數(shù)學(xué)專題1新定義問題

1、數(shù)學(xué)專題1新定義問題【專題詮釋】所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進行理解，根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.“新定義”型問題成為近年來中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點.在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識解決問題的能力“新定義型專題”關(guān)鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情景的變化，通過認(rèn)真思考，合理進行思想方法的遷移.【經(jīng)典例題】類型一：規(guī)律題型中的新定義例1.2009山東棗莊，18,4分定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù).如:一一 12的差倒數(shù)是1 21a1

2、1一11,1的差倒數(shù)是一.已知a1=,a2是a1的差倒1(1)23數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù),，依此類推，a2009=a411 a3【分析】：理解差倒數(shù)的概念，要根據(jù)定義去做.通過計算，尋找差倒數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律，依據(jù)規(guī)律解答即可.1【解】：解：根據(jù)差倒數(shù)定義可得：a21a111a3"31a213顯然每三個循環(huán)一次，又2009+3=669余2,故a2009和a2的值相等.【評注】：此類題型要嚴(yán)格根據(jù)定義做，這也是近幾年出現(xiàn)的新類型題之一，同時注意分析循環(huán)的規(guī)律.類型二：運算題型中的新定義例2.2011畢節(jié)地區(qū)，18,3分對于兩個不相等的實數(shù)a、b,定義一種新的運算如下,a

3、* b ； (a b>0), 如:3*2那么 6*5*4=【分析】：此題需先根據(jù)已知條件求出5*4的值，再求出6*5*4的值即可求出結(jié)果.【評注】：此題主要考查了實數(shù)的運算,在解題時要先明確新的運算表示的含義是此題的關(guān)鍵.列3.2010重慶江津區(qū)，15, 4分我們定義abcdad bc,例如2345=2X5 3>4=10 12=-2,假設(shè)x,y均為整數(shù)，且滿足1Vly4<3.則x+y的值是【分析】：先根據(jù)題意列出不等式，根據(jù)x的取值范圍及x為整數(shù)求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可.x, y均為整數(shù)求出【評注】：此題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出不等式，根據(jù)x、y

4、的值即可.類型三：探索題型中的新定義例4.(2009臺州，23,分定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點.如圖1, PH=PJ, PI=PG,則點P就是四邊形 ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點.1如圖2, /AFD與/ DEC的角平分線FP, EP相交于點P.求證：點P是四邊形 ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點.2分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準(zhǔn)內(nèi)點.作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明3判斷以下命題的真假，在括號內(nèi)填真”或假”.任意凸四邊形一定存在準(zhǔn)內(nèi)點.任意凸四邊形一定只有一個準(zhǔn)內(nèi)點.假設(shè)P是任意凸四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點，則PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD.【

5、分析】：1過點P作PGAB,PHXBC,PUCD,PJ±AD,由角平分線的性質(zhì)可知PJ=PH,PG=PI;2平行四邊形對角線的交點，即為平行四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點，即為梯形的準(zhǔn)內(nèi)點；3當(dāng)凸四邊形為平行四邊形時，易知其對角線交點即為其準(zhǔn)內(nèi)點；當(dāng)凸四邊形不為平行四邊形時，可以將四邊形的兩邊延長，構(gòu)造三角形，其對角線交點即為準(zhǔn)內(nèi)點.【解】：1如圖2,過點P作PGAB,PHXBC,PUCD,PJ±ADEP平分/DEC.PJ=PH.3分同理PG=PI.1分.P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點.1分4分平行四邊形對角線AC,BD的交點Pi就是準(zhǔn)內(nèi)點，如圖31.或

6、者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點P1就是準(zhǔn)內(nèi)點，如圖32;梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P2就是準(zhǔn)內(nèi)點.如圖4.【評注】：此題是一道新定義探索性題目，考查了對新信息的理解與應(yīng)用能力，同時考查了三角形及四邊形的性質(zhì).類型四：開放題型中的新定義例5.2011浙江臺州，15,5分如果點Px,y的坐標(biāo)滿足x+y=xy,那么稱點P為和諧點.請寫出一個和諧點的坐標(biāo)：.【分析】：由題意點Px,y的坐標(biāo)滿足x+y=xy,解答x+y=xy,即可得出答案.【解】：:點Px,y的坐標(biāo)滿足x+y=xy,二.x,y符號相同，代入數(shù)字進行驗證，符合條件的點的坐標(biāo)有0,0，2,2等.故答案為：0,0【評注】：此題

