第三十五講 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

1、第三十五講 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程重點(diǎn)：二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的求法難點(diǎn)：二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的形式形如 （1）的微分方程，其中、為常數(shù)，稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，簡稱二階常系數(shù)線性非齊次方程。我們把方程 （2）叫做方程（1）對應(yīng)的齊次方程。下面討論二階線性非齊次微分方程（1）的解，為此，我們先討論二階常系數(shù)線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)。一、二階常系數(shù)線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)在第三節(jié)中我們已經(jīng)看到，一階線性非齊次微分方程的通解由兩部分構(gòu)成：一部分是對應(yīng)的齊次方程的通解；另一部分是非齊次方程本身的一個(gè)特解。實(shí)際上，不僅一階線性非齊次微分方程的通解具有這樣的結(jié)構(gòu)，而且二

2、階及更高階線性非齊次微分方程的通解也具有同樣的結(jié)構(gòu)。定理7.3 如果函數(shù)是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程（1）的一個(gè)特解，是它對應(yīng)的齊次方程（2）的通解，則 （3）是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程（1）的通解。根據(jù)以上的討論，求二階線性非齊次微分方程通解的一般步驟：（1）求對應(yīng)齊次方程的線性無關(guān)的兩個(gè)特解與。因此該齊次方程的通解為。（2）求二階線性非齊次微分方程的一個(gè)特解，那么，二階線性非齊次微分方程的通解為=。二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法由定理1知道，二階常系數(shù)線性非齊次方程的通解是對應(yīng)的齊次方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和。而求二階常系數(shù)線性齊次方程的通解問題已經(jīng)解決，所以求線性非齊

3、次方程的通解的關(guān)鍵在于求其一個(gè)特解。下面介紹方程中取兩種常見形式時(shí)求的方法。這種方法的特點(diǎn)是不用積分就可以求出來，它叫做待定系數(shù)法。（1）型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為 （5）其中為的次多項(xiàng)式。因?yàn)椤⒕鶠槌?shù)且指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式，不難驗(yàn)證，（5）式的特解為 其中與是同次多項(xiàng)式。若不是對應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根，k=0；若是特征根且為單根，k=1；若是特征根且為重根，k=2。例1 求方程的特解。例2 求方程的一個(gè)特解。例3 求方程的特解。（2）=型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程 （6）其中a、b、均為常數(shù)。由于、均為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也總是余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，不難驗(yàn)證，（6）式的特解為 其中、為待定常數(shù)。若不是對應(yīng)齊次方程的特征根時(shí)，k=0；若是特征根且為單根時(shí)，k=1。例4 求方程的特解。例5 求方程的通解。定理7.4 設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為 （4）且與分別是 和 的特解，則是方程（4）的特解。這一定理通常稱為線性非齊次微分方程的解的疊加原理。例6 求方程的通解。解 原方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為 解之，得特征根 ，。于是，對應(yīng)齊次方程的通解為 。對于二階常系數(shù)線性