數學浙江專用新設計大一輪講義+習題：第三章函數的概念與基本初等函數Ⅰ第8節(jié)

1、第8節(jié)函數與方程考試要求1.了解函數零點的概念，了解函數零點與方程根的聯(lián)系；2.掌握連續(xù)函數在某個區(qū)間上存在零點的判定方法.I知識衍正體驗回以教巧夯實基礎知識梳理1.函數的零點(1)函數零點的概念對于函數y=f(x),把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點.(2)函數零點與方程根的關系方程f(x)=0有實數根？函數y=f(x)的圖象與x軸有交點？函數y=f(x)有零點.(3)零點存在性定理如果函數y=f(x)滿足：在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；ff(b)<0；則函數y=f(x)在(a,b)上存在零點，即存在cC(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)

2、=0的根.2.二次函數v=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關系A=b24ac2>0A=0A<02一次函數y=ax+bx+c(a>0)的圖象441u與x軸的交點(xb0),(x2,0)便，0)無交點零點個數210常用結論與易錯提醒1 .不滿足零點存在性定理也可能有零點(如不變號零點).2 .由函數v=f(x)在閉區(qū)間a,b上有零點不一定能推出f(a)f(b)<0,如圖所示.所以f(a)f(b)<0是圖象連續(xù)的函數y=f(x)在閉區(qū)間a,b上有零點的充分不必要條件.3 .若函數f(x)在a,b上單調，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)f(b

3、)<0?函數f(x)在a,b上只有一個零點.基礎自測1 .思考辨析(在括號內打或"X”)(1)函數f(x)=lgx的零點是(1,0).()(2)圖象連續(xù)的函數y=f(x)(xCD)在區(qū)間(a,b)?D內有零點，則f(a)f(b)<0.()(3)若連續(xù)函數f(x)在(a,b)上單調且f(a)f(b)<0,則函數f(x)在a,b上有且只有一個零點.()(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,當xC(4,十卻時，何有h(x)<f(x)<g(x).()解析(1)f(x)=lgx的零點是1,故錯.(2)f(a)f(b)<0是連續(xù)函數y=f

4、(x)在(a,b)內有零點的充分不必要條件，故(2)錯.答案(1)X(2)X(3)，(4)，2 .下列函數中，既是偶函數又存在零點的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1解析由函數是偶函數，排除選項B,C,又選項D中函數沒有零點，排除D,y=cosx為偶函數且有零點.答案A3 .(必修1P88例1改編)函數f(x)=ex+3x的零點個數是()A.0B.1C.2D.3解析由f'x)=ex+3>0,所以f(x)在R上單調遞增，又f(1)=13<0,f(0)=e1>0,因此函數f(x)有且只有一個零點.答案B44.(2019北京東城區(qū)一模)函數

5、f(x)=42x的零點所在區(qū)間是()x11,A.2)B.5112)D.(3.2)解析f(x)的圖象在(0,+oo)上連續(xù)，又f(x)在(0,+oo)上遞減，且f(1)=2>0,3、8386725一f2!Q22=<<0.選C.233答案CB.(1, 2)D.(3, 4)5.函數f(x)=ax+12a在區(qū)間(一1,1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是解析(1)-a<b<c,.f(a)=(ab)(ac)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(ca)(cb)>0,由函數零點存在性定理可知：在區(qū)間(a,b),(b,c)內分別存在零點，又函

6、數f(x)是二次函數，最多有兩個零點；因此函數f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內，故選A.(2)法一函數f(x)的零點所在的區(qū)間可轉化為函數g(x)=lnx,h(x)=x+2圖象交點的橫坐標所在的取值范圍.作圖如下：可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2).法二易知f(x)=lnx+x-2在(0,+8)上為增函數，且f(1)=12=1<0,f(2)=ln2>0.所以根據函數零點存在性定理可知在區(qū)間(1,2)內函數存在零點.答案(1)A(2)B規(guī)律方法確定函數f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法利用函數零點存在性定理：首先看函數v=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù)

