線性代數(shù)期末試卷A答案及評分標準

1、A卷20152016學年第一學期線性代數(shù)期末試卷答案（32學時必修） 專業(yè)班級 姓 名 學 號 開課系室 應(yīng)用數(shù)學系 考試日期 2016年1月15日 題 號一二三四五六七總分本題滿分1515211612147本題得分閱卷人注意事項：1請用黑色或藍色筆在試卷正面答題（請勿用鉛筆答題），反面及附頁可作草稿紙；2答題時請注意書寫清楚，保持卷面清潔；3本試卷共七道大題，滿分100分；試卷本請勿撕開，否則作廢；4. 本試卷正文共7頁。本題滿分15分本題得分說明：試卷中的字母表示單位矩陣；表示矩陣的伴隨矩陣；表示矩陣的秩；表示可逆矩陣的逆矩陣.一、填空題（請從下面6個題目中任選5個小題，每小題3分；若6個

2、題目都做，按照前面5個題目給分）15階行列式中，項前面的符號為【 負 】.2.設(shè)，是的第4行元素的代數(shù)余子式，則 等于【 0 】.3設(shè)，為矩陣，且，則【 2 】. 4若向量組線性相關(guān)，則【 1 】. 5設(shè)是3階實的對稱矩陣，是線性方程組的解，是線性方程組的解，則常數(shù)【 1 】. 6設(shè)和是3階方陣，的3個特征值分別為，若，則行列式【 -8 】.二、選擇題（共5個小題，每小題3分） 本題滿分15分本題得分1. 設(shè)為3階矩陣，且，則行列式等于【 A 】.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .2. 矩陣的逆矩陣為【 A 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) .3設(shè)是階非零矩陣，滿足，若

3、，則【 A 】 (A) ； (B) ； (C) 可逆； (D) 滿秩.4. 設(shè)，則的第3行第1列的元素為【 D 】 (A) ； (B) ； (C) ； (D) .5設(shè)，是使二次型正定的正整數(shù)，則必有【 B 】(A) ； (B) ； (C) ； (D) 以上選項都不對.本題滿分21分本題得分三、求解下列各題(共3小題，每小題7分)1. 若線性無關(guān)，線性相關(guān)，求.解：因為與線性相關(guān)，所以必定存在不全為 零的數(shù)，使得 -2分整理得： 由于線性無關(guān)，因此可得由于不全為零，即上述齊次線性方程組有非零解，因此，由此得k = 6. -7分2. 設(shè)，若，求.解：由可知，由此可得 又 -2分因此 因此可得 .

4、-7分3. 設(shè)矩陣，且，求與的值解：由可知的特征值相同，而易知的特征值為 -1,t,3，因此的特征值也為 -1,t,3 利用特征值的性質(zhì)可得 -5分解得. -7分本題滿分16分本題得分四、（共2小題，每小題8分）1求向量組的一個最大無關(guān)組，并將其余向量用這一最大無關(guān)組表示出來.解：令, 把進行行變換，化為行最簡形， -6分則是C的列向量組的一個最大無關(guān)組，且，故是A的列向量組的一個最大無關(guān)組，且.-8分2. 問滿足什么條件，才能使得共有兩個線性無關(guān)的特征向量？解：由，得A的特征值：要使A有兩個線性無關(guān)的特征向量，則特征值3對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量，即的解空間的維數(shù)為1，則， -6分而，因此可

5、知. -8分本題滿分12分本題 得分五、問為何值時，線性方程組無解，有無窮多解，并在有無窮多解時求出其通解解：記方程組的增廣矩陣為，則，對其進行行變換，化為行階梯形：， 易知，當時，方程組無解； 當時，方程組有無窮多解； -6分當時，與原方程組同解的方程組為，由此可得原方程組的通解為. -12分本題滿分14分本題 得分六、求實二次型的秩，并求正交變換，化二次型為標準形解：記二次型的矩陣為,故二次型的秩為1. -4分由，可得：，當求解的一個基礎(chǔ)解系：，單位化：,當求解的一個基礎(chǔ)解系：，正交化：，單位化：， -12分 令，則可得正交變換，二次型的標準形為：. -14分本題滿分7分本題 得分七、（請從下面2個題目中任選1個，若2個題目都做，按照第1題給分）1. “設(shè)是階實的反對稱矩陣，則對于任何維實的列向量，和正交，且可逆”您認為該結(jié)論成立嗎？請說明理由.解：該結(jié)論成立。由于為反對稱陣，則，對于任意維實的列向量，有：所以，即和正交； -3分考慮，即，等式兩邊同時左乘，得，由此得：，即只有零解，所