利率的期限結(jié)構(gòu)模型

1、利率的期限結(jié)構(gòu)模型摘要：本文試圖用最簡(jiǎn)練和容易理解的表述，介紹關(guān)于期權(quán)定價(jià)的鞅方法的一些主要思想以及基本結(jié)論。稍微涉及到了一些偏微分方程的知識(shí)，但大都比較容易理解。主要是針對(duì)那些并不是專業(yè)的研究者，但是仍然對(duì)此感興趣并想了解期權(quán)定價(jià)理論的讀者。關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià) 鞅測(cè)度 到期（交割） 套期保值 未定權(quán)益Black-Scholes模型把利率假定為一個(gè)常量或者確定的函數(shù)，對(duì)于短期的類股票（stock-like）資產(chǎn)，它是一種可以接受的近似。但是，對(duì)于利率的衍生物，它卻并不是合理的假設(shè)，因此我們必須解決這個(gè)隨機(jī)利率的問題。建立利率的期限結(jié)構(gòu)模型有幾種不同的方法，它們可以分為兩種：短期利率模型和遠(yuǎn)期利率

2、模型。這兩種方法分別由Vasicek（1977）和Heath-Jarrow-Morton(1987,1992)最早提出。Flesaker和Hughston在1996年引入了一種新的方法建立利率的期限結(jié)構(gòu)模型，我們將介紹這三種方法，其中包括一些著名的模型，而且會(huì)對(duì)一些利率衍生物的定價(jià)問題進(jìn)行簡(jiǎn)要討論。我們省略關(guān)于保值的討論，讀者可參閱Duffie(1996)，p140-141。Rogers在1997年提出了關(guān)于利率的期限結(jié)構(gòu)和外匯利率的“潛在方法（potential approach）”，我們不介紹這個(gè)綜合性方法，因?yàn)樗谀撤N程度上超出了我們的范圍。1.債券市場(chǎng)我們建立一個(gè)貫穿始終的坐標(biāo)橫軸，考

3、慮在一個(gè)完備概率空間上的二維布朗運(yùn)動(dòng)，用表示的自然域流（natural filtration）。我們考慮一個(gè)金融市場(chǎng)，稱為債券市場(chǎng)，它包括銀行的存款和所有可能到期的貼現(xiàn)債券(或零息債券)。我們稱不支付任何股息，以低于交割期面值的價(jià)格售出的金融債券為貼現(xiàn)債券。以下我們稱在時(shí)刻s到期的貼現(xiàn)債券為s-債券，它在時(shí)刻的價(jià)格記為，假定等于（也就是一單位的銀行存款）。當(dāng)時(shí)間時(shí)，一個(gè)-債券的到期收益（或簡(jiǎn)稱收益）定義為 (1)它是在當(dāng)前時(shí)刻對(duì)利率的未來價(jià)值的一種測(cè)度。在不同的到期時(shí)刻得到不同的收益，這反映了關(guān)于未來利率的市場(chǎng)觀念。在時(shí)刻上的收益曲線就是靠近的軌跡，收益曲線對(duì)于到期時(shí)間的依賴關(guān)系，稱為利率的期

4、限結(jié)構(gòu)。在時(shí)刻上的短期價(jià)格定義為,當(dāng)然，前提是這個(gè)極限存在的話。以后，我們假定對(duì)所有的都成立且可測(cè)，此外，。如果關(guān)于可微，那么就有另一種關(guān)于利率的未來價(jià)值的衡量方法叫做遠(yuǎn)期利率，它的定義如下 (2)知道遠(yuǎn)期利率，可以重新寫出債券價(jià)格 (3)利率衍生物是一種金融契約，它的支付由未來的利率或者債券價(jià)格決定，因而具有隨機(jī)性。為了能夠給利率衍生物定價(jià)，我們需要在它有效期間內(nèi)對(duì)利率或者債券價(jià)格建立動(dòng)態(tài)行為模型，基本的原理是假定債券市場(chǎng)不存在套利。如果是確定的光滑函數(shù)，那么在無套利的情況下，必須具有如下形式這里是時(shí)刻上的短期利率。它表示在這種情況下，債券價(jià)格完全由短期利率決定。但是，在不確定的情況下，這不

