七年級(jí)上冊(cè)幾何提優(yōu)與角相關(guān)的問題

1、幾何提優(yōu)二與角相關(guān)的問題閱讀與思考角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角. 角既可以看成有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角. 由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個(gè)直角或是一個(gè)平角的角仍然得到我們的特別關(guān)注. 兩角之和為直角的，這兩個(gè)角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角的概念及其應(yīng)用在幾何計(jì)算和證明中都有十分重要的地位.解與角有關(guān)的問題常用到以下知識(shí)與方法：1. 角的分類；2. 角平分線的概念；3. 互余、互補(bǔ)等數(shù)量關(guān)系

2、角；4. 用方程的觀點(diǎn)來進(jìn)行角的計(jì)算.例題與求解 【例1】如圖，在3×3的網(wǎng)格上標(biāo)出了1和2，則 .解題思路：對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?，通過拼補(bǔ)求出的值.【例2】如果與互補(bǔ)，且，則下列表示的余角的式子中：；. 其中正確的有（ ） A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān). 【例3】已知，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線. OM，ON分別平分AOC，BOC. 求MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角）解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵. 【例4】鐘表在12點(diǎn)鐘時(shí)三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘

3、和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分，求x的值.解題思路：把秒針第一次將分鐘和時(shí)針?biāo)鶌A的銳角平分所得的兩個(gè)角用x的代數(shù)式表示，通過解方程求出x的值. 【例5】（1）現(xiàn)有一個(gè)19°的“模板”（如圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種辦法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來. （2）現(xiàn)有一個(gè)17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？ （3）用一個(gè)21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？對(duì)（2）（3）兩問，如果能，請(qǐng)你簡(jiǎn)述畫法步驟；如果不能，請(qǐng)你說明理由.解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個(gè)19°（或17°或21

4、°）的整數(shù)倍的角，其實(shí)，解題的關(guān)鍵是在于能否找到19°（或17°或21°）的一個(gè)倍數(shù)與某個(gè)特殊角的某個(gè)倍數(shù)相差1°. 【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點(diǎn)，COD是直角，OE平分BOC.（1）如圖，若，求DOE的度數(shù)；（2）在圖中，若，直接寫出DOE的度數(shù) （用含的代數(shù)式表示）；（3）將圖中的DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖的位置. 探究AOC和DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由； 在AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足，試確定AOF與DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由 圖 圖 解題思路：（1）利用互余、互補(bǔ)關(guān)系易求出DOE的度數(shù)；（2）

5、先根據(jù)DOE與COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用BOC表示出COE，再根據(jù)互補(bǔ)角的關(guān)系用表示出所求角的度數(shù)；（3）可設(shè)BOC為一個(gè)未知數(shù)，分別表示出AOC與DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；結(jié)合把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可.能力訓(xùn)練A 級(jí)1. 已知一個(gè)角的補(bǔ)角等于這個(gè)角余角的6倍，那么這個(gè)角等于 . 2. 如圖，那么不大于90°的角有 個(gè)，它們的度數(shù)之和是 .3. 如圖，若，則等于 .4. 如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OE平分BOD，則圖中彼此互補(bǔ)的角有 對(duì).5. 一個(gè)角的補(bǔ)角的是6°，則這個(gè)角是（ ）A. 68° B. 78° C. 88°

6、 D. 98°6. 用一副三角板可以畫出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）種A. 9 B. 10 C. 11 D. 127. 如圖，若，1是銳角，則1的余角是（ ）A. B. C. D.8. 如圖，OD是COB的平分線，OE是AOC的平分線，設(shè)，則與的余角相等的角是（ ）A.COD B.COE C.DOA D.COA9. 如圖，已知，OD平分AOB，且，求AOB的度數(shù). 10. 如圖，已知AOB與BOC互為補(bǔ)角，OD是AOB的平分線，OE在BOC內(nèi)，. 求EOC的度數(shù).11. 已知，OC平分AOB，OE平分COD. 求AOE的大小.12. 如圖，已知OB，O

7、C，OD為AOE內(nèi)三條射線. （1）圖中共有多少個(gè)角？ （2）若OB，OC，OD為AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400°，求AOE的度數(shù). （3）若，求圖中所有銳角的和.B 級(jí)1. 已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角余角的3倍大10°，則這個(gè)角的度數(shù)是 . 2. ，中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算的值時(shí)，有三位同學(xué)分別算出了23°，24°，25°這三個(gè)不同的結(jié)果. 其中只有一個(gè)是正確的答案，則 . 3. 如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個(gè)圖形中，不大于平角的角共有 個(gè). 4. 如圖，射線O

8、C，OD，OE，OF分別平分AOB，COB，AOC，EOC，若，則 .5. 4點(diǎn)鐘后，從時(shí)針到分針第二次成90°角，共經(jīng)過（ ）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）A. 60 B. 30 C. 40 D. 336. 如圖是一個(gè)3×3的正方形，則圖中的和等于（ ）A. 270° B. 315° C. 360° D. 405°7. 已知，OM，ON，OP分別是AOB，BOC，AOC的平分線，則下列各式中成立的是（ ）A. B. C. D.以上情況都有可能8. 如圖，AOC是直角，且OB，OD分別是AOC，BOE的平分線，則AOE等于（ ）A. 11

