上學(xué)期拓?fù)鋵W(xué)考試試卷答案B

1、中南大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（B）2009-2010學(xué)年 二 學(xué)期 拓?fù)鋵W(xué) 課程 48 學(xué)時(shí)，3.0學(xué)分，閉卷，總分100分，占總評成績 70 %時(shí)間:100分鐘, 專業(yè)年級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2008級一、選擇題 (將正確答案填入題后的括號內(nèi) ,每題3分，共15分)1、B 2、C 3、A 4、D 5、C二、簡答題（每題4分，共20分）1、空間答案：一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.2、空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g是空間.3、列緊空間答案：設(shè)是一個(gè)

2、拓?fù)淇臻g. 如果的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻g是一個(gè)列緊空間.4、同胚映射答案：設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果是一個(gè)一一映射，并且和 都是連續(xù)映射，則稱是一個(gè)同胚映射或同胚.5、正則空間答案：設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中的任何一個(gè)點(diǎn)和任何一個(gè)不包含這個(gè)點(diǎn)的閉集都各自有一個(gè)開鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.三、判斷，并給出理由（20分，每題5分，判斷2分，理由3分）1、設(shè)是集合的兩個(gè)拓?fù)?，則不一定是集合的拓?fù)? )答案:×理由：因?yàn)?1)是的拓?fù)洌?，從而?2)對任意的，則有且，由于是的拓?fù)?，故且，從而?3)對任意的，則，由于是的拓?fù)?，從? ,故；綜上有也是的拓?fù)?、從離散空

3、間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射( ) 答案: 理由：設(shè)是離散空間，是拓?fù)淇臻g，是連續(xù)映射，因?yàn)閷θ我?，都?由于中的任何一個(gè)子集都是開集，從而是中的開集，所以是連續(xù)的. 3、設(shè)為離散拓?fù)淇臻g的任意子集，則 （ ）答案: 理由：設(shè)為中的任何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個(gè)子集都是開集，所以是的開子集，且有，即,從而 .4、若拓?fù)淇臻g中存在一個(gè)既開又閉的非空真子集，則是一個(gè)不連通空間( )答案： 理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)是中的一個(gè)既開又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿足，易見是隔離子集，所以拓?fù)淇臻g是一個(gè)不連通空間.四、證明題（共40分）1、設(shè)是空間的一個(gè)收斂序列,證明：的極限點(diǎn)唯一. (1

4、0分)證明：若極限點(diǎn)不唯一，不妨設(shè),其中，由于是空間，故和各自的開鄰域，使得. 因，故存在，使得當(dāng)時(shí)，；同理存在，使得當(dāng)時(shí)，.令,則當(dāng)時(shí)，從而,矛盾，故的極限點(diǎn)唯一. 2、設(shè)為拓?fù)淇臻g，證明是空間的充分必要條件是的每一獨(dú)點(diǎn)集都為閉集.(10分)證明：（必要性）設(shè)，由為空間，故有y的開領(lǐng)域V，所以，所以為開集，從而為閉集。（充分性）設(shè)，由條件知,為閉集，故，所以為空間。3、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)連續(xù)映射.如果是一個(gè)緊致空間，證明是的一個(gè)緊致子集.(10分) 證明：設(shè)是的一個(gè)由中的開集構(gòu)成的覆蓋.對于任意，是中的一個(gè)開集，由于,從而有：所以是的開覆蓋.由于是緊致空間，所以 有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為. 因?yàn)?，從而，即是的一個(gè)子族并且覆蓋，因此是的一個(gè)緊致子集. 4、 設(shè)為非空集合，令為試證：(1) 是一個(gè)拓?fù)淇臻g；(5分)(2) 若為無限集，是連通空間；(5分)(3)是緊致空間。(5分)證明：(1)(2) 注意；(3) 對任意，則與分別為與的開鄰域，且，因此，為空間。設(shè)為的任何開鄰域，為的任何開鄰域，則，其中，均