5、再成立。事實(shí)上，假設(shè)給定我們短期利率過程,它是一個(gè)可測(cè)的適應(yīng)非負(fù)過程。如果是等價(jià)于的一個(gè)概率測(cè)度，我們寫成 （4）那么定義為債券價(jià)格，而是這個(gè)債券市場(chǎng)的等價(jià)鞅測(cè)度。所以不同的等價(jià)概率測(cè)度導(dǎo)出不同的債券價(jià)格模型。我們將會(huì)在下段的討論中看到對(duì)一種等價(jià)概率測(cè)度的選擇依賴于對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的指定。2.短期利率模型（1）單因素模型我們假定短期利率過程是建立在目標(biāo)概率測(cè)度下的擴(kuò)散過程 （5）這里是一維布朗運(yùn)動(dòng)。因?yàn)樵诜匠?5)里唯一的狀態(tài)變量是短期利率，我們稱這種模型為單因素模型(one-factor model)。為了建立關(guān)于這個(gè)債券市場(chǎng)的短期利率模型，我們首先選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)于的概率測(cè)度，作為債券市場(chǎng)

6、的等價(jià)鞅測(cè)度，然后，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性價(jià)值公式(4)建立債券價(jià)格過程。為簡(jiǎn)單起見，我們只考慮那些等價(jià)概率測(cè)度，它們關(guān)于的Radon-Nikodym衍生物有如下形式 （6）這里是在上的波雷爾函數(shù)。因此，選擇的概率測(cè)度包含了指定的函數(shù)。后者可用市場(chǎng)數(shù)據(jù)加以估計(jì)，因?yàn)槭?債券的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格。一旦我們知道了函數(shù)，在(5)中建立的短期利率過程可以重新用“風(fēng)險(xiǎn)中性”的語言建立，如下 （7）這里，是一個(gè)一維的-布朗運(yùn)動(dòng),并且.通過Feynman-Kac公式我們知道，在一些規(guī)范的條件下，s-債券的定價(jià)過程可以表示為，這里是一個(gè)在上的函數(shù)，并且對(duì)于任意給定的，它是如下偏微分方程的唯一解 （8）終值條件是。作為單因素模

7、型的例子，我們現(xiàn)在給出兩個(gè)最著名的模型：Vasicek模型和CIR模型。在Vasicek模型中，假定短期利率過程在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下（也就是在等價(jià)鞅測(cè)度空間中）滿足以下形式的隨機(jī)微分方程（SDE）， （9）這里，是正的常數(shù)，是下的布朗運(yùn)動(dòng)，這樣的一個(gè)過程稱為Ornstein-Uhlenbeck過程。短期利率看起來好像是股票的價(jià)格，但是兩者之間重要的區(qū)別之一是短期利率在整個(gè)時(shí)間上總會(huì)趨向于某個(gè)長期平均水平，一個(gè)著名的現(xiàn)象是均值回歸（mean reversion）。實(shí)際上，如果市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格是一個(gè)常數(shù)，那么從（9）我們可以知道短期利率在利率被拉向水平，因?yàn)?。容易?yàn)證（9）的唯一解是 （10）因?yàn)槭钦龖B(tài)分

8、布，但如果出現(xiàn)，這顯然不合理。不過這個(gè)模型有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是它給出了-債券價(jià)格的一個(gè)明確的表達(dá)式 （11）這里 （12） （13）這些公式既可以通過解方程（8）得到，也可以用（10）計(jì)算（4）的條件期望值得到。正像上面所提到的，Vasicek模型的一個(gè)缺點(diǎn)是短期利率可能為負(fù)值。為了解決這個(gè)問題，Cox-Ingersoll-Ross（1985）建議在風(fēng)險(xiǎn)中性范圍內(nèi)用如下的隨機(jī)微分方程對(duì)短期利率行為建立模型 （14）這里，是正的常數(shù)，方程（14）有唯一解，而且必是非負(fù)的。通過解方程（8）我們得到了對(duì)于s-債券價(jià)格的相同的表達(dá)式（11），這里 （15） （16）這里。兩個(gè)模型里，和都是關(guān)于和的確定的函數(shù)，

9、并且債券價(jià)格有（11）的形式。收益曲線在時(shí)刻是關(guān)于短期利率的線性函數(shù)：。因此，二者均為仿射期限結(jié)構(gòu)（affine term structure）。這種模型的收益曲線的形狀可能是上揚(yáng)，下傾，以及輕微隆起。詳細(xì)的討論建議讀者參考Duffie（1992）。實(shí)際上，專業(yè)人士利用短期利率的歷史數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)、的值，然后在這些估計(jì)出來的參數(shù)的基礎(chǔ)上計(jì)算出一組可交易的債券和期權(quán)的價(jià)值，把這些值同市場(chǎng)價(jià)值比較，最后再調(diào)整參數(shù)的值，反復(fù)進(jìn)行這樣的過程直到模型能很好的符合歷史數(shù)據(jù)。不過，調(diào)整參數(shù)的值是很困難的，因此只要債券價(jià)格符合當(dāng)日債券價(jià)格的觀測(cè)值就可以了。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，Hull和White（1990）把這個(gè)

