等腰三角形性質(zhì)定理-(提高)-知識(shí)講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上等腰三角形性質(zhì)定理（提高）責(zé)編：杜少波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解等腰三角形的有關(guān)概念, 掌握等腰三角形的軸對(duì)稱性2.利用軸對(duì)稱變換推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)，并加深對(duì)軸對(duì)稱變換的認(rèn)識(shí)3. 掌握等腰三角形的下列性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形三線合一4. 會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理、判斷、計(jì)算和作圖【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABAC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B

2、、C是底角2.等腰三角形的作法 已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a； 2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧， 兩弧相交于點(diǎn)A; 3.連接AB,AC. ABC為所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的對(duì)稱性 (1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形 (2)BC (3)BDCD，AD為底邊上的中線.(4)ADBADC90°，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有

3、三條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.A180°2B，BC .（2）用尺規(guī)作圖時(shí)，畫圖的痕跡一定要保留，這些痕跡一般是畫的輕一些，能看清就可以了，題目中要求作的圖要畫成實(shí)線，最后一定要點(diǎn)題，即“xxx即為所求”.(3) 等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見，因此對(duì)于等邊三角形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心

4、，比如邊長(zhǎng)為a的等邊三角形它的高是，面積是.【高清課堂： 等腰三角形的性質(zhì)及判定，知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”推論：等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60°.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一”2.等腰三角形的性質(zhì)的作用證明兩條線段或兩個(gè)角相等的一個(gè)重要依據(jù)3.尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高已知線段a，h（如圖）用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BCa,BC邊上的高線為h.作法：1.作線段BC=a.2.作線段BC的垂直平分線l,交BC與點(diǎn)D.3.

5、在直線l上截取DA=h,連接AB,AC.ABC就是所求作的等腰三角形. 【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論【高清課堂： 等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為( ) A60° B120° C60°或150° D60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，然而題目沒(méi)說(shuō)是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答(1)頂角為銳角如圖，按題意頂角的度數(shù)為60°； (2)頂角為直角，

6、一腰上的高是另一腰，夾角為0°不符合題意； (3)頂角為鈍角如圖，則頂角度數(shù)為120°，故此題應(yīng)選D【總結(jié)升華】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視了頂角為120°這種情況，把三角形簡(jiǎn)單的認(rèn)為是銳角三角形舉一反三：【高清課堂： 等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2（2）】【變式1】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為3，求其余各邊【答案】 解：(1)3為腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)也為3，底邊長(zhǎng)13337； (2)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，則兩個(gè)腰長(zhǎng)的和13310，則一腰長(zhǎng) 這樣得兩組：3，3，7 5，5，3 而由構(gòu)成三角

7、形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：337，故不能組成三角形，應(yīng)舍去 等腰三角形的周長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為3，其余各邊長(zhǎng)為5，5【變式2】等腰三角形有一個(gè)外角是100°，這個(gè)等腰三角形的底角是 【答案】50°或80°解：若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，則此頂角為：180°100°=80°，則其底角為：（180°80°）÷2=50°；若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，則此底角為：180°100°=80°；故這個(gè)等腰三角形的底角為：5

8、0°或80°故答案為：50°或80°類型二、等腰三角形的操作題2、（2016順義一模）我們把過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，且能將這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線段” 例如：如右圖，RtABC，取AB邊的中點(diǎn)D，線段CD就是ABC的等腰線段（1） 請(qǐng)分別畫出下列三角形的等腰線段； （2） 例如，在EFG中，G=2F，若EFG有等腰線段，請(qǐng)直接寫出F的度數(shù)的取值范圍【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形的等腰線段的定義畫圖；（2）分類討論等腰線段，從而求得F的度數(shù).【答案與解析】解：（1）三角形的等腰線段如圖所示，（2）設(shè)F=x，則G=2x，如圖2，線

9、段EM是等腰線段，EMG是等腰三角形，EM=EG，ME=MF，F(xiàn)=MEF=x，EMG=G=2x，2x90°，x45°；如圖3，GN為等腰線段，NF=NG，GN=GE，F(xiàn)=NGF=x，E=ENG，EGN=x，ENG=2x，E=2x，x+2x+2x=180°，x=36°，F(xiàn)的度數(shù)的取值范圍為0°x45°【總結(jié)升華】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖也考查了等腰三角形的性質(zhì)舉一反三

10、：【變式】直角三角形紙片ABC中，ACB90°，ACBC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D，設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、F，探究：如果折疊后的CDF與BDE均為等腰三角形，那么紙片中的B的度數(shù)是多少？寫出你的計(jì)算過(guò)程，并畫出符合條件的折疊后的圖形【答案】解：若CDF是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形.設(shè)B為度 145°，2A90°當(dāng)BDBE時(shí) 3 ，45°90°180°，30° . 經(jīng)計(jì)算EDEB不成立.當(dāng)DEDB時(shí)3180°245°90°180°

11、2180°，45°.綜上所述，B30°或45°.類型三、等腰三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用3、如圖，在ABC中，AD是BC 邊上的中線,E是AD上一點(diǎn)，且BEAC，延長(zhǎng)BE交AC于F.求證：AFEF.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H，得到ADCHDB，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到AEF中的兩個(gè)角相等，然后用等角對(duì)等邊證明AE=EF【答案與解析】證明：延長(zhǎng)AD到H使DHAD，連接BH.AD是BC邊上的中線，BDCD在ADC和HDB中，ADCHDB，1H，BHACBEAC，BEBH，3H，13又23，12，AFEF【總結(jié)升華

12、】證明不在同一個(gè)三角形的兩條線段相等，而它們所在的三角形不全等，可以利用輔助線將它們轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，然后通過(guò)等腰三角形來(lái)證明.舉一反三：【變式】如圖，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求證：ACBF【答案】 證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DGAD，連接BG.ABCDEFG 4、如圖，ACBC，ACB90°，A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BEAD于點(diǎn)E.求證：BEAD.【答案與解析】 證明：如圖，延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)F.12，AEAE，AEBAEF90°，AEBAEF（ASA）.BEFEBF.390°F2，BCAC,BCFACD（A

13、SA）BFAD，BEAD.【總結(jié)升華】在幾何解題的過(guò)程中，當(dāng)遇到角分線或線段垂線時(shí)?？紤]使用翻折變換，可保留原有圖形的性質(zhì)，且使原來(lái)分散的條件相對(duì)集中，以利于問(wèn)題的解決舉一反三：【變式】如圖1，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上（1）求證：BE=CE；（2）如圖2，若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，且BFAC，垂足為F，BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變求證：AEFBCF【答案】證明：（1）AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，BAE=EAC，在ABE和ACE中，ABEACE（SAS），BE=CE；（2）BAC=45°，BFAF，ABF為等腰直角三角形，AF=BF，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ADBC，EAF+C=90°，BFAC，CBF+C=90°，EAF=CBF，在AEF和BCF中，AEFBCF（ASA）5、如圖，ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點(diǎn)E、A在直線DC的同側(cè)，連接AE 求證：AEBC【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出BC=AC，CD=CE，ABC=BCA=ECD=60°，求出BCD=ACE，根據(jù)SAS證ACEBCD，推出EAC=