談隨機(jī)利率下的比例賠付保險(xiǎn)模型

1、    談隨機(jī)利率下的比例賠付保險(xiǎn)模型         來(lái)源：歲月聯(lián)盟    作者：遲國(guó)泰    時(shí)間：2010-06-27                    關(guān)鍵詞：隨機(jī)利率；比例賠付；保險(xiǎn)模型

2、；保險(xiǎn)管理  論文摘要：本文在傳統(tǒng)精算學(xué)的基礎(chǔ)上，對(duì)隨機(jī)利率下的財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)中的比例賠付額(賠付額與時(shí)間相關(guān))進(jìn)行了分析。了隨機(jī)利率下的比例賠付保險(xiǎn)的純保費(fèi)和責(zé)任準(zhǔn)備金，以及相關(guān)公司的風(fēng)險(xiǎn)。本模型的特點(diǎn)是將隨機(jī)利率引入比例賠付保險(xiǎn)，這樣計(jì)算的純保費(fèi)等各項(xiàng)數(shù)據(jù)更加貼近實(shí)際；其次本模型中的賠付額與時(shí)間相關(guān)，這樣險(xiǎn)種更加靈活，具有吸引力。本文對(duì)于保險(xiǎn)公司的財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)實(shí)務(wù)具有價(jià)值。    引言    在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，利率并不是固定不變的，而是具有一定的隨機(jī)性。尤其在長(zhǎng)期的行為中，采用固定利率可能會(huì)帶來(lái)預(yù)期與實(shí)際之間的較大偏差，隨機(jī)利率(random in

3、terest rate)在保險(xiǎn)精算研究中已經(jīng)成為熱點(diǎn)問(wèn)題。隨著對(duì)精算理論研究的深入，利率隨機(jī)性的研究在近年來(lái)越來(lái)越受到重視。  1976年，Boyle考慮了壽險(xiǎn)與年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況一“雙隨機(jī)性”。相應(yīng)的隨機(jī)利率的一般理論由Panjer與Bellhouse在二十世紀(jì)八十年代建立。Beekman與FueIIing在1991年得到了利率由O-U過(guò)程和wiener過(guò)程建模的某些年金的二階矩；1993年又得到了利率由O-U過(guò)程和wiener過(guò)程建模的終身壽險(xiǎn)給付現(xiàn)值的前二階矩。  本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，將隨機(jī)利率引入了保險(xiǎn)模型中，討論了在死亡率為DeMoiv

4、re分布(參見(jiàn)2)下的比例賠付問(wèn)題，對(duì)財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)實(shí)務(wù)具有參考價(jià)值。  順便指出；當(dāng)死亡率服從Makeham分布時(shí)的情況，隨機(jī)積分通常不可積，在這種情況下，則只能用數(shù)值積分來(lái)做。    1、基本原理    1.1精算現(xiàn)值與精算等價(jià)原理  保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，純保費(fèi)與理賠額的發(fā)生通常不會(huì)在同一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上，應(yīng)該將兩者放在同一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上進(jìn)行比較。一般將純保費(fèi)與理賠額折現(xiàn)到保單(policy)生效這個(gè)點(diǎn)上。這樣，對(duì)純保費(fèi)和理賠額的比較就不能單純的看其數(shù)額的大小，還要看資金的時(shí)間價(jià)值，保險(xiǎn)標(biāo)的物的死亡時(shí)間。為了解決這個(gè)問(wèn)題，于是我們引入精算現(xiàn)值。精算現(xiàn)值與通

5、常的資金現(xiàn)值的不同之處在于前者考慮了標(biāo)的物死亡概率。收入(純保費(fèi))與支出(理賠額)在保單生效時(shí)的精算現(xiàn)值相等就是所謂的“精算等價(jià)原理”，純保費(fèi)就是運(yùn)用精算等價(jià)原理來(lái)計(jì)算的。  1.2布朗運(yùn)動(dòng)與隨機(jī)利率模型  傳統(tǒng)的精算理論都是假定利率是固定的。這往往與事實(shí)不符，因?yàn)槔适蔷哂须S機(jī)性的。在保險(xiǎn)實(shí)踐中，由于利率的隨機(jī)變動(dòng)產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)保險(xiǎn)公司而言是相當(dāng)大的。  根據(jù)概率論中的大數(shù)定律，由于標(biāo)的物“死亡”的隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)可以通過(guò)出售大量的保單來(lái)分散，但由于利率的隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)則不能通過(guò)這種方式來(lái)分散，且利率風(fēng)險(xiǎn)只存在于保險(xiǎn)公司一方。嚴(yán)重時(shí)，甚至可能導(dǎo)致保險(xiǎn)公司破產(chǎn)。

