勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明

1、勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明勾股定理是數(shù)學史上一顆璀璨的明珠，是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，被稱為“幾何學的基石”。千百年來，人們對它的證明頗感興趣，給后代留下了眾多神奇的傳說。一、勾股定理的發(fā)現(xiàn) 相傳4000多年前，大禹曾在治理洪水的過程中，利用勾股定理來測量兩地的地勢差，在3000多年以前，中國人已經(jīng)知道用邊長為3,4,5的直角三角形進行測量，勾股定理的敘述最早見于周髀算經(jīng)（成書不晚于公元前2世紀的西漢時期），書中記載，周公問商高，天有沒有臺階可以上去，地又不能用尺子去度量，請問，怎么知道它們的高低長短呢？（周公與商高約是公元前11世紀左右的人）商高答：數(shù)是根據(jù)圓和方的道理得來的，圓從方得來，方

2、又從矩得來，矩乃是從數(shù)學計算得來的。以為“勾廣三，股修四，徑隅五”以上史實表明，商高在當時已經(jīng)知道特殊情形下的勾股定理。 那么，”什么是“勾、股”呢？ 在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把它說成“勾三股四弦五”。由此可見我國古代勞動人民的聰明智慧。勾股定理在外國稱為“畢達哥拉斯定理”。為什么一個定理有這么多名稱呢？畢達哥拉斯是古希臘數(shù)學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年。畢達哥拉斯有次應(yīng)邀參加一次餐會，這位主人的餐廳鋪著是正

3、方形美麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，一些饑腸轆轆的貴賓頗有不滿；但這位善于觀察的畢達哥拉斯卻凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形圖案，畢達哥拉斯不只是欣賞地磚的美麗，而是想到它們和“數(shù)”之間的關(guān)系，經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)了這個定理。后人就以畢達哥拉斯的名字命名“畢達哥拉斯定理”。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”。二、勾股定理的證明方法 古今勾股定理的證明方法很多，到目前為止，大概有400多種，在這里僅舉幾個比較經(jīng)典的證明方法。 （一）、趙爽對勾股定理的證明 我國古代的勞動人民早在幾千年前就已經(jīng)掌握了勾股定理。并把它應(yīng)用于實際的生產(chǎn)和生

4、活之中。現(xiàn)存數(shù)學典籍中最早給這一定理證明的，是趙爽在注解周髀算經(jīng)注時給出的。 趙爽又名嬰，字君卿，三國時吳國人，趙爽用“弦圖”通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智。（二）、美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對（勾股定理）的證明 美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德法在數(shù)學史上被傳為佳話?？偨y(tǒng)在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近有兩個小孩正在談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討。伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。

5、只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！毙∧泻⒂终f道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。 于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。 1

6、876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。 1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”。 （三）、劉徽的青朱出入圖證法 劉徽是中國魏晉時期數(shù)學家。 劉徽用了“出入相補法”證明了勾股定理。也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體的分合移補略有不同。公元 263 年，劉徽為九章算術(shù)作注釋。在注釋中，他畫了一幅圖形來證明勾股定理?？上D已失傳，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也?！焙笕烁鶕?jù)這段文字補了一張圖(見右圖)。 只要把圖中朱方（a2）的I移至I，青方的II移至II，III移至III，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c2 ）由此便可證得a2+b2=c2。（四）、歐幾里得勾股定理的證明 著名的希臘數(shù)學家歐幾里得（公元前330年-前275年）系統(tǒng)地研究了有關(guān)直線、平面、圓和球的幾何性質(zhì)。 我們知道，在歐幾里得之前，畢達哥拉斯定理即已聞名遐邇，因此，歐幾里得決不是這