7、,再看是否有f(a)f(b)<0.若有,則函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內必有零點.(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.x21B.(1, 2)D.(3, 4)【訓練11已知函數f(x)=lnx習的零點為xo,則xo所在的區(qū)間是()A.(0,1)C.(2,3)x_21，一，解析.f(x)=lnx-qJ在(0,+8)上是增函數，_i又f(1)=ln1-g)Tn1-2<0,or1r1f(2)=ln2-Qj=ln2-1<0,f(3)=ln3-2>0.故f(x)的零點xoC(2,3).答案C考點二函數零點(或方程根)個數的判斷，lln(

8、x-1)|,x>1,i-【例2】(1)(2019鎮(zhèn)海中學模擬)已知函數f(x)=x-1+1x<1則萬程f(f(x)222If(x)+4L。的實根個數為()A.3B.4C.5D.6函數f(x)=2x|logo.5x|1的零點個數為.解析(1)令t=f(x),則方程f(f(x)2.|f(x)+4匚0等價于f(t)2t2=0.在同3.一.一.一平面直角坐標系中作出函數v=f(x)與直線y=2x+2的圖象，由圖象可得有兩，、一一3個父點，且f(t)2t2=0的兩根分別為t1=0和1<t2<2.當t1=f(x)=0時，解得x=2;當t2=f(x)C(1,2)時，方程f(x)=t2

9、有3個不等實根.綜上所述，方程f(f(x)-1x設g(x)=|log0.5x|,h(x)=gj,在同一坐標系下分別回出函數g(x),h(x)的圖象(如圖).由圖象知，兩函數的圖象有兩個交點，因此函數f(x)有2個零點.答案(1)B(2)2規(guī)律方法函數零點個數的判斷方法:(1)直接求零點，令f(x)=0,有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理，要求函數在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0,再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數;(3)利用圖象交點個數，作出兩函數圖象，觀察其交點個數即得零點個數【訓練2】一，.X2-2,x<0,的零點個數為(1)函數f(x)=2x

10、6+lnx,x>0(2)f(x)=2sinxsinx+2x2的零點個數為解析當x00時，令x22=0,解得x=表(正根舍).所以在(予0上有一個零點.，,，1當x>0時，f'x)=2+1>0包成立，所以f(x)在(0,+8)上是增函數.x又因為f(2)=2+ln2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+°0)上有一個零點，綜上，函數f(x)的零點個數為2.(2)f(x)=2sinxcosxx2=sin2xx2,則函數的零點個數即為函數y=sin2x與函數y=x2圖象的交點個數，如圖所示，兩圖象有2個交點，則函數有2個零點.答案(1)2(

11、2)2考點三函數零點的應用_、一,1，一一，i【例3】(1)(2019紹興調研)設函數f(x)=H-a4x+a+1有兩個零點，則實數a的取值集合是.(2)已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x4)=f(x),且在區(qū)間0,2上f(x)=x,若關于x的方程f(x)=logax有三個不同的實根，則a的取值范圍為.1_14，一斛析(1)設-=t,則x=+1,則問題轉化為函數g(t)=|ta|,+a3有兩4個布點，即曲線y=|t2|+2與丫=+3有兩個公共點.汪息到曲線y=|ta|+a4的頂點(a,a)在直線y=t上運動，直線丫=1與丫=彳+3有兩個父點，作出函數的圖象，則當y=|ta|+a的頂點(a

12、,a)在A(4,4)時，有a=4；當t<a且y=t422+22與丫=-+3相切時，有t2+(32a)t+4=0有兩個相等實根，由A=(3-2a)216=0得a=2或2.綜上，實數a的取值集合為1-2,7,41(2)由f(x4)=f(x)知，函數的周期T=4.又f(x)為偶函數，.f(x)=f(x)=f(4x),因此函數y=f(x)的圖象關于x=2對稱.又f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=lOgax有三個不同的實根.WSA.0/2+ftKJO由函數的圖象(如圖),f(6)<2,必須有f(10)>2,a>1.loga6<2,即loga10>2

13、,I.a>1.解得6<a<.10.故a的取值范圍是(乖,回)、IT'L一答案(1)'2,2,4'(2)(乖，回)規(guī)律方法已知函數有零點(方根有根)求參數值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；分離參數法，先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象,然后觀察求解.e+a,x00,【訓練3】已知函數f(x)=,(aR),若函數f(x)在R上有兩個,3x-1,x>0零點，則a的取值范圍是()B.( 8, 0)C.(1, 0)A.(OO,1)