6、    2、隨機(jī)利率下的比例賠付保險(xiǎn)模型    2.1模型描述  本文所述的保險(xiǎn)和約主要應(yīng)用于財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)。模型如下：投保人對(duì)一種標(biāo)的物進(jìn)行投保，若標(biāo)的物在一個(gè)指定的時(shí)間內(nèi)“死亡”，保險(xiǎn)公司會(huì)在死亡時(shí)刻提供一個(gè)與標(biāo)的物價(jià)值成比例的賠付。而投保人在這個(gè)指定時(shí)期內(nèi)以連續(xù)年金的方式支付其保費(fèi)。  2.2純保費(fèi)的計(jì)算  在上述的精算模型中，設(shè)標(biāo)的物(轎車(chē))在t時(shí)刻(0t5)報(bào)廢，在t時(shí)刻的賠付額的現(xiàn)值為Z1，投保人所繳納的保費(fèi)的現(xiàn)值為POZ2。  2.3純保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金  由于死亡率隨著標(biāo)的物“年齡”的增長(zhǎng)而增大，如

7、果各年支付各年的死亡給付成本，則死亡給付成本將逐年增加，使保險(xiǎn)公司到保險(xiǎn)末期難以承受高額賠付。  因此在時(shí)務(wù)中通常采用均衡純保費(fèi)將給付成本在整個(gè)繳費(fèi)期上平攤。在均衡純保費(fèi)方式下，保險(xiǎn)前期各年度的純保費(fèi)支付死亡成本有余，而到了保險(xiǎn)末期則不足以支付。  前期的保費(fèi)的剩余不是保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)，而是其對(duì)投保人的一種負(fù)債，將會(huì)在保險(xiǎn)末期給付。    3、實(shí)例與分析    考慮標(biāo)的物價(jià)值P10(單位：萬(wàn)元)，則P02，假設(shè)0.05，=0.4，則a00.03，a10.22，a20.19，b0e，b10.22，代入公式(8)(14)，通過(guò)計(jì)算機(jī)編程計(jì)算

8、可得計(jì)算結(jié)果。  從計(jì)算結(jié)果中，我們可以看到責(zé)任準(zhǔn)備金是隨著時(shí)間的增加而不斷增大的，這是因?yàn)殡S著時(shí)間的推移保險(xiǎn)公司賠付的概率不斷增大，則需要的準(zhǔn)備金就越多。同樣，隨著賠償越來(lái)越確定，公司的損失風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)不斷減小。    4、結(jié)論    (1)本文在傳統(tǒng)精算學(xué)的基礎(chǔ)上，對(duì)隨機(jī)利率下的財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)中的比例賠付額(賠付額與時(shí)間相關(guān))進(jìn)行了分析，計(jì)算了隨機(jī)利率下的比例賠付保險(xiǎn)的純保費(fèi)和責(zé)任準(zhǔn)備金，以及相關(guān)公司的風(fēng)險(xiǎn)。  (2)根據(jù)精算等價(jià)原理，將隨機(jī)利率引入比例賠付保險(xiǎn)，建立的隨機(jī)利率下的比例賠付保險(xiǎn)模型。傳統(tǒng)的精算理論都是假定利率是固定的，這往往與事實(shí)不符。在保險(xiǎn)實(shí)踐中，由于利率的隨機(jī)變動(dòng)產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)保險(xiǎn)公司而言是相當(dāng)大的。應(yīng)用本模型進(jìn)行保險(xiǎn)決策，則使計(jì)算的純保費(fèi)等各項(xiàng)數(shù)據(jù)更加貼近實(shí)際。  (3)模型建立了“責(zé)任準(zhǔn)備金”的概念和計(jì)算公式，使保險(xiǎn)公司將前期的剩余提純以備末期使用。解決了由于死亡率隨著標(biāo)的物“年齡”的增長(zhǎng)而增大，死亡給付成本將逐年增加，使保險(xiǎn)公司到保險(xiǎn)末期難以承受高額賠付的問(wèn)題。  (4)責(zé)任準(zhǔn)備金隨著時(shí)間的