函數(shù)圖像過定點(diǎn)問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)圖像過定點(diǎn)的研究題1：求證：拋物線y(3k)x2(k2)x2k1(k3)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)歸納：第一步：對含有變系數(shù)的項(xiàng)集中；第二步：然后將這部分項(xiàng)分解因式，使其成為一個(gè)只含系數(shù)和常數(shù)的因式與一個(gè)只含x和常數(shù)的因式之積的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一個(gè)關(guān)于自變量x的方程(這時(shí)系數(shù)如何變化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定點(diǎn)的橫坐標(biāo))，將它代入原函數(shù)式(也可以是其變式)，即得到一個(gè)y的值y0(定點(diǎn)的縱坐標(biāo))，于是，函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)(x0，y0)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟題2：（2001年北京市西城區(qū)中考題

2、）無論m為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖像總過的點(diǎn)是（ ） A. （1，3）B. （1，0） C. （1，3）D. （1，0）鞏固練習(xí)：1無論m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2（2m）x+m的圖象總是過定點(diǎn) （）A（1，3）B（1，0）C（1，3）D（1，0）2對于關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2（2a1）x1（a0），下列說法正確的有（）無論a取何值，此二次函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)； 無論a取何值，圖象必過兩定點(diǎn)，且兩定點(diǎn)之間的距離為；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在x1時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度必大于2A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3.（2012鼓樓區(qū)一模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究二次函數(shù)y=mx2

3、2mx+3（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，這個(gè)二次函數(shù)的圖象形狀與位置均發(fā)生變化，但這個(gè)二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，請你寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)：_ 4某數(shù)學(xué)小組研究二次函救y=mx23mx+2（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，這個(gè)二次函數(shù)圖象的形狀與位置均發(fā)生變化，但這個(gè)二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)請你寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)：_ 5（2009宜賓縣一模）二次函數(shù)y=x2+bx+c滿足bc=2，則這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是_ 6無論m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2（2m）x+m的圖象總是過定點(diǎn)_7已知一個(gè)二次函數(shù)具有性質(zhì)（1）圖象不經(jīng)過三、四象限；（2）點(diǎn)（2，1）在函數(shù)的圖象上；

4、（3）當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大試寫出一個(gè)滿足以上性質(zhì)的二次函數(shù)解析式：_ 8.證明無論m為何值，函數(shù)y=mx-（4m-3)圖像過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)9.（南京2011年24題7分）已知函數(shù)y=mx26x1（m是常數(shù)）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值10已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與y軸的交點(diǎn)為（0，nm），其頂點(diǎn)恰好在直線y=x+（1m）上（其中m、n為正數(shù)）（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；（2）在x軸上是否存在這樣的定點(diǎn)：不論m、n如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過此定點(diǎn)？若存在，求出所有這樣的點(diǎn)

5、；若不存在，請說明理由函數(shù)圖像過定點(diǎn)的研究題1：求證拋物線y(3k)x2(k2)x2k1(k3)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)審題視角有些函數(shù)的圖象具有過定點(diǎn)的性質(zhì)，這是由函數(shù)式中的一些系數(shù)的取值特點(diǎn)所決定的，例如，直線ykxb(k0)，當(dāng)b確定時(shí)，無論k取不等于0的任何值，它總過定點(diǎn)(0，b)；物線線yax2bxc(a0)，當(dāng)c確定時(shí)，無論a、b取何值，它總過定點(diǎn)(o，c)本題中可以把函數(shù)解析式整理變形，使含字母k的項(xiàng)組合于一組，賦值為零，可以求的自變量的值，而后代入函數(shù)解析式，再求得相對應(yīng)的函數(shù)值，即得定點(diǎn)的坐標(biāo)解：整理拋物線的解析式，得y(3k)x2(k2)x2k13x22x1kx2kx2k3

6、x22x1k(x2 x2)(k3)，上式中令x2x20，得x11，x22.將它們分別代入y3x22x1k(x2x2)，解得y14，y27，把點(diǎn)(1，4)、(2，7)分別代入y3x22x1k(x2x2)，無論k取何值，等式總成立，即點(diǎn)(1，4)、(2，7)總在拋物線y(3k)x2(k2)x2k1(k3)上，即拋物線y(3k)x2(k2)x2k1(k3)過定點(diǎn)(1，4)、(2，7)歸納：第一步：對含有變系數(shù)的項(xiàng)集中；第二步：然后將這部分項(xiàng)分解因式，使其成為一個(gè)只含系數(shù)和常數(shù)的因式與一個(gè)只含x和常數(shù)的因式之積的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一個(gè)關(guān)于自變量x的方程(這時(shí)系數(shù)如何變化，都“失效”了