14、D.1,0)已知函數f(x)=M x< m, ! 2-.x 2mx+ 4m,x>m,其中m>°.若存在實數b,使得關于x的方程f(x)=b有三個不同的根，則m的取值范圍是解析(1)當x>0時，f(x)=3x1有一個零點x=J3因此當x<0時，f(x)=ex+a=0只有一個實根,a=-ex(x<0),則一10a<0.2(2)在同一坐標系中，作出丫=g)與丫=b的圖象.當x>m時，x2mx+4m=(xm)2+4mm2,.二要使方程f(x)=b有三個不同的根，則有4m-m2<m,即m23m>0.又m>0,解得m>3.答

15、案(1)D(3,+oo)I分層限時調練.iDMffiEE其一翔IM編噩程雌弟鬻基礎鞏固題組一、選擇題1 .函數f(x)=3xx2的零點所在區(qū)間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(-2,1)D.(-1,0)解析由于f(1)=2<0,f(0)=3°0=1>0,3f(1)f(0)<0.則f(x)在(一1,0)內有零點.答案D2x1,x<1,2 .已知函數f(x)=)則函數f(x)的零點為()J+lOg2x,x>1,.1A.2，0B.-2,0-1C.D.0解析當x<1時，由f(x)=2x1=0,解得x=0；當x>1時，由f(x)=1+log2x一

16、，11一，、，一，一，一，=0,解得x=2,又因為x>1,所以此時方程無解.綜上函數f(x)的零點只有0.答案D3 .函數f(x)=2x2a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是()xA.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)解析因為函數f(x)=2xxa在區(qū)間(1,2)上單調遞增，又函數f(x)=2x：a的一個零點在區(qū)間(1,2)內,則有ff(2)<0,所以(一a)(41a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.答案C4 .已知f(x)是奇函數且是R上的單調函數，若函數y=f(2x2+1)+f(卜x)只有一個零點，則實數人的值

17、是()1A.4C. 一3D.-8解析令y=f(2x2+1)+f(Ax)=0,則f(2x2+1)=f(卜x)=f(x；),因為f(x)是R上的單調函數，所以2x2+1=x%即2x2x+1+人=0只有一個實根，則A=18(1+2)=0,解得仁-7.8答案C5 .(一題多解)已知函數f(x)=x22x+a(exC.2D.1解析 法一f(x)=(x-1)2+a(ex-1 + e1-x)-1,令 t = x1,則 g(t) = f(t+1) = t + a(e + e ) 1. g(1) = ( t)2+a(et+et) 1 =g(t),且 tC(00, +00).函數g(t)為偶函數. f(x)有唯一

18、零點，. g(t)也有唯一零點.又g為偶函數，由偶函數的性質知g(0)=0,1；2a1 = 0,解得 a = 2.法二 f(x) = 0? a(ex-1 + e-x+ 1) = x2+ 2x.ex-1 + e- "12%匕x+1 = 2,當且僅當x= 1時取“=”.+ex+1)有唯一零點，則a=()11A.2B.3X2+2x=-(x-1)2+1<1,當且僅當x=1時取“=”.若a>0,貝a(ex1+ex+1)>2a,1要使f(x)有唯一零點，則必有2a=1,即a=2.若a00,則f(x)的零點不唯一.故選C.答案C,一0,x<0,6 .已知函數f(x)=3xx

19、>0則使函數g(x)=f(x)+xm有布點的頭數m的取值范圍是()A.0,1)B.(00,1)C.(-oo,1U(2,+3D.(0°,0U(1,+3解析函數g(x)=f(x)+xm的零點就是方程f(x)+x=m的根，畫出h(x)=f(x)x,x<0,+x=jx的大致圖象(圖略).e+x,x>0觀察它與直線y=m的交點，得知當m&0或m>1時，有交點，即函數g(x)=f(x)+xm有零點.答案Dfex,x<0,7 .(2018全國I卷)已知函數f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個零Jnx,x>0,點，則a的取值范圍是()A

