高一數(shù)學(xué)必修4教案（232平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示）

1、2.3 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 平面向量基本定理既是本節(jié)的重點(diǎn)又是本節(jié)的難點(diǎn).平面向量基本定理告訴我們同一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合,這樣,如果將平面內(nèi)向量的始點(diǎn)放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以通過(guò)兩個(gè)不共線的向量得到表示,也就是平面內(nèi)的點(diǎn)可以由平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)及兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示.這是引進(jìn)平面向量基本定理的一個(gè)原因. 在不共線的兩個(gè)向量中,垂直是一種重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一種分解,因?yàn)樵谄矫嫔?如果選取互相垂直的向量作

2、為基底時(shí),會(huì)給問(wèn)題的研究帶來(lái)方便.聯(lián)系平面向量基本定理和向量的正交分解,由點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的表示得到啟發(fā),要在平面直角坐標(biāo)系中表示一個(gè)向量,最方便的是分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底,這時(shí),對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得a=xi+yj. 于是,平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定,而有序數(shù)對(duì)(x,y)正好是向量a的終點(diǎn)的坐標(biāo),這樣的“巧合”使平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量與坐標(biāo)建立起一一映射,從而實(shí)現(xiàn)向量的“量化”表示,使我們?cè)谑褂孟蛄抗ぞ邥r(shí)得以實(shí)現(xiàn)“有效能算”的思想.三維目標(biāo)1.通過(guò)探究活動(dòng),能推導(dǎo)并理解平面向量基本定理

3、.2.掌握平面里的任何一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示,理解這是應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法.能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá).3.了解向量的夾角與垂直的概念,并能應(yīng)用于平面向量的正交分解中,會(huì)把向量正交分解,會(huì)用坐標(biāo)表示向量.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn):平面向量基本定理的運(yùn)用.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課 思路1.在物理學(xué)中我們知道,力是一個(gè)向量,力的合成就是向量的加法運(yùn)算.而且力是可以分解的,任何一個(gè)大小不為零的力,都可以分解成兩個(gè)不同方向的分力之和.將這種力的分解拓

4、展到向量中來(lái),會(huì)產(chǎn)生什么樣的結(jié)論呢？又如一個(gè)放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G,可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直于斜面且壓緊斜面的力F2.我們知道飛機(jī)在起飛時(shí)若沿仰角的方向起飛的速度為v,可分解為沿水平方向的速度vcos和沿豎直方向的速度vsin.從這兩個(gè)實(shí)例可以看出,把一個(gè)向量分解到兩個(gè)不同的方向,特別是作正交分解,即在兩個(gè)互相垂直的方向上進(jìn)行分解,是解決問(wèn)題的一種十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,a是這一平面內(nèi)的任一向量,那么a與e1、e2之間有什么關(guān)系呢？在不共線的兩個(gè)向量中,垂直是一種重要的情形.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量

5、正交分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,是否會(huì)給我們帶來(lái)更方便的研究呢? 思路2.前面我們學(xué)習(xí)了向量的代數(shù)運(yùn)算以及對(duì)應(yīng)的幾何意義,如果將平面內(nèi)向量的始點(diǎn)放在一起,那么平面內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn)或者任意一個(gè)向量是否都可以用這兩個(gè)同起點(diǎn)的不共線向量來(lái)表示呢？這樣就引進(jìn)了平面向量基本定理.教師可以通過(guò)多對(duì)幾個(gè)向量進(jìn)行分解或者合成,在黑板上給出圖象進(jìn)行演示和講解.如果條件允許,用多媒體教學(xué),通過(guò)相應(yīng)的課件來(lái)演示平面上任意向量的分解,對(duì)兩個(gè)不共線的向量都乘以不同的系數(shù)后再進(jìn)行合成將會(huì)有什么樣的結(jié)論？推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題圖1給定平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的非零向量e1、e2,請(qǐng)你作出向量3e1+2e2、

6、e1-2e2.平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢?如圖1,設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,a是這一平面內(nèi)的任一向量,我們通過(guò)作圖研究a與e1、e2之間的關(guān)系. 活動(dòng):如圖1,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=e1,=e2,=a.過(guò)點(diǎn)C作平行于直線OB的直線,與直線OA;過(guò)點(diǎn)C作平行于直線OA的直線,與直線OB交于點(diǎn)N.由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)可知,存在實(shí)數(shù)1、2,使得=1e1,=2e2.由于,所以a=1e1+2e2.也就是說(shuō),任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式. 由上述過(guò)程可以發(fā)現(xiàn),平面內(nèi)任一向量都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量e1、e2表示出來(lái).當(dāng)e1、e2確定

