直線傾斜角、斜率、斜率公式直線方程的各種表示方法

1、承接上次課：傾斜角：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角關(guān)鍵：直線向上方向；軸的正方向；小于平角的正角.注意:當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度.斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.記為.斜率公式：已知直線上兩點(diǎn)的直線的斜率公式：.例題1：如圖，圖中的直線、的斜率分別為k1, k2 ,k3,則( D )A. k1< k2 <k3 B. k3< k1 <k2 C. k3< k2 <k1 D. k1< k3 <k2例題2：若經(jīng)過(guò)P（2，m）和Q（m，4）的直線的斜率為1，則m=（

2、 A ）A、1 B、4 C、1或3 D、1或4例題3：若A（3，2），B（9，4），C（x，0）三點(diǎn)共線，則x=（ B ）A、1 B、1 C、0 D、7例題4：直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和（1，1），則它的傾斜角為（ B ）A、45° B、135° C、45°或135° D、45°例題5：若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1）和Q（3，2）的直線的傾斜角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：(-2,1)學(xué)習(xí)小結(jié)：1.任何一條直線都有唯一確定的傾斜角，直線斜角的范圍是.2.直線斜率的求法：利用傾斜角的正切來(lái)求；利用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求；當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率是不存在的3直線傾斜角

3、、斜率、斜率公式三者之間的關(guān)系：直線的傾斜角直線的斜率直線的斜率公式定 義取值范圍題型一：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率例題1：經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)直線的斜率是否存在，若存在，求其斜率（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3)題型二：求直線的傾斜角例題2：設(shè)直線L過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為，如果將L繞坐標(biāo)遠(yuǎn)點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到直線L1那么L1的傾斜角為 ( D ) A. B. C. D.例題3：變式：已知直線L1的傾斜角為，則L1關(guān)于x軸對(duì)稱的直線L1的傾斜角= 題型三：斜率與傾斜角關(guān)系例題4：當(dāng)斜率k的范圍如下時(shí)，求傾斜角的變化范圍： 題型

4、四：利用斜率判定三點(diǎn)共線例題5：已知三點(diǎn)A（a,2），B（5,1），C（-4,2a）在同一條直線上，求a的值。利用斜率相等即可即AB的斜率=BC的斜率用兩點(diǎn)式計(jì)算斜率(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5)(5-a)(2a-1)=9-2a²+11a-5=92a²-11a+14=0(2a-7)(a-2)=0a=7/2 或a=2題型五：平行于垂直的判定例題6：已知A（1，-1），B（2,2），C（3,0）三點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使直線且CB/AD.題型六：綜合應(yīng)用例題7：變式：若三點(diǎn)A（3,1）,B(-2,k)，C（8,1）能夠成三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：能夠成三角

5、形則不能共線AC垂直y軸是y=1則k1例題8：已知兩點(diǎn)A（-3,4），B（3,2），過(guò)點(diǎn)P（2，-1）的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，求直線L的斜率k的取值范圍例題1.下列命題正確的個(gè)數(shù)是 ( C )1) 若a是直線L的傾斜角，則 2）若k是直線的斜率，則3）任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率 4）任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角A1 B.2 C.3 D.4例題2.直線L過(guò), 兩點(diǎn)，其中則 （ D ）A.L與x軸垂直 B. L與y軸垂直 C.L過(guò)原點(diǎn)和一，三象限 D.L的傾斜角為例題3.已知點(diǎn),直線L的傾斜角是直線AB的傾斜角的一半，則L的斜率為 （ B ） A.1 D.不存在例題4.直線L經(jīng)過(guò)

6、二、三、四象限，L的傾斜角為a，斜率為k，則 （ B ） 例題5.若三點(diǎn)共線，則a= 2 例題6.已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)為,求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形。解：有兩種情況1、AB/CD 角A=90=角D（5-3）/（2-3）=(n-1)/(m-6)2m+n=13(n-5)/(m-2)=1/2m=18/5n=29/52、AD/BC 角A=90=角B(n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/32m+3n=19(n-1)/(m-6)=3/23m-2n=16m=86/13n=25/13兩直線平行與垂直的判定 ：平行：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之

7、，如果它們的斜率相等，則它們平行，即=垂直：兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直.即學(xué)習(xí)小結(jié)：1或的斜率都不存在且不重合.2或且的斜率不存在，或且的斜率不存在.直線的點(diǎn)斜式方程：直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，則方程為直線的點(diǎn)斜式方程.直線的斜截式方程：直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距.直線叫做直線的斜截式方程.例題1、過(guò)點(diǎn)(5，2)且在兩坐標(biāo)軸截距相等的直線方程是_2x-5y=0或y-2=-(x-5)_例題2、經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條？請(qǐng)求出這些直線的方程。直線的兩點(diǎn)式方程

