: :如何判斷這塊玻璃板的上、下兩邊平行？如何判斷這塊玻璃板的上、下兩邊平行？解：解：1 =31 =3（已知），（已知），又又2=32=3abab1=21=2 ( (等量代換等量代換) )，（對頂角相等），（對頂角相等），( (同位角相等同位角相等, ,兩直線平行兩直線平行).).已知已知1 =31 =3，直線，直線a,ba,b會平行嗎？

15、會平行嗎？【想一想想一想】兩條直線被第三條直線所截兩條直線被第三條直線所截, ,如果內(nèi)錯角相等如果內(nèi)錯角相等, ,那么這兩條那么這兩條直線平行直線平行. .平行線的判定方法平行線的判定方法2 2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行. .解：解：兩條直線被第三條直線所截兩條直線被第三條直線所截, ,如果同旁內(nèi)角互補如果同旁內(nèi)角互補, ,那么這兩條那么這兩條直線平行直線平行. .平行線的判定方法平行線的判定方法3 3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行. . 1+4=1801+4=180（已知）（已知）, ,（平角的定義）（平角的定義）, ,1=21=2（同角的補角相等）（

16、同角的補角相等）, ,a/ba/b（同位角相等，兩直線平行）（同位角相等，兩直線平行）. .仿照上例仿照上例, ,如果如果1+4=1801+4=180, ,那么那么abab嗎嗎? ?又又2+4=1802+4=180a ab bc c1 14 42 2【想一想想一想】D DC CB BA A證明證明: :A+ABC+C=180A+ABC+C=180( (三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180180),),AAC C180180- - ABCABC（等式的性質(zhì)）（等式的性質(zhì)）. .ABC+CBD=180ABC+CBD=180 ( (平角的定義平角的定義),),CBD=180CBD=180-AB

17、C(-ABC(等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)),),CBDCBDA AC (C (等量代換等量代換).). 由于這里所證明為正確的命題也經(jīng)常需要用來作為判斷由于這里所證明為正確的命題也經(jīng)常需要用來作為判斷其他命題真假的依據(jù)，因此我們把這一真命題也作為定理其他命題真假的依據(jù)，因此我們把這一真命題也作為定理. .例例1.1.求證：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求證：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和. .已知：如圖，已知：如圖，CBDCBD是是ABCABC的一個外角的一個外角. .求證：求證：CBD=A+C.CBD=A+C.【例題例題】如圖，如圖，1 1是是ABCABC的一個外角的一

18、個外角, 1, 1與圖中的其他角有什與圖中的其他角有什么關(guān)系么關(guān)系? ?能證明你的結(jié)論嗎能證明你的結(jié)論嗎? ?1+4=1801+4=180; 12;13; 12;13;1=2+3.1=2+3.證明證明: :2+3+4=1802+3+4=180( (三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180180),), 1+4=180 1+4=180 ( (平角的定義平角的定義),), 1= 2+3( 1= 2+3(等量代換等量代換).). 12,13( 12,13(和大于部分和大于部分).).ABCD1234用文字表述為用文字表述為: :三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和三角形的一個外角等于和它不

19、相鄰的兩個內(nèi)角的和. .三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角. . 在這里在這里, ,我們通過三角形內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)出兩個我們通過三角形內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)出兩個新定理新定理. .像這樣像這樣, ,由一個公理或定理直接推出的定理由一個公理或定理直接推出的定理, ,叫做叫做這個公理或定理的推論這個公理或定理的推論. .推論可以當(dāng)作定理使用推論可以當(dāng)作定理使用. .三角形內(nèi)角和定理的推論三角形內(nèi)角和定理的推論: :推論推論1:1: 三角形的一個外角三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的和. .推論推論2:2: 三角

20、形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角角. .ABCD1234A AC CD DB BE E例例2.2.已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分外角平分外角EAC,B=C. EAC,B=C. 求證求證:ADBC.:ADBC.DAE= DAE= EAC(EAC(角平分線的定義角平分線的定義),),21B=C (B=C (已知已知),),B= EAC(B= EAC(等式性質(zhì)等式性質(zhì)).).21 AD AD平分平分 EAC(EAC(已知已知),),DAE=B(DAE=B(等量代換等量代換).). ADBC( ADBC(同位角相等同位