20、.-1,0)B.0,+oo)C.T,+00)D.1,+00)解析函數g(x)=f(x)+x+a存在2個零點，即關于x的方程f(x)=xa有2個不同的實根，即函數f(x)的圖象與直線y=xa有2個交點.作出直線y=-xa與函數f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，一a<1,解得a>-1,故選C.答案C8 .已知函數f(x)=x2+mx+n2x,x|f(x)=0=x|f(f(x)=0w?,則m+n的取值范圍是()A.0,4)B.4, 8C.-4, 2D.(-2,8解析設xiCx|f(x)=0=x|f(f(x)=0,則f(xi)=f(f(xi)=0,f(0)=n=0,.f(x)=xmx=x

21、(x+m),.f(f(x)=f(x)f(x)+m=(x2+mx)(x2+mx+m),顯然f(x)=0時，有f(f(x)=0,.f(x)=0,.7=0或乂=m,又x(x)=0=x|f(f(x)=0w?,當m=0時，f(x)=x2,xf(x)=0=x|f(f(x)=0=0w?;當mw0時，x|f(x)=0=x|f(f(x)=0=0,m,但要使f(x)=0與f(f(x)=0具有相同解，則方程x2+mx+m=0無解，A=m24m<0,解得0<m<4.綜上所述，0<m<4,0<m+n<4,故選A.答案A二、填空題9 .在平面直角坐標系xOy中，若直線y=2a與函

22、數y=|xa|1的圖象只有一個交點，則a的值為.解析函數y=|xa|1的圖象如圖所示，因為直線y=2a與函數y=|x-a|11的圖象只有一個父點，故2a=1,解得a=2.1答案一210 .(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市調研)若二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間1,2上有(1兩個不同的零點，則一二的取值范圍為af(1).斛析設f(x)=a(xX1)(XX2),1<X1<X2<2,則=(1X1)(1X2)C0,1).a答案0,1)2X,x<a,4一-一，el11 .已知函數f(x)=2x>a右f(x)是單調函數，則頭數a的取值沱圍是;若存在實數b,使函數

23、g(x)=f(x)b有三個零點，則實數a的取值范圍是.解析因為函數丫=2、在定義域內是單調遞增函數，所以函數f(x)為單調遞增函數，所以a>0且2%a2.在同一坐標系下作出函數y=2、與y=x2的圖象，由圖可知，實數a的取值范圍為2,4.函數g(x)=f(x)b有三個零點等價于函數y=f(x)與y=b的圖象有三個交點，在同一坐標系下作出函數y=f(x)與y=b的圖象，由圖可知，當a在y軸的左方時，存在實數b,使得兩函數圖象有三個交點，所以要使函數g(x)有三個零點，實數a的取值范圍為(8,0).答案2,4(8,0)112 .已知f(x)=1m|x|,右f(x)有兩個布點，則頭數m的值為;

24、右f(x)X十2有三個零點，則實數m的取值范圍是.1一1斛析函數f(x)的專點，即為方程-m|x|=0即一=岡(x+2)(xw2)的頭數根，x+2''mx2+2x,x>0,令g(x)=|x|(x+2)=j2其圖象如圖所示，當m=1時，g(x)圖象與11y=而有2個父點；當0<m<1,即m>1時，有3個父點.答案1(1,+8)xsinx,0<x<tt,13 .(2019北京豐臺區(qū)一模)已知函數f(x)=g(x)=f(x)kx(kCR).L“x,x>Tt,當k=1時，函數g(x)有個零點；若函數g(x)有三個零點，則k的取值范圍是.解析(1

25、)當k=1,0<x<九時，g(x)=f(x)x=xsinxx=0,得sinx=1,即x=5；x學九時，g(x)=f(x)x=Wx=0,無解.綜上：當k=1時，函數g(x)有1個零點；xsinxkx,0<x<tt,(2)g(x)=f(x)kx=Nxkx,x>為當0<x<九時，xsinxkx=0,得k=sinx,k(0,1)時，有兩個根；當x學九時,或kx=0,彳3k=C,時有一個根，綜上：kCJo,時，函數g(x)有三個零點.答案(1)1(2)0,二14 .(2019杭州高級中學測試)已知函數f(x)滿足：f(1x)=f(1+x),且當x<1時,f

