等腰三角形性質定理-(提高)-知識講解

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上等腰三角形性質定理（提高）責編：杜少波【學習目標】1. 了解等腰三角形的有關概念, 掌握等腰三角形的軸對稱性2.利用軸對稱變換推導等腰三角形的性質，并加深對軸對稱變換的認識3. 掌握等腰三角形的下列性質：等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角形三線合一4. 會利用等腰三角形的性質進行簡單的推理、判斷、計算和作圖【要點梳理】要點一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABAC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B

2、、C是底角2.等腰三角形的作法 已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a； 2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧， 兩弧相交于點A; 3.連接AB,AC. ABC為所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的對稱性 (1)等腰三角形是軸對稱圖形 (2)BC (3)BDCD，AD為底邊上的中線.(4)ADBADC90°，AD為底邊上的高線.結論：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有

3、三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.要點詮釋：（1）等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.A180°2B，BC .（2）用尺規(guī)作圖時，畫圖的痕跡一定要保留，這些痕跡一般是畫的輕一些，能看清就可以了，題目中要求作的圖要畫成實線，最后一定要點題，即“xxx即為所求”.(3) 等邊三角形與等腰三角形的關系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.等邊三角形是中考中?？嫉闹R點，并且有關它的計算也很常見，因此對于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心

4、，比如邊長為a的等邊三角形它的高是，面積是.【高清課堂： 等腰三角形的性質及判定，知識要點】要點二、等腰三角形的性質1.等腰三角形的性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”推論：等邊三角形的各個內角都等于60°.性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”2.等腰三角形的性質的作用證明兩條線段或兩個角相等的一個重要依據(jù)3.尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高已知線段a，h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BCa,BC邊上的高線為h.作法：1.作線段BC=a.2.作線段BC的垂直平分線l,交BC與點D.3.

5、在直線l上截取DA=h,連接AB,AC.ABC就是所求作的等腰三角形. 【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論【高清課堂： 等腰三角形的性質及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為( ) A60° B120° C60°或150° D60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性質與三角形的內角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，然而題目沒說是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答(1)頂角為銳角如圖，按題意頂角的度數(shù)為60°； (2)頂角為直角，

6、一腰上的高是另一腰，夾角為0°不符合題意； (3)頂角為鈍角如圖，則頂角度數(shù)為120°，故此題應選D【總結升華】此題主要考查了等腰三角形的性質，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關系是解題的關鍵，本題易出現(xiàn)的錯誤是忽視了頂角為120°這種情況，把三角形簡單的認為是銳角三角形舉一反三：【高清課堂： 等腰三角形的性質及判定：例2（2）】【變式1】已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊【答案】 解：(1)3為腰長時，則另一腰長也為3，底邊長13337； (2)3為底邊長時，則兩個腰長的和13310，則一腰長 這樣得兩組：3，3，7 5，5，3 而由構成三角

7、形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：337，故不能組成三角形，應舍去 等腰三角形的周長為13，一邊長為3，其余各邊長為5，5【變式2】等腰三角形有一個外角是100°，這個等腰三角形的底角是 【答案】50°或80°解：若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，則此頂角為：180°100°=80°，則其底角為：（180°80°）÷2=50°；若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，則此底角為：180°100°=80°；故這個等腰三角形的底角為：5

8、0°或80°故答案為：50°或80°類型二、等腰三角形的操作題2、（2016順義一模）我們把過三角形的一個頂點，且能將這個三角形分割成兩個等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線段” 例如：如右圖，RtABC，取AB邊的中點D，線段CD就是ABC的等腰線段（1） 請分別畫出下列三角形的等腰線段； （2） 例如，在EFG中，G=2F，若EFG有等腰線段，請直接寫出F的度數(shù)的取值范圍【思路點撥】（1）利用三角形的等腰線段的定義畫圖；（2）分類討論等腰線段，從而求得F的度數(shù).【答案與解析】解：（1）三角形的等腰線段如圖所示，（2）設F=x，則G=2x，如圖2，線

9、段EM是等腰線段，EMG是等腰三角形，EM=EG，ME=MF，F(xiàn)=MEF=x，EMG=G=2x，2x90°，x45°；如圖3，GN為等腰線段，NF=NG，GN=GE，F(xiàn)=NGF=x，E=ENG，EGN=x，ENG=2x，E=2x，x+2x+2x=180°，x=36°，F(xiàn)的度數(shù)的取值范圍為0°x45°【總結升華】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖也考查了等腰三角形的性質舉一反三

10、：【變式】直角三角形紙片ABC中，ACB90°，ACBC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D，設折痕與AB、AC邊分別交于點E、F，探究：如果折疊后的CDF與BDE均為等腰三角形，那么紙片中的B的度數(shù)是多少？寫出你的計算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形【答案】解：若CDF是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形.設B為度 145°，2A90°當BDBE時 3 ，45°90°180°，30° . 經(jīng)計算EDEB不成立.當DEDB時3180°245°90°180°

11、2180°，45°.綜上所述，B30°或45°.類型三、等腰三角形性質的綜合應用3、如圖，在ABC中，AD是BC 邊上的中線,E是AD上一點，且BEAC，延長BE交AC于F.求證：AFEF.【思路點撥】根據(jù)點D是BC的中點，延長AD到點H，得到ADCHDB，利用全等三角形的對應角相等，對應邊相等進行等量代換，得到AEF中的兩個角相等，然后用等角對等邊證明AE=EF【答案與解析】證明：延長AD到H使DHAD，連接BH.AD是BC邊上的中線，BDCD在ADC和HDB中，ADCHDB，1H，BHACBEAC，BEBH，3H，13又23，12，AFEF【總結升華

12、】證明不在同一個三角形的兩條線段相等，而它們所在的三角形不全等，可以利用輔助線將它們轉移到同一個三角形中，然后通過等腰三角形來證明.舉一反三：【變式】如圖，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求證：ACBF【答案】 證明：延長AD至點G，使DGAD，連接BG.ABCDEFG 4、如圖，ACBC，ACB90°，A的平分線AD交BC于點D，過點B作BEAD于點E.求證：BEAD.【答案與解析】 證明：如圖，延長BE、AC交于點F.12，AEAE，AEBAEF90°，AEBAEF（ASA）.BEFEBF.390°F2，BCAC,BCFACD（A

13、SA）BFAD，BEAD.【總結升華】在幾何解題的過程中，當遇到角分線或線段垂線時?？紤]使用翻折變換，可保留原有圖形的性質，且使原來分散的條件相對集中，以利于問題的解決舉一反三：【變式】如圖1，在ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上（1）求證：BE=CE；（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BFAC，垂足為F，BAC=45°，原題設其它條件不變求證：AEFBCF【答案】證明：（1）AB=AC，D是BC的中點，BAE=EAC，在ABE和ACE中，ABEACE（SAS），BE=CE；（2）BAC=45°，BFAF，ABF為等腰直角三角形，AF=BF，AB=AC，點D是BC的中點，ADBC，EAF+C=90°，BFAC，CBF+C=90°，EAF=CBF，在AEF和BCF中，AEFBCF（ASA）5、如圖，ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E、A在直線DC的同側，連接AE 求證：AEBC【思路點撥】根據(jù)等邊三角形性質推出BC=AC，CD=CE，ABC=BCA=ECD=60°，求出BCD=ACE，根據(jù)SAS證ACEBCD，推出EAC=