函數(shù)的定義域和值域

1、函數(shù)定義映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)為從集合A到集合B的一個(gè)映射（mapping）記作“”函數(shù)的概念1定義：如果A，B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作，。其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。函數(shù)與映射的關(guān)系與區(qū)別相同點(diǎn):(1)函數(shù)與映射都是兩個(gè)非空集合中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系; (2)函數(shù)與映射的對(duì)

2、應(yīng)都具有方向性; (3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性； 區(qū)別：函數(shù)是一種特殊的映射，它要求兩個(gè)集合中的元素必須是數(shù)，而映射中兩個(gè)集合的元素是任意的數(shù)學(xué)對(duì)象。 函數(shù)的三要素函數(shù)是由三件事構(gòu)成的一個(gè)整體，分別稱(chēng)為定義域值域和對(duì)應(yīng)法則當(dāng)我們認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)時(shí)，應(yīng)從這三方面去了解認(rèn)識(shí)它例 已知函數(shù)f(x)=3x5x2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)例 函數(shù)y與y3x是不是同一個(gè)函數(shù)？為什么？練習(xí) 判斷下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個(gè)函數(shù)，說(shuō)明理由？ f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 f ( x ) = x； g ( x ) = f ( x ) =

3、x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 重點(diǎn)一：函數(shù)的定義域各種類(lèi)型例題分析例 求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）（1）；解：，解得函數(shù)定義域?yàn)?例 當(dāng)a取何實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y=lg(-x2+ax+2)的定義域?yàn)?-1，2)?分析： 可轉(zhuǎn)化為：確定a值，使關(guān)于x的不等式-x2+ax+2>0的解集為(-1，2).解： -x2+ax+2>0x2-ax-2<0，故由根與系數(shù)的關(guān)系知a=(-1)+2=1即為所求.練習(xí)、求下列函數(shù)的定義域(1)（2） 抽象函數(shù)定義域【類(lèi)型一】“已知f(x)，求f()”型例：已知f(x)的定義域是0

4、，5，求f(x+1)的定義域。【類(lèi)型二】“已知f() ，求f(x)”型例：已知f(x+1) 的定義域是0，5，求f(x)的定義域?！绢?lèi)型三】“已知f()，求f()”型例：已知f(x+2)的定義域?yàn)?2，3），求f(4x-3)的定義域。【思路】f()f(x)f() 例. 函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是_。 分析：因?yàn)橄喈?dāng)于中的x，所以，解得或。例 已知函數(shù)f(2x)的定義域是-1，2，求f(log2x)的定義域.分析： 在同一法則f下，表達(dá)式2x與log2x的值應(yīng)屬于“同一范圍”.解: -1x2，2x4故log2x4即log2log2xlog216x16.總結(jié)：已知F(g(x)的定義域?yàn)锳，求

5、F(h(x)的定義域，關(guān)鍵是求出既滿(mǎn)足g(x)B，又滿(mǎn)足h(x)B的x取值集合，在此例中，A=-1，2，B=，4.例已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：(1) ；(2)。解：（1）由0x2， 得 練習(xí)1、函數(shù)的定義域是0，2，則函數(shù)的定義域是 _.2、已知函數(shù)的定義域是-1，1，則的定義域?yàn)?_.3、已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?_ 重點(diǎn)二：求函數(shù)解析式的幾種常用方法1. 換元法：例 已知f(x+1)=+2x-3,求f(x)解: 令x+1=t,則x=t-1代入函數(shù)式中得:f(t)= +2(t-1)-3= -4 f(x)= -4說(shuō)明:f(x),f(t)都是同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則,只是自變量的

6、表示不同,從函數(shù)來(lái)看沒(méi)有區(qū)別.練習(xí)、1 若f(x)=2x2-1，求f(x-1) 2 已知函數(shù)f(2x+1)=3x+2，求f(x). 2. 配湊法：上例中,把已知的f(x+1)中的x+1看成是一個(gè)整體變量進(jìn)行處理.f(x+1)=+2x+1-4 = -4用x代替 x+1,得: f(x)= -4例 已知f(x+)= , 求f(x). 分析：將用x+ 表示出來(lái)，但要注意定義域。解：f(x+)= =變式、1 已知x0，函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f()=，求f(x) . 2 已知，求3、待定系數(shù)法：例.一次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足ff(x)=9x+8,求f(x). 解：設(shè)此一次函數(shù)解析式為f(x)=kx+b,則有：ff(x