8、：直線的兩點(diǎn)式方程：已知直線上兩點(diǎn)且，則通過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程為，由于這個(gè)直線方程由兩點(diǎn)確定，所以我們把它叫直線的兩點(diǎn)式方程直線的截距式方程.：已知直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，其中，則直線的方程叫做直線的截距式方程.例題1、已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),求直線的方程.例題2、已知兩點(diǎn)其中，求通過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程。 例題3、 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程。解：直線BC：(y3)/(y2)(x3)/(x0)即5x3y60直線BC的中點(diǎn)坐標(biāo)：x(30)/23/2y(32)/21/2即點(diǎn)(3/2,1/2)直線BC邊中線所在

9、的直線方程：(y0)/(y1/2)(x5)/(x3/2)即x13y50學(xué)習(xí)小結(jié)：1直線方程的各種形式總結(jié)為如下表格：直線名稱已知條件直線方程使用范圍點(diǎn)斜式k存在斜截式k存在兩點(diǎn)式（截距式2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式:已知,則AB的中點(diǎn),則.例題1、過(guò)點(diǎn)P(2，1）作直線交正半軸于AB兩點(diǎn)，當(dāng)取到最小值時(shí)，求直線的方程.直線的一般式方程：直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式例題1、在方程中，A，B，C為何值時(shí)，方程表示的直線（1）平行于軸；（2）平行于軸；（3）與軸重合；（4）與重合。解：（1）A=0且B0且C0（2）B=0且A0且C0（3）A=0且B0且

10、C=0 （4）B=0且A0且C=0例題2、根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式： 斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)； 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于軸； 在軸和軸上的截距分別是； 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).解：（1）（2）（3）（4）兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：已知方程組 A1xB1yC1=0 （1）A2xB2yC2= 0 （2） 當(dāng)A1，A2，B1，B2全不為零時(shí)，方程組的解的各種情況分別對(duì)應(yīng)的兩條直線的位置關(guān)系解：在直線上另（1）×B2（2）×B1得（A1B2A2B1）x=B1C2B2C11、當(dāng)A1B2A2B10時(shí)，方程組有唯一解，相交:且當(dāng)時(shí)，兩直線垂直2、 當(dāng)A1B2A2B1=0，B1C2B2C10 時(shí)，方程組無(wú)解

11、，平行3、 當(dāng)A1B2A2B1=0，B1C2B2C1=0時(shí)，方程組有無(wú)窮多解，重合例題1、判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：（1）l1：xy0， l2：3x3y100（2）l1：3xy40，l2：6x2y0（3）l1：3x4y50， l2：6x8y100解：（1）相交交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）平行，無(wú)交點(diǎn)（3）同一條直線，無(wú)窮多解例題2、求經(jīng)過(guò)兩條直線x+2y1=0和2xy7=0的交點(diǎn)，且垂直于直線x+3y5=0的直線方程解：解法一：解方程組這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1）又直線x+2y5=0的斜率是1/3所求直線的斜率是3，所求直線方程為y+1=3（x3）即 3xy10=0解法二：

12、所求直線在直線系2xy7+（x+2y1）=0中經(jīng)整理，可得（2+）x+（21）y7=0解得 = 1/7因此，所求直線方程為3xy10=0兩點(diǎn)間的距離：兩點(diǎn)之間距離公式：已知平面上兩點(diǎn)，則.特殊地：與原點(diǎn)的距離為.點(diǎn)到直線的距離:已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離為：.注意：點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)的連線的最短距離；在運(yùn)用公式時(shí)，直線的方程要先化為一般式平行線間的距離：已知兩條平行線直線，則與的距離為注意：應(yīng)用此公式應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：（1）把直線方程化為一般式方程；（2）使的系數(shù)相等.例題1、已知點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax+C=0，求點(diǎn)P到直線的距離例題2、已知點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：By+C=0，求點(diǎn)P到直線的距離例題3、已知點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax+By+C=0，求點(diǎn)P到直線的距離例題4、點(diǎn)P(3,-2)到直線 的距離為 例題5、兩條平行線 與 間的距離是 例題6、求平行線2x7y8=0和2x7y6=0的距離解：在直線2x7y6=0上任取點(diǎn)P(x0，y0)，則2 x07 y06=0，點(diǎn)P(x0，y0)到直線2x7y8=0的距離是 例題7、直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)M(5,0)到直線 l 的距離等于3，求l 的方程解 ： 3x±4y=0例題8、直線l 過(guò)點(diǎn)（1，2）且兩點(diǎn)（2，-3）,（4，-5）到l 的距離相等，求