線性代數(shù)考試題及答案解析

1、_系_專(zhuān)業(yè)_班級(jí) 姓名_ 學(xué)號(hào)_（密）（封）（線）密 封 線 內(nèi) 答 題 無(wú) 效 20092010學(xué)年第一學(xué)期期末考試線性代數(shù)試卷 答卷說(shuō)明：1、本試卷共6頁(yè)，五個(gè)大題，滿分100分，120分鐘完卷。 2、閉卷考試。 題號(hào)一二三四五總分分?jǐn)?shù) 評(píng)閱人:_ 總分人：_得分一、單項(xiàng)選擇題。(每小題3分,共24分)【 】1.行列式(A) (B) (C) (D) 【 】2.設(shè)為階方陣，數(shù)，則(A) (B) (C) (D) 【 】3.已知為階方陣，則下列式子一定正確的是(A) (B) (C) (D) 【 】4.設(shè)為階方陣, ，則 (A) （B) (C) (D) 【 】5.設(shè)矩陣與等價(jià)，則有(A) (B)

2、(C) (D) 不能確定和的大小【 】6.設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是(A) (B) (C) (D) 【 】7. 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是(A) 中至少有一個(gè)零向量 (B) 中至少有兩個(gè)向量成比例 (C) 中每個(gè)向量都能由其余個(gè)向量線性表示(D) 中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示【 】8. 階方陣與對(duì)角陣相似的充分必要條件是(A) (B)有個(gè)互不相同的特征值 (C)有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 (D)一定是對(duì)稱(chēng)陣得分二、填空題。(每小題3分,共15分)1.已知階行列式的第行元素分別為，它們的余子式分別為，則 。2.設(shè)矩陣方程，則 。3.設(shè)是非齊次線性方程

3、組的一個(gè)特解，為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的通解為 .4.設(shè)矩陣的秩，則元齊次線性方程組的解集的最大無(wú)關(guān)組的秩 。5.設(shè)是方陣的特征值，則 是的特征值得分三、計(jì)算題(每小題8分,共40分).1計(jì)算行列式。2.已知矩陣，求其逆矩陣。3.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，已知是它的三個(gè)解向量且，求該方程組的通解。4.求矩陣的特征值和特征向量。5.用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型。得分四、綜合體(每小題8分,共16分)1. 解下列非齊次線性方程組 2. 已知向量組 求向量組的秩；向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示。得分五、證明題（5分）證明：

4、設(shè)階方陣滿足，證明及都可逆，并 求及。一、單項(xiàng)選擇題。(每小題3分,共24分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C二、填空題。(每小題3分,共15分)1. 2. 3. 4. 5. 三、計(jì)算題(每小題8分,共40分).1.解：=（2分）=（2分）=（2分）=0（2分）2.已知矩陣，求其逆矩陣。 解： （2分） （4分） 則（2分）3.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，已知是它的三個(gè)解向量且，求該方程組的通解。 解：由已知可得：對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解集的秩為，因此齊次線性方程組的任意非零解即為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（3分） 令則所以為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。（3分

5、）由此可得非齊次線性方程組的通解為：（2分）4.求矩陣的特征值和特征向量。 解：的特征多項(xiàng)式為： 所以的特征值為。（4分）（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量滿足，解得：則對(duì)應(yīng)的特征向量可取（2分）（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量滿足，解得：則對(duì)應(yīng)的特征向量可取（2分）5.用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型。解： （4分） 令則把化成標(biāo)準(zhǔn)型得：（4分）四綜合題（每小題8分,共16分)1.解下列非齊次線性方程組 解：對(duì)增廣矩陣作初等行變換（5分）由上式可寫(xiě)出原方程組的通解為：（3分）2.已知向量組 求向量組的秩；向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示。 解：（2分） 則，（2分）故向量組的最大無(wú)關(guān)組有2個(gè)向量，知為向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。（2分） 且（2分）五、證明題（5分）證明：設(shè)階方陣滿足，證明及都可逆，并求及。 證明：（1） 由已知可得：，知可逆，（2分）（2） 由已知可得, 知可逆，（3分）每項(xiàng)建議案實(shí)施完畢，實(shí)施部門(mén)應(yīng)根據(jù)結(jié)果寫(xiě)出總結(jié)報(bào)告，實(shí)事求是的說(shuō)明產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益或者其他積極效果，呈報(bào)總經(jīng)辦?？偨?jīng)