10、模型擴(kuò)展到具有依存于時(shí)間系數(shù)的情形：，這些擴(kuò)展模型同樣具有仿射期限結(jié)構(gòu)（affine term structure）。（2）多因素模型前面介紹的單因素短期利率模型給出了債券價(jià)格的明確的表達(dá)式，但這些模型不能很好地符合實(shí)際的利率運(yùn)動(dòng)情況。更貼近實(shí)際的短期利率模型應(yīng)該包含一些其他的經(jīng)濟(jì)變量，比如長期利率，特定數(shù)量債券的收益，短期利率浮動(dòng)率等等。我們用一個(gè)多維布朗運(yùn)動(dòng)來描述不確定性，這樣的模型稱為多因素模型。第一個(gè)多因素模型是由Brennan和Schwartz（1979）提出的二維擴(kuò)散模型，其中的狀態(tài)變量是短期利率長期利率，后者用聯(lián)合公債價(jià)格的倒數(shù)來描述。聯(lián)合公債是一種沒有最終到期日的特殊的有息債券

11、。然而，Dybvigetal（1996）得出的一個(gè)結(jié)果告訴我們長期利率不會(huì)下降，因此不能用擴(kuò)散來建立模型。Chen在1996年提出了一個(gè)三因素模型，這個(gè)模型除了短期利率，還引入了另外兩個(gè)因素，短期平均利率和短期利率浮動(dòng)率。最近幾年，許多論文研究所謂的高維平方型Guass-Markov過程模型，描述如下這里是等價(jià)鞅測(cè)度空間下的維布朗運(yùn)動(dòng)，是定義在上的明度函數(shù)，而是上的明度函數(shù)。這個(gè)模型的優(yōu)點(diǎn)是能夠?qū)С龃_切的債券價(jià)格公式，建議讀者參考Rogers（1995）。3.HJM模型Heath，Jarrow和Morton在1987年提出了另一種建立期限結(jié)構(gòu)模型的方式（參見Heath-Jarrow-Morto

12、n（1992）。HJM模型根據(jù)遠(yuǎn)期利率來描述期限結(jié)構(gòu)模型。通過這種方式，模型就可以自動(dòng)適合當(dāng)前的收益曲線。Ho和Lee在1986年提出類似HJM模型的離散時(shí)間模型。已知遠(yuǎn)期利率的一個(gè)隨機(jī)模型，我們假定定義了時(shí)刻上的短期利率，對(duì)于給定的到期日，在風(fēng)險(xiǎn)中性的范圍內(nèi)，可以用Ito過程表示遠(yuǎn)期利率的HJM模型 （17）這里是等價(jià)鞅測(cè)度空間下的維布朗運(yùn)動(dòng),和是分別取值在和上的可測(cè)度適應(yīng)過程，這樣（17）可以很好的定義為一個(gè)Ito過程。初始遠(yuǎn)期曲線是確定的，并且滿足條件。假定是利率過程，則因?yàn)槭且粋€(gè)嚴(yán)格正鞅，由布朗運(yùn)動(dòng)的鞅表示法則，存在一個(gè)上的適應(yīng)過程，滿足也就是 （18）另一方面，由（4），有因此，通過

13、比較的兩個(gè)表達(dá)式的鞅部分，在一些理論條件下確保Fubini定理的實(shí)用性，我們得到 （19）由此，必可表示為 （20）如果想了解更詳細(xì)的證明，讀者可以參見Duffie(1996)，p.151-153。由（17）和（20）我們得到特別的，當(dāng)是一個(gè)常量時(shí)，我們可以得到Ho-Lee模型的連續(xù)時(shí)間極限這里4.Flesaker-Hughston模型Flesaker和Hughston于1996年提出了利率的期限結(jié)構(gòu)新的建模方法，這種方法的關(guān)鍵在于對(duì)（4）的觀察：-債券的價(jià)格過程由（4）定義，使則根據(jù)Bayes法則， （21）這里 （22）因?yàn)槭且粋€(gè)P-鞅，所以是一個(gè)上鞅，而表達(dá)式（22）只是上鞅的數(shù)量積分解

