上學(xué)期拓?fù)鋵W(xué)考試試卷答案B

1、中南大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（B）2009-2010學(xué)年 二 學(xué)期 拓?fù)鋵W(xué) 課程 48 學(xué)時，3.0學(xué)分，閉卷，總分100分，占總評成績 70 %時間:100分鐘, 專業(yè)年級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2008級一、選擇題 (將正確答案填入題后的括號內(nèi) ,每題3分，共15分)1、B 2、C 3、A 4、D 5、C二、簡答題（每題4分，共20分）1、空間答案：一個拓?fù)淇臻g如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基，則稱這個拓?fù)淇臻g是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.2、空間答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個不相同的點中必有一個點有一個開鄰域不包含另一點，則稱拓?fù)淇臻g是空間.3、列緊空間答案：設(shè)是一個

2、拓?fù)淇臻g. 如果的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓?fù)淇臻g是一個列緊空間.4、同胚映射答案：設(shè)和是兩個拓?fù)淇臻g.如果是一個一一映射，并且和 都是連續(xù)映射，則稱是一個同胚映射或同胚.5、正則空間答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任何一個點和任何一個不包含這個點的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正則空間.三、判斷，并給出理由（20分，每題5分，判斷2分，理由3分）1、設(shè)是集合的兩個拓?fù)?，則不一定是集合的拓?fù)? )答案:×理由：因為(1)是的拓?fù)洌?，從而?2)對任意的，則有且，由于是的拓?fù)洌是?，從而?3)對任意的，則，由于是的拓?fù)洌瑥亩? ,故；綜上有也是的拓?fù)?、從離散空

3、間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射( ) 答案: 理由：設(shè)是離散空間，是拓?fù)淇臻g，是連續(xù)映射，因為對任意，都有,由于中的任何一個子集都是開集，從而是中的開集，所以是連續(xù)的. 3、設(shè)為離散拓?fù)淇臻g的任意子集，則 （ ）答案: 理由：設(shè)為中的任何一點，因為離散空間中每個子集都是開集，所以是的開子集，且有，即,從而 .4、若拓?fù)淇臻g中存在一個既開又閉的非空真子集，則是一個不連通空間( )答案： 理由：這是因為若設(shè)是中的一個既開又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿足，易見是隔離子集，所以拓?fù)淇臻g是一個不連通空間.四、證明題（共40分）1、設(shè)是空間的一個收斂序列,證明：的極限點唯一. (1

4、0分)證明：若極限點不唯一，不妨設(shè),其中，由于是空間，故和各自的開鄰域，使得. 因，故存在，使得當(dāng)時，；同理存在，使得當(dāng)時，.令,則當(dāng)時，從而,矛盾，故的極限點唯一. 2、設(shè)為拓?fù)淇臻g，證明是空間的充分必要條件是的每一獨(dú)點集都為閉集.(10分)證明：（必要性）設(shè)，由為空間，故有y的開領(lǐng)域V，所以，所以為開集，從而為閉集。（充分性）設(shè)，由條件知,為閉集，故，所以為空間。3、設(shè)是兩個拓?fù)淇臻g，是一個連續(xù)映射.如果是一個緊致空間，證明是的一個緊致子集.(10分) 證明：設(shè)是的一個由中的開集構(gòu)成的覆蓋.對于任意，是中的一個開集，由于,從而有：所以是的開覆蓋.由于是緊致空間，所以 有一個有限子覆蓋，設(shè)為. 因為，從而，即是的一個子族并且覆蓋，因此是的一個緊致子集. 4、 設(shè)為非空集合，令為試證：(1) 是一個拓?fù)淇臻g；(5分)(2) 若為無限集，是連通空間；(5分)(3)是緊致空間。(5分)證明：(1)(2) 注意；(3) 對任意，則與分別為與的開鄰域，且，因此，為空間。設(shè)為的任何開鄰域，為的任何開鄰域，則，其中，均