26、(x)=x2+a(aCR),若存在實數tC0,1,使得關于x的方程|f(x)|=t有且僅有四個不等實根，則實數a的取值范圍是.解析由f(1x)=f(1+x)知函數f(x)關于直線x=1對稱.當a>1時，|f(x)|=f(x戶f(0)=a>1,函數y=|f(x)|的圖象與直線y=t無公共點，不滿足條件；當a=1時，函數y=f(x)|的圖象與直線y=t最多只有兩個公共點，不滿足條件；當0&a<1時，如圖1所示，函數y=|f(x)|的圖象與直線y=t可能有四個公共點，滿足條件；當1<a<0時，如圖2所示，存在t=0,使函數v=f(x)|的圖象與直線y=t有且僅有

27、四個公共點，滿足條件；當a01時，如圖3所示，存在實數tC0,1,使函數y=f(x)|的圖象與直線v=t有且僅有四個公共點，滿足條件.綜上可知，實數a的取值范圍是(一0°,1).答案(一31)能力提升題組1一|x111 、一，x(一oo,=g(1), (1 , 1)是兩函數圖象的一個父點；. f(3) =2f(1) =2, g(3) =3,潴足 f(3)>g(3),),15 .設函數f(x)=，1則函數F(x)=xf(x)1的零點個數2f(x-2),xC2,+00),為()A.4B.5C.6D.71 .解析作出函數y=胞)與丫=g(x)=-的圖象如圖，當x<0時，y=f(

28、x)單調遞增，x1 1一，.、，一一y=為減函數，此時函數f(x)與y=g(x)=:只有一個父點.f(1)=1,g(1)=1,；f(1)xx兩函數的圖象在(2,4)內有兩個交點；f(5)=1f(3)=1,g(5)=1,滿足f(5)>g(5),245111一兩函數的圖象在(4,6)內有兩個父點；;f=2f(5)=8，g(7)=7,潴足f(7)<g(7),兩函數的圖象在(6,8)內沒有交點；f=1K7)=得g(9)=1,滿足f(9)<g(9),2169.二兩函數的圖象在(8,10)內沒有交點，即當x>7時，包有f(x)<g(x),兩函數的圖象沒有交點.綜上所述，兩函數

29、的圖象的交點個數為6個，即函數F(x)=xf(x)1的零點個數為6個.答案Ckx+1,x<0,16.已知函數f(x)=則函數y=f(f(x)+1的零點個數的判斷正確的Jnx,x>0,是()A.當k>0時，有4個零點；當k<0時，有1個零點B.無論k為何值，均有2個零點C.當k>0時，有3個零點；當k<0時，有2個零點D.無論k為何值，均有4個零點1解析(1)當x>1時，lnx>0,；y=f(f(x)+1=ln(lnx)+1,此時有零點x=e>1;(2)當0<x01時，Inx<0,.y=f(f(x)+1=kInx+1.當k>

30、0時，有一個零點；當k<0時，無零點；(3)當x00,kx+100時，y=f(f(x)+1=k2x+k+1.當k+10k>0時，有一個零點x=-T2-；當k<0時，k2x+k+1=k(kx+1)+1>0,無零k點；(4)當x00,kx+1>0時，y=f(f(x)+1=ln(kx+1)+1.當k>0時，有一個零點x=111i；當k<0時，無零點.綜上，當k>0時，有4個零點，當k<0時,ke只有一個零點.答案AInx,x>1,17.已知函數f(x)=/fw+1)式e為自然對數的底數)，則f(e)=,函數6,x<1y=f(f(x)1

31、的零點個數為.解析f(e)=lne=1;函數y=f(f(x)1的零點個數為方程f(f(x)=1的根的個數，則由lnx=1(x>1),得x=e,于是f(x)=e,則由lnx=e(x>1),得x=ee；或由ef(x|+1)=e(x<1),得f(x|+1)=1,所以ln(|x|+1)=1,解得x=e1(舍去)或x=1e；由ef(|x|+1)=1(x<1),得f(|x|+1)=0,所以ln(|x|+1)=0,解得x=0,所以f(x)=0,只有l(wèi)nx=0(x>1),解得x=1.綜上可知函數y=f(f(x)1有x=ee,1-e,1共3個零點.答案1318.(2018天津卷)已知a>0,函數f(x)=)x2+2ax+a,x<0,2若關于x的方程f(x)x+2ax2a,x>0.=ax恰有2個互異的實數解，則a的取值范圍是解析當x00時，由x2+2ax+a=ax,得