7、)=kf(x)+b =k(kx+b)+b = 由已知得： =9x+8.即 解得 或 所求一次函數(shù)解析式為：f(x)=3x+2,或f(x)=-3x-4.例 已知是二次函數(shù)，若，求.4. 解方程組法：例 設(shè)f(x)滿(mǎn)足f(x)+2f()=x (x 0 ),求f(x).分析：要求f(x)需要消去f(),根據(jù)條件再找一個(gè)關(guān)于f(x)與f() 的等式通過(guò)解方程組達(dá)到目的。解：將f(x)+2f()=x 中的x用代替得f()+2f(x)= . 消去f() 得 : 例 若3f(x)+f(-x)=2x,求f(x).解：用-x替換式中x得:3f(-x)+f(x)=2+x. 消去f(-x) 得： f(x)=2-2x

8、練習(xí)、1 若，求 2 若滿(mǎn)足求重點(diǎn)三 函數(shù)的值域、觀察法： 例、求下列函數(shù)的值域（1） y=3x+2(-1x1) （2） 、配方法：例、已知函數(shù)，分別求它在下列區(qū)間上的值域。（1）xR； （2）3，4（3）0，1（4）0，5 練習(xí)： 1.已知函數(shù)，分別求它在下列區(qū)間上的值域。（1）； （2）； （3）； （4）2.求函數(shù) 的值域說(shuō)明：配方法是求“二次函數(shù)類(lèi)”值域的基本方法，一般是根據(jù)函數(shù)所給x的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的圖象求得函數(shù)的值域.例若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足x2+4y2=4x，求S=x2+y2的值域解：4y2=4x-x20 x2-4x0，即0x4 當(dāng)x=4時(shí)，Smax=16 當(dāng)x=0時(shí)，Smin=0

9、 值域0S16例已知函數(shù)y=f(x)=x2+ax+3在區(qū)間x-1,1時(shí)的最小值為-3，求實(shí)數(shù)a的值分析：的位置取決于a，而函數(shù)的自變量x限定在-1，1內(nèi)，因此，有三種可能性，應(yīng)分別加以討論解： 綜合（1）（2）（3）可得：a=±7、換元法例、求函數(shù)的值域。解：令，則13-4x=t2 該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t=1，又t0由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y4，當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x=3時(shí)等式成立，原函數(shù)的值域?yàn)椋?，4。例求函數(shù)的值域。解析：方法1、可用換元法解答 方法2、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)做例 求函數(shù) y=2x+2-3×4 x(-1x0) 的值域解 y=2x+2-3

10、3;4x =4·2x-3·22x 令 2x=t 例 練習(xí)、 1.求函數(shù)的值域2. 求函數(shù)的值域形如：的函數(shù)可令，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值。（四）、分離常數(shù)法例 求函數(shù)的值域。練習(xí)、1.求的值域 2.求值域 例、求函數(shù)的值域。解析：因?yàn)?，而，所以，則，故 所求函數(shù)的值域?yàn)椤?此題也可用判別式法求解)對(duì)于形如的有理分式函數(shù)均可利用部分分式發(fā)求其值域。（五）判別式法例解 由已知得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*) （2）若2y-10，則xR =(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)0 即 (2y-1)(10y-3)0 練習(xí) 1 求函數(shù)的值域. 2

11、求函數(shù)y=的值域。（六）利用函數(shù)的單調(diào)性例 解： 例 解：調(diào)遞減 例：若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求k的取值范圍。【變】若函數(shù) 的定義域?yàn)镽，求k的取值范圍。函數(shù)的定義域與值域目的：1.能夠由函數(shù)表達(dá)式求出定義域（各種不同類(lèi)型）；2.對(duì)含字母系數(shù)的定義域會(huì)對(duì)字母參數(shù)取值范圍進(jìn)行全面討論；3.掌握求函數(shù)值域的基本方法：觀察法、配方法、判別法、換元法、反函數(shù)法、均值不等式法、 及圖象法。一、 選擇題：1.函數(shù)y的取定義域是（ ）A.1，1 B. C.0，1 D.1，12.已知函數(shù)f（x）的定義域是一切實(shí)數(shù)，則M的取值范圍是（ ）A.0m1 B.0m4 C.m4 D.0m43.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，1，那么函數(shù)f（x1）的定義域?yàn)椋?）A.0，1 B.1，2 C.1， D.，11，5.函數(shù)y2的值域是（ ）A.2，2 B.1，2 C.0，2 D.，6.值域是（0，）的函數(shù)是（ ）A.y52 B.y（） C.y D.7.函數(shù)的值域是（ ）A.（，1）（5，） B.（1，5） C. （，1）（1，） D.（，）（，）8.函數(shù)的值域是（ ）A.1，1 B.0，1 C.1，0 D.1，29.函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D.10.函數(shù)y|x1|x2|的值域是（ ）A. B. C. D. 二、填空題：11函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)12設(shè)，則f（x）的定義域是_13函數(shù)y2的值域?yàn)開(kāi)14函數(shù)y=