7、)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定點(diǎn)的橫坐標(biāo))，將它代入原函數(shù)式(也可以是其變式)，即得到一個(gè)y的值y0(定點(diǎn)的縱坐標(biāo))，于是，函數(shù)圖象一定過定點(diǎn)(x0，y0)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟題2：（2001年北京市西城區(qū)中考題）無論m為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖像總過的點(diǎn)是（ ） A. （1，3）B. （1，0） C. （1，3）D. （1，0）解法一、特殊值法 依據(jù)：二次函數(shù)的圖像隨著m的取值不同，它的位置也隨之變化，可見這是一個(gè)拋物線群。如果這個(gè)拋物線群恒過某定點(diǎn)，則該拋物線群中的某兩條特殊的拋物線也必過這一定點(diǎn)。 解：任意給m賦予兩個(gè)特殊值，不妨設(shè)m=0和m=2。

8、 則函數(shù)解析式變?yōu)椋?。 聯(lián)立方程組 解得 把中，無論m為何值，等式總成立。 所以，拋物線群中所有的拋物線恒經(jīng)過定點(diǎn)（1，3）。 故應(yīng)選A。解法二、變換主元法 依據(jù)：一元一次方程的解有三種情形： （1）當(dāng)a0時(shí)，方程有惟一解：； （2）當(dāng)a=b=0時(shí)，方程的解為全體實(shí)數(shù)； （3）當(dāng)a=0，b0時(shí)，方程無解。 這里所求定點(diǎn)坐標(biāo)與m的值無關(guān)，相當(dāng)于關(guān)于m的一元一次方程am=b（a、b為含x、y的代數(shù)式）中，a=b=0時(shí)的情形。 解：將其二次函數(shù)整理變形為： 令 所以，無論m為何值時(shí)，（1，3）恒滿足式，故該二次函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)（1，3）。 故應(yīng)選A。鞏固練習(xí)：1無論m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2（

9、2m）x+m的圖象總是過定點(diǎn)（）A（1，3）B（1，0）C（1，3）D（1，0）2對于關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2（2a1）x1（a0），下列說法正確的有（）無論a取何值，此二次函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)； 無論a取何值，圖象必過兩定點(diǎn)，且兩定點(diǎn)之間的距離為；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在x1時(shí)，y隨x的增大而減??； 當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度必大于2A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)3.（2012鼓樓區(qū)一模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究二次函數(shù)y=mx22mx+3（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，這個(gè)二次函數(shù)的圖象形狀與位置均發(fā)生變化，但這個(gè)二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，請你寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)：_4某數(shù)學(xué)小組研究

10、二次函救y=mx23mx+2（m0）的圖象發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，這個(gè)二次函數(shù)圖象的形狀與位置均發(fā)生變化，但這個(gè)二次函數(shù)的圖象總經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)請你寫出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)：_5（2009宜賓縣一模）二次函數(shù)y=x2+bx+c滿足bc=2，則這個(gè)函數(shù)的圖象一定經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是_6無論m為何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2（2m）x+m的圖象總是過定點(diǎn)_7已知一個(gè)二次函數(shù)具有性質(zhì)（1）圖象不經(jīng)過三、四象限；（2）點(diǎn)（2，1）在函數(shù)的圖象上；（3）當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大試寫出一個(gè)滿足以上性質(zhì)的二次函數(shù)解析式：_8.證明無論m為何值，函數(shù)y=mx-（4m-3)圖像過定點(diǎn)，求出 該定點(diǎn)坐標(biāo)9.

11、已知函數(shù)y=mx26x1（m是常數(shù)）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值解：當(dāng)x=0時(shí)，所以不論為何值，函數(shù)的圖象經(jīng)過軸上的一個(gè)定點(diǎn)（0，1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以， 綜上，若函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為0或911已知二次函數(shù)的10.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與y軸的交點(diǎn)為（0，nm），其頂點(diǎn)恰好在直線y=x+（1m）上（其中m、n為正數(shù)）（1）求證：此二次函數(shù)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；（2）在x軸上是否存在這樣的定點(diǎn)：不論m、n如何變化，二次函數(shù)的圖象總通

12、過此定點(diǎn)？若存在，求出所有這樣的點(diǎn)；若不存在，請說明理由分析：（1）把二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入代入y=x+（1m）得+（1m）=，整理后利用因式分解得到（mn）（m+1）=0，則m=n或m=1（舍去），于是二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與y軸的交點(diǎn)為（0，0），由m為正數(shù)可判斷二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第四象限，而拋物線過原點(diǎn)，所以拋物線開口向上，由此得到此二次函數(shù)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；（2）由（1）得到拋物線的對稱軸為直線x=，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），利用對稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）（1）證明：把（，）代入y=x+（1m）得+（1m）=，整理得m2mn+mn=0，（mn）（m+1）=0，m=n或m=1（舍去），二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），與y軸的交點(diǎn)為（0，0），m為正數(shù)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第四象限，而拋物線過原點(diǎn)，拋物線開口向上，此二次函數(shù)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；（2）解：存在拋物線的對稱軸為直線x=，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），即不論m、n如何變化，二次函數(shù)的圖象總通過點(diǎn)（1，0）和（0，0）反思：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，