9、1.5° B. 138° C. 134.5° D. 178° 9. 如圖，在直線AB上取一點(diǎn)O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使COE和BOE互余，射線OF和OD分別平分COE和BOE. 求證：.10. 如圖，A1OA11是一個(gè)平角，. 求的度數(shù). 11. 在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）. 若現(xiàn)在時(shí)間恰好是12點(diǎn)整，問經(jīng)過多少秒后，OAB的面積第一次達(dá)到最大？答案例145° 提示：如圖，通過拼補(bǔ)得1+2=45°.例2B提示：（90°）+=90°符合；（90°

10、;）+=+90°=180°90°=90°符合；符合.故能表示的余角.13OM、ON平分AOC，BOC，AOM=COM=，CON=BON=（1）如圖，若OC在AOB內(nèi)，設(shè)BOC=x，則圖圖圖例6 （1），且與互為相反數(shù)。且。，即，（2）有兩種情況，如圖當(dāng)在上時(shí)，；當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，綜上可知，（3） 作圖如圖，結(jié)論正確，設(shè)，則，當(dāng)然對(duì)于我們也不難找出其值不為定值的原因。，變化，其值也變化A級(jí)1 或提示：當(dāng)，在點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，；當(dāng)，在同一側(cè)時(shí)，2 203 41.6 提示：所有線段長(zhǎng)度總和為AOC80°x，MONMOCNOC40°（2）如圖，若OC

11、在AOB內(nèi)，設(shè)BOCx，則AOC80°xMONMOCNOC40°（3）如圖，若OC在AOB內(nèi)，設(shè)BOCx，則AOC280°xMONMOCNOC140°（4）如圖，若OC在AOB內(nèi)，設(shè)BOCx，則AOCx80°MONNOCMOC40°綜上所述：MON40°或 140°例4x提示：顯然x的值大于1小于2，依題意得6x360(x1)360(x1)0. 5x例5提示：設(shè)“模板”角度為，假設(shè)可由k個(gè)角與t個(gè) 180°角畫出1°的角來，即k，t滿足等式k180t1（1）當(dāng)19°時(shí)，取k19，t2，

12、即用模板連續(xù)畫出19個(gè)19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即得1°的角（2）當(dāng)17°時(shí)，即17k一180t1，此時(shí)，k53，t5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個(gè)17°的角，得到901°的角，除去兩個(gè)周角和一個(gè)平角，即得1°的角（3）當(dāng)21°時(shí)，即21k180t1無整數(shù)解，不能用21°的模板與鉛筆畫出1°的角例6 (1) BOC180°AOC180°30°150°又QE平分BOC，COEBOC75°，DOE90°75

13、°15°（2）DOE90°（3）AOC180°2COE180°2(90°DOE)2DOE；設(shè)DOEx，AOFy則AOC4AOF2DOE4AOF2x4y2BOEAOF2COEAOF2 ( 90°DOE) AOF2 ( 90°一x )y180°一2xy故 2x4y180°2xy，即 4x5y180°所以 4DOE5AOF180°A級(jí)172°210 450° 提示：一共有10個(gè)角，其中AOE90°，BOD45°，AOB十BOE90°

14、，AOCCOE90°，AODDOE90°，BOCCOD45°故這10個(gè)角的度數(shù)和為90°×445°×2360°90450°33046 提示：AOC和BOC，AOD和BOD，AOE和BOE，AOE和DOE，AOE和COD，AOD和COE5B 6A7C 8B9114° 提示：設(shè)AOCx°，是BOC2x°，AOD(x)°，COD(x)°，AOBAOCBOC114°10設(shè)AODBODx，則BOC180°2x又BOEEOC，BOEBOC(180&

15、#176;2x)又BODBOEDOE72°，x(180°2x)72°，解得x36°則EOCBOC(180°2x)72°11（1）如圖，若OD在AOB內(nèi)時(shí)，AOCBOCAOB40°，COEDOECOD30°，AOEAOCCOE70°（2）如圖，若OD在AOB內(nèi)時(shí)，同理，AOC40°，OOE30°，AOEAOCCOE10°綜上所述：AOE70°或10°12（1）共有：432l10 個(gè)角（2）AOE80°（3）所有銳角度數(shù)和為：416°B級(jí)150° 2345° 315464°提示：設(shè)EOFCOFx，則AOE2xBOCAOC2xxx4x，CODBODBOC2x，又FODFOCCODx2x3x24°，x80°，AOB8x64°5D6D沿AB對(duì)折，上下圖形能夠完全重合，則19482690°7B8D9提示：COEBOE90°，DOF45°，AOFBOD135°10由題中條件知A3OA2A2OA12°，A4OA3A3O