21、角相等, ,兩直線平行兩直線平行).).證明證明: : EAC=B+C ( EAC=B+C (三角形的一個外角等于和它不相三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和鄰的兩個內(nèi)角的和),),證法證法1 1A AC CD DB BE EACDBEDAC=C,DAC=C,BAC+B+C =180BAC+B+C =180 ( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理),),BAC+B+DAC =180BAC+B+DAC =180 ( (等量代換等量代換).).ADBC(ADBC(同旁內(nèi)角互補同旁內(nèi)角互補, ,兩直線平行兩直線平行).).( (也可利用也可利用C =DACC =DAC，利用平行線判定方法，利

22、用平行線判定方法2 2證明）證明）證明證明: :由證法由證法1 1可得可得: :證法證法2 2例例3.3.已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,1,1是它的一個外角是它的一個外角, E, E為邊為邊ACAC上一點上一點, ,延長延長BCBC到到D,D,連結(jié)連結(jié)DE.DE.求證求證: 12.: 12.證明證明: :11是是ABCABC的一個外角的一個外角( (已知已知),),13(13(三角形的一個外角大于任三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角何一個和它不相鄰的內(nèi)角).).33是是CDECDE的一個外角的一個外角 ( (外角定義外角定義) )，32(32(三角形的一個外角大于

23、任何三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角一個和它不相鄰的內(nèi)角).).12(12(不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)).).A AD DC CB BF F1 13 34 45 5E E2 2例例4.4.已知已知: :如圖所示如圖所示, ,在在ABCABC中中, ,外角外角DCA=100DCA=100, , A=45A=45. .求求BB和和ACBACB的大小的大小. .解解: :DCADCA是是ABCABC的一個外角的一個外角( (已知已知),), DCA=100 DCA=100( (已知已知),), B=100 B=100-45-45=55=55( (三角形的一個外角等于和它三角形的一個外角等于

24、和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和不相鄰的兩個內(nèi)角的和).). 又又DCA+ACB=180DCA+ACB=180( (平角定義平角定義),), ACB=80 ACB=80( (等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)).). A=45 A=45( (已知已知),),ABCD例例5.5.已知已知: :國旗上的正五角星如圖所示國旗上的正五角星如圖所示. .求求:A+B+C+D+E:A+B+C+D+E的度數(shù)的度數(shù). .分析分析:設(shè)法利用外角把這五個角設(shè)法利用外角把這五個角“湊湊”到一個三角形中，到一個三角形中，運用三角形內(nèi)角和定理來求解運用三角形內(nèi)角和定理來求解.ABCDE解解: :如圖，如圖，1 1是是BDFBDF的一個外角的

25、一個外角( (外角的定義外角的定義),), 1=B+D( 1=B+D(三角形的一個外角等三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和).).2=C+E(2=C+E(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和角的和).).又又A+1+2=180A+1+2=180( (三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理) )，又又2 2是是EHCEHC的一個外角的一個外角( (外角的定義外角的定義),),A+B+C+D+E =180A+B+C+D+E =180( (等式性質(zhì)等式性質(zhì)).).ABCDEF2H11.1.（十堰（十堰中考）如圖，直線中考）如

26、圖，直線l1 1l2 2，且被直線，且被直線l3 3所截，所截，1=2=351=2=35，P=90P=90，則，則3=3= . .【答案答案】5555l1l2l3312P2.2.（貴陽（貴陽中考中考）如圖，河岸）如圖，河岸ADAD，BCBC互相平行，橋互相平行，橋ABAB垂直于兩岸，從垂直于兩岸，從C C處看橋的兩端處看橋的兩端A A，B B，夾角，夾角BCA=60BCA=60，測得測得BC=7mBC=7m，則橋長，則橋長AB=AB= m.m.（結(jié)果精確到（結(jié)果精確到1m1m）【答案答案】12123.3.（河北（河北中考中考）如圖，）如圖，在在ABCABC中，中，D D是是BCBC延長延長線上一點，線上一點，B=40B=40，ACD=120ACD=120，則，則A A等于（等于（ ）ABCD40120A A6060 B B7070C C8080 D D9090【答案答案】C C 圖圖a aO O圖圖b b4.4.（玉溪（玉溪中考中考）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系關(guān)系. .（1 1）如圖）如圖a a，若，若ABCDABCD，點，點P P在在ABAB，CDCD外部，則有外部，則有B=B=BODBOD，又因，又因BODBOD是是PODPOD的外角，故的外角，故BO