7、后,任意一個(gè)向量都可以由這兩個(gè)向量量化,這為我們研究問(wèn)題帶來(lái)極大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2.定理說(shuō)明:(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;(2)基底不唯一,關(guān)鍵是不共線;(3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進(jìn)行分解;(4)基底給定時(shí),分解形式唯一.討論結(jié)果:可以.a=1e1+2e2.提出問(wèn)題平面中的任意兩個(gè)向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？對(duì)平面中的任意一個(gè)向量能否用兩個(gè)互相垂直的向量來(lái)表示

8、？ 活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量的定義和性質(zhì),思考平面中的任意兩個(gè)向量之間的關(guān)系是什么樣的,結(jié)合圖形來(lái)總結(jié)規(guī)律.教師通過(guò)提問(wèn)來(lái)了解學(xué)生總結(jié)的情況,對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不全面的學(xué)生給予提示和鼓勵(lì).然后教師給出總結(jié)性的結(jié)論:不共線向量存在夾角,關(guān)于向量的夾角,我們規(guī)定:圖2 已知兩個(gè)非零向量a和b(如圖2),作=a,=b,則AOB=(0°180°)叫做向量a與b的夾角. 顯然,當(dāng)=0°時(shí),a與b同向;當(dāng)=180°時(shí),a與b反向.因此,兩非零向量的夾角在區(qū)間0°,180°內(nèi). 如果a與b的夾角是90°,我們說(shuō)a與b垂直,記作

9、ab. 由平面向量的基本定理,對(duì)平面上的任意向量a,均可以分解為不共線的兩個(gè)向量1a1和2a2,使a=1a1+2a2. 在不共線的兩個(gè)向量中,垂直是一種重要的情形.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的兩個(gè)方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常見(jiàn)的一種情形. 在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時(shí),會(huì)為我們研究問(wèn)題帶來(lái)方便.討論結(jié)果:存在夾角且兩個(gè)非零向量的夾角在區(qū)間0°,180°內(nèi);向量與直線的夾角不一樣.可以.提出問(wèn)題我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示.對(duì)直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向

10、量,如何表示呢?在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)向量和坐標(biāo)是否是一一對(duì)應(yīng)的？圖3活動(dòng):如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量、j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得a=x+yj 這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y) 其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),式叫做向量的坐標(biāo)表示.顯然,=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生特別注意以下幾點(diǎn):(1)向量a與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)一一對(duì)應(yīng).(2)向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段

11、的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒(méi)有關(guān)系,只與其相對(duì)位置有關(guān)系.如圖所示,是表示a的有向線段,A1、B1的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),則向量a的坐標(biāo)為x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1).(3)為簡(jiǎn)化處理問(wèn)題的過(guò)程,把坐標(biāo)原點(diǎn)作為表示向量a的有向線段的起點(diǎn),這時(shí)向量a的坐標(biāo)就由表示向量a的有向線段的終點(diǎn)唯一確定了,即點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo),流程表示如下:討論結(jié)果:平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y).是一一對(duì)應(yīng)的.應(yīng)用示例思路1例1 如圖4,ABCD,=a,=b,H、M是AD、DC之中點(diǎn),

12、F使BF=BC,以a,b為基底分解向量.圖4 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量基本定理進(jìn)行分解,讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦.教師可以讓學(xué)生到黑板上板書步驟,并對(duì)書寫認(rèn)真且正確的同學(xué)提出表?yè)P(yáng),對(duì)不能寫出完整解題過(guò)程的同學(xué)給予提示和鼓勵(lì).解:由H、M、F所在位置,有=b+a.=ab.點(diǎn)評(píng):以a、b為基底分解向量與,實(shí)為用a與b表示向量與.變式訓(xùn)練圖5已知向量e1、e2(如圖5),求作向量-2.5e1+3e2.作法:(1)如圖,任取一點(diǎn)O, 作=-2.5e1,=3e2.(2)作OACB. 故OC就是求作的向量.圖6例2 如圖6,分別用基底、j表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標(biāo). 活動(dòng):本例要求用基底i

13、、j表示a、b、c、d,其關(guān)鍵是把a(bǔ)、b、c、d表示為基底i、j的線性組合.一種方法是把a(bǔ)正交分解,看a在x軸、y軸上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出來(lái),進(jìn)而得到向量a的坐標(biāo).另一種方法是把向量a移到坐標(biāo)原點(diǎn),則向量a終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo).同樣的方法,可以得到向量b、c、d的坐標(biāo).另外,本例還可以通過(guò)四個(gè)向量之間位置的幾何關(guān)系:a與b關(guān)于y軸對(duì)稱,a與c關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱,a與d關(guān)于x軸對(duì)稱等.由一個(gè)向量的坐標(biāo)推導(dǎo)出其他三個(gè)向量的坐標(biāo).解:由圖可知,a=+=xi+yj, a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=