14、?，F(xiàn)在假設(shè)是嚴(yán)格正的P-上鞅，債券價(jià)格由（22）規(guī)定，如果上鞅A的數(shù)量積分解具有（22）的形式，其中是一個(gè)P-上鞅，是非負(fù)過程，那么相應(yīng)的短期利率過程必是，并且具有密度過程的概率測(cè)度是具有不同到期時(shí)間債券的價(jià)格過程的等價(jià)鞅測(cè)度。舉個(gè)例子來說，令 （23）這里是嚴(yán)格正的遞減函數(shù)，且，是定義在域流概率空間（filtered probability space）上的嚴(yán)格正的鞅，且。然后由（21）立即可以得到 （24）這個(gè)模型可以輕松的適合初始曲線：它只要選擇這樣的和就可以了 （25）為了得到短期利率的清晰的表達(dá)式，我們假定是布朗運(yùn)動(dòng)中性流，因?yàn)槭菄?yán)格正鞅，它必須具有形式，這里是適當(dāng)?shù)目蓽y(cè)過程。令是上

15、鞅的數(shù)量積分解，這里為嚴(yán)格正的局部鞅，是嚴(yán)格正的遞減過程且，必須具有的形式，因此由 Ito公式，我們有 （26）通過比較（26）兩邊的項(xiàng)和剩余項(xiàng)，我們發(fā)現(xiàn) （27）因此，如果是一個(gè)鞅并且我們由定義一個(gè)概率測(cè)度，那么是一個(gè)唯一的概率測(cè)度，滿足 （28）可以由（27）解出，結(jié)果是由（28）我們可以得到短期利率過程的一個(gè)清晰的表達(dá)式 （29）特別的，容易證明，這里是遠(yuǎn)期利率。Flesaker-Hughston模型的主要優(yōu)點(diǎn)是我們可以直接用上鞅表示利率衍生物在時(shí)刻的價(jià)格（到期時(shí)刻） （30）通過這個(gè)方程可以得到一些利率衍生物價(jià)格的顯式表達(dá)式，例如具有上限的衍生物（cap）和可交換的衍生物（swapti

16、ons），建議讀者參閱Rutkowski（1997）。5.利率衍生物的定價(jià)給到期日為的利率衍生物定價(jià)，有兩種計(jì)價(jià)單位：銀行存款和-債券。當(dāng)一個(gè)衍生物同利率相關(guān)且模型由Ito隨機(jī)微分方程給出（比如Vasicek模型或者CIR模型），我們選擇銀行存款作為計(jì)價(jià)單位。在此種情況下可以得到，利率衍生物的價(jià)值表達(dá)式可以從一個(gè)偏微分方程解出。假設(shè)短期利率過程服從由（14）給出的單因素模型，考慮在到期日下的利率衍生物，它在任何下有股息并且最終支付為。由等價(jià)鞅測(cè)度的定義，給出時(shí)刻上衍生物的價(jià)值 （31）這里。在合適的條件下，F(xiàn)eynman-Kac公式保證可以解下面的偏微分方程 （32）滿足邊界條件 （33）這里

17、 （34）特別的，-債券在時(shí)刻上的值由給出，這里是方程（32）在并且滿足邊界條件的解。現(xiàn)在我們假定利率期限結(jié)構(gòu)由HJM表示，在此種情況下我們把-債券作為計(jì)價(jià)單位，更精確的說，令是時(shí)刻的債券價(jià)格。在的時(shí)候我們定義為-債券的規(guī)范化形式，把作為計(jì)價(jià)單位，用表示銀行存款的價(jià)值過程。現(xiàn)在我們要找一個(gè)概率測(cè)度，滿足：由計(jì)價(jià)單位貼現(xiàn)的銀行存款的價(jià)值過程是一個(gè)-鞅。最后，我們定義上概率測(cè)度因?yàn)?鞅顯然有是-鞅。現(xiàn)在由（16）有因此由Girsanov定理，是一個(gè)-維-布朗運(yùn)動(dòng)。如果一個(gè)到期時(shí)刻為利率衍生物只有最終支付，則由Bayes法則它的時(shí)刻的價(jià)值可以給出為以下是著名的利率衍生物的一些例子，它們都用到了以上提

18、到的估價(jià)方法。（1） 一個(gè)具有預(yù)購股票價(jià)格的歐式看漲期權(quán)是一個(gè)契約，它的最終支付為。（2） 利率交換是發(fā)生在兩對(duì)立方（比如A和B）的一種契約，他們進(jìn)行一系列的現(xiàn)金支付交易。A同意以固定的利率支付B，以浮動(dòng)的利率回收。理論上，本金用于決定支付的多少，并且沒有本金的交易。從A的觀點(diǎn)來看這是利率的衍生物，它以價(jià)格支付股息，這里是達(dá)成一致的時(shí)刻零上的固定利率。容易看出，時(shí)刻的交換價(jià)值是。（3） 利率上限是一種金融手段，它為浮動(dòng)利率債務(wù)有效地設(shè)置一個(gè)利率償還的最大值。換句話說，上限就是具有可變利率的貸款，這個(gè)利率被限制在某個(gè)水平下。如果我們假定短期利率服從方程（14），那么那么貸款的每單位本金以及上限的