7、考查了和諧點的性質(zhì)及等式求解，比較簡單.類型五：閱讀材料題型中的新定義例6.2010廣東佛山，25,8分閱讀材料我們經(jīng)常通過認(rèn)識一個事物的局部或其特殊類型，來逐步認(rèn)識這個事物；比方我們通過學(xué)習(xí)兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等來逐步認(rèn)識四邊形；我們對課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法,然后通過解決簡單的問題穩(wěn)固所學(xué)知識；請解決以下問題：如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB田C的四邊形ABCD叫做箏形”；1寫出箏形的兩個性質(zhì)定義除外；2寫出箏形的兩個判定方法定義除外，并選出一個進行證明.岳西駐1缶河爸1各弓斑

8、I:芟隹負(fù)瑪2t-到*法閨5C在用判配方話期一【分析】：1根據(jù)題意及圖示即可得出箏形的性質(zhì)；2根據(jù)箏形的性質(zhì)即可寫出判斷方法，然后根據(jù)題意及圖示即可進行證明.【解】：1性質(zhì)1：只有一組對角相等，性質(zhì)2:只有一條對角線平分對角；2判定方法1:只有一條對角線平分對角的四邊形是箏形，判定方法2:兩條對角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是箏形，證明方法1:./BAC=/DAC,/BCA=/DCA,AC=AC,ABCAADC,AB=AD,CB=CD,易知ACXBD,又/ABDw/CBD,./BAC也CBA,AB田C,由知四邊形ABCD是箏形.【評注】：此題主要考查了根據(jù)題意及圖示判斷箏形的定義及性質(zhì)，

9、然后根據(jù)題目要求依次進行解答，難度適中.練習(xí)部分、選擇題1、12011山東荷澤，6,4分定義一種運算,其規(guī)則為小=，根據(jù)這個規(guī)則，計算2+3的值是A.5B.1C.5D.6652.2011濱州，10,3分在快速計算法中，法國的小九九”從、一得一”到五五二十五”和我國的小九九”算法是完全一樣的，而后面六到九”的運算就改用手勢了.如計算8X9時，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，兩只手伸出手指數(shù)的和為7,未伸出手指數(shù)的積為2,則8X9=10X7+2=72.那么在計算6X7時，左、右手伸出的手指數(shù)應(yīng)該分別為A、1,2B、1,3C、4,2D、4,31二、填空題3.2011安徽，14,4分定義運算ab=

10、a1-b，以下給出了關(guān)于這種運算的幾點結(jié)論：2-2=6;ab=ba;假設(shè)a+b=0,則ab+ba=2ab;假設(shè)ab=0,貝Ua=0.其中正確結(jié)論序號是.把在橫線上填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號三、解答題42011浙江紹興，21,10分在平面直角坐標(biāo)系中.過一點分別作坐標(biāo)軸的垂線，假設(shè)與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點.例如.圖中過點P分別作x軸，y軸的垂線.與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點.1判斷點M1,2，N4,4是否為和諧點，并說明理由；2假設(shè)和諧點Pa,3在直線y=-x+bb為常數(shù)上，求a,b的值.5.2009山東濟寧，23,8分閱讀下面的材料：在

11、平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線平行的定義4y卜面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，6給出它們平行的定義：設(shè)一次函數(shù)4-2 .-h.1.1 上k !.-2.O 246 x-2.ykxb1(K0)的圖象為直線1i,一次函數(shù)yk2xb2(k20)的圖象為直線l2，假設(shè)k1k2，且hb2，我們就稱直線11與直線l2互相平行.解答下面的問題：1求過點P(1,4)且與已知直線y2x1平行的直線1的函數(shù)表達(dá)式，并畫出直線1的圖象；2設(shè)直線1分別與y軸、x軸交于點A、B,如果直線m：ykxt(t0)與直線1平行且交x軸于點C,求出ABC的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式10 分6.2010江蘇連云港，27,10分如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線，例如平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.1三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有2如圖，梯形ABCD中，