14、(2,-3).點(diǎn)評(píng):本例還可以得到啟示,要充分運(yùn)用圖形之間的幾何關(guān)系,求向量的坐標(biāo).變式訓(xùn)練i,j是兩個(gè)不共線的向量,已知=3i+2j,=i+j,=-2i+j,若A、B、D三點(diǎn)共線,試求實(shí)數(shù)的值.解:=-=(-2i+j)-(i+j)=-3i+(1-)j,又A、B、D三點(diǎn)共線, 向量與共線.因此存在實(shí)數(shù),使得=,即3i+2j=-3i+(1-)j=-3i+(1-)j.i與j是兩個(gè)不共線的向量,故 當(dāng)A、B、D三點(diǎn)共線時(shí),=3.例3 下面三種說(shuō)法:一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可作為表示該平面的基底;一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線向量可作為該平面所有向量的基底;零向量不可以作為基底中的向量,其中正確的說(shuō)法

15、是( )A. B. C. D. 活動(dòng):這是訓(xùn)練學(xué)生對(duì)平面向量基本定理的正確理解,教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析和理解平面向量基本定理的真正內(nèi)涵.讓學(xué)生清楚在平面中對(duì)于基底的選取是不唯一的,只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底.解:平面內(nèi)向量的基底是不唯一的.在同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為平面內(nèi)所有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述,正確.答案:B點(diǎn)評(píng):本題主要考查的是學(xué)生對(duì)平面向量定理的理解.思路2圖7例1 如圖7,M是ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足條件0,延長(zhǎng)CM交AB于N,令=a,試用a表示. 活動(dòng):平面向量基本定理是平面向量的重要定理

16、,它是解決平面向量計(jì)算問(wèn)題的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面兩個(gè)推論:推論1:e1與e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,若存在實(shí)數(shù)1、2,使得1e1+2e2=0,則1=2=0.推論2:e1與e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,若存在實(shí)數(shù)a1,a2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,則解:由=0,得0.=0.又A、N、B三點(diǎn)共線,C、M、N三點(diǎn)共線,由平行向量基本定理,設(shè)0. (+2)+(3+3)=0.由于和不共線,=2a. 點(diǎn)評(píng):這里選取作為基底,運(yùn)用化歸思想,把問(wèn)題歸結(jié)為1e1+2e2=0的形式來(lái)解決.變式訓(xùn)練設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量,a=3e1+4e2,b

17、=-2e1+5e2,若實(shí)數(shù)、滿足a+b=5e1-e2,求、的值.解:由題設(shè)a+b=(3e1+4e2)+(-2e1+5e2)=(3-2)e1+(4+5)e2.又a+b=5e1-e2.由平面向量基本定理,知解之 ,得=1,=-1. 圖8 例2 如圖8,ABC中,AD為ABC邊上的中線且AE=2EC,求的值. 活動(dòng):教師讓學(xué)生先仔細(xì)分析題意,以明了本題的真正用意,怎樣把平面向量基本定理與三角形中的邊相聯(lián)系？利用化歸思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化完后,然后結(jié)合向量的相等進(jìn)行求解比值.解:設(shè)=,即-=-, =(+).又=(-),=+. 又=,即-=(-),(1+)=+=又=,=+. 比較,、不共線,解之,得 點(diǎn)評(píng):本例中

18、,構(gòu)造向量在同一基底下的兩種不同表達(dá)形式,利用相同基向量的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等得到一實(shí)數(shù)方程組,從而進(jìn)一步求得結(jié)果.變式訓(xùn)練過(guò)OAB的重心G的直線與邊OA、OB分別交于P、Q,設(shè)=h,試證:解:設(shè)=a,=b,OG交AB于D,則=()=(a+b)(圖略).=(a+b),=(a+b)-kb=a+b,=ha-kb.P、G、Q三點(diǎn)共線,.a+b=ha-kb.兩式相除,得,=3.知能訓(xùn)練1.已知G為ABC的重心,設(shè)=a,=b,試用a、b表示向量.2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)與相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.圖9解答:1.如圖9,=,而a+(b-a)=a+b,(a+b)=a+b.點(diǎn)評(píng):利用向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義.2.A(1,2),B(3,2),=(2,0).a=,(x+3,x2-3x-4)=(2,0).解得 x=-1.點(diǎn)評(píng):先將向量用坐標(biāo)表示出來(lái),然后利用兩向量相等的條件就可使問(wèn)題得到解決.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):平面向量的基本定理,向量的夾角與垂直的定義,平面向量的正交分解,平面向量的坐標(biāo)表示.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,如待定系數(shù)法,定義法,歸納與類比,數(shù)形結(jié)合,幾何作圖.作業(yè)課本習(xí)題2.3 A組1.設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)課內(nèi)容是為了研究向量方便而引入的一個(gè)新定理平面向量基本定理.教科