19、價(jià)值由（31）和（32）給出，此時(shí)，。（4） 利率下限是一種金融手段，它為浮動(dòng)利率債務(wù)有效地設(shè)置一個(gè)利率償還的最小值。當(dāng)最終支付為1時(shí),它是一個(gè)把最低的作為股息價(jià)格的未定權(quán)益。（5） 利率約束（interest rate collar）是在具有相同的支付日期和重置區(qū)間的情況下，從長期考慮時(shí)利率有一個(gè)上限，從短期考慮時(shí)利率有一個(gè)下限。6.遠(yuǎn)期價(jià)格和未來價(jià)格現(xiàn)在考慮具有到期的遠(yuǎn)期契約，它是關(guān)于一個(gè)單位的特別資產(chǎn)的，這個(gè)資產(chǎn)價(jià)格過程為。假定短期利率過程是有界的，并且貼現(xiàn)過程是一個(gè)在等價(jià)鞅測(cè)度下的鞅。令是優(yōu)先資產(chǎn)在時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)格，那么通過定義知道這個(gè)契約在到期的支付為，因?yàn)檫@個(gè)遠(yuǎn)期契約在時(shí)刻的價(jià)值應(yīng)該

20、為，我們有因而，它給出了 （35）現(xiàn)在，我們研究未來價(jià)格。考慮一個(gè)到期為的未來契約，這個(gè)契約是關(guān)于某一特殊資產(chǎn)的單位資產(chǎn)的，它具有價(jià)格過程。令是標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)刻上的未來價(jià)格，假定介于時(shí)間段的支付發(fā)生在時(shí)刻，由于未來契約在時(shí)刻的價(jià)值為零，我們必有，這里。為了得到的精確值，我們考慮一個(gè)理想的連續(xù)支付，在這種情況下，我們應(yīng)該有，這里，它意味著積分是一個(gè)-鞅。因?yàn)榇嬖诔?shù)滿足，所以也是一個(gè)鞅。因此我們有 （36）從（35）和（36）我們看到如果和是獨(dú)立的，那么遠(yuǎn)期價(jià)格和未來價(jià)格是一致的，舉個(gè)例子來說，當(dāng)是一個(gè)確定的函數(shù)時(shí)，結(jié)論成立。到此為止，我們已經(jīng)介紹了短期利率模型的單因素和多因素模型、HJM模型、F

21、lesaker-Hughston模型，以及利率衍生物定價(jià)的一些模型。雖然只是涉及到一些基本理論框架和重要結(jié)論，但是這個(gè)理論從產(chǎn)生到發(fā)展直至今天，已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)1 Black, F. and M. Scholes(1973), The pricing of options and corporate liabilities, J. of Political Economy 81,635-654.2 Brennan, M. J. and Pliska, S. (1991),On the fundamental theorem of asset pricing with an inf

22、inite state space, J. Math. Econ.,20,1-18.3 Chen, L.(1996),Interest Rate Dynamics, Derivatives Pricing, and Risk Management, LN in Econom. and Math. Systems 435,Springer.4 Cox, J.C. and M. Rubinstein(1985), Options Markets, Prentics-Hall.5 Duffie, D.(1996), Dynamic Asset Pricing Theory, 2nd ed., Pri

23、nceton Univ. Press.6 Dybvig, P.H., J. E. Ingersoll and S. A. Ross(1996), Long forward and zero-coupon rates can never fall, J. Business 69,1-257 Flesaker, B. and L. Hughston(1996), Positive interest, Risk Magazine,9(1),46-49.8 Heath, D., A. Jarrow and A. Morton(1987),Bond pricing and the term struct

24、ure of interest rates, preprint. 9 Heath, D., A. Jarrow and A. Morton(1992),Bond pricing and the term structure of the interest rates; A new methodology,Econometrica,Vol.60,(1),77-105.10 Ho, T. S. and S. B. Lee(1986),Term structure movements and pricing interest rate contingent claims, J. Finance 41

25、,1011-1029.11 Hull, J. and A. White(1990),Pricing interest-rate-derivatives securities, Review of Financial Studies,3,573-592.12 Rogers, L.C.G.(1995),Which model for the term-structure of interest rates should one use? In: Mathematical Finance (ed. M.H.A. Davis et al.),IMA Volume 65,Springer-Verlag,93-116.13 Roger