數(shù)字信號處理第6章下

1、1七、 模擬頻率變換法設(shè)計IIR數(shù)字 濾波器 模擬頻率變換法設(shè)計數(shù)字低通、帶通、帶阻和高通濾波器的方法：2模擬歸一化原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻頻率變換數(shù)字化歸一化數(shù)字低通數(shù)字化頻率變換或或3 模擬頻率變換法把歸一化的模擬原型低通濾波器在連續(xù)域通過頻率變換，設(shè)計出所需類型的模擬濾波器，然后利用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法將其數(shù)字化，得到所需的數(shù)字濾波器。 沖激響應(yīng)不變法有頻率混疊失真效應(yīng)， 只適于嚴格限帶的數(shù)字低通、帶通濾波 器設(shè)計，對于數(shù)字高通、帶阻濾波器的設(shè) 計則不能直接應(yīng)用。所以常用雙線性變換的方法。4 在實際設(shè)計中，把模擬頻率變換法的兩步合成一步實現(xiàn)，即把模

2、擬歸 一化低通原型濾波器變換到所需類型模 擬濾波器和用雙線性變換實現(xiàn)數(shù)字化的步驟合并到一起 ，直接變換出所需的數(shù)字濾波器。5完成IIR低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字濾波器的映射關(guān)系不但要滿足：1）、將S平面映射到Z平面（S左半平面映射到Z平面單位圓內(nèi)，S右半平面映射到Z平面單位圓外）。2）、S平面虛軸映射到Z平面單位圓上。 映射原理：6而且還要實現(xiàn)頻率的變換。 下面逐一介紹利用雙線性變法由模擬低通到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻的映射關(guān)系。71、 根據(jù)要求，確定模擬濾波器類型和階數(shù)，確定歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。2、 由表6-8公式，得到高通、帶通、帶阻數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 設(shè)計步驟：8 即前

3、面已討論的從模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器的方法：沖激響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法雙線性變換法數(shù)字低通模擬低通1、模擬低通變換成數(shù)字低通濾波器9變換關(guān)系：pps20s為模擬低通拉氏變量（ ）；p為模擬帶通拉氏變量（ ）；0為模擬帶通的幾何中心頻率。2、模擬低通變換成數(shù)字帶通濾波器 1）模擬低通到模擬帶通的變換jsjp10jpjs,如：則：2020jjjj所以：20220這就是模擬低通與模擬帶通的頻率轉(zhuǎn)換公式。111222021201cc002c1c故模擬低通的通帶映射到帶通的 ， 之間 。代入到頻率轉(zhuǎn)換公式，可得21平移13 因此，可以由模擬低通系統(tǒng)函數(shù)獲得模擬帶通系統(tǒng)函數(shù)：ppsLPBPsHsH20

4、)()(21012Bc低通、帶通通帶帶寬帶通通帶幾何對稱中心頻率。142）模擬帶通數(shù)字帶通1111zzcp用雙線性變換法：15112011,zzcppps由有21211zEzzDs其中2121012sinsin)sin(2cos22cotEDc21211)()(zEzzDsLPsHzH3）模擬低通數(shù)字帶通164）模擬低通數(shù)字帶通頻率轉(zhuǎn)換公式sincoscos2cotsincoscos0120cD000jezjs,代入：21211zEzzDs得：映射關(guān)系:17變換關(guān)系：20220ppss為模擬低通拉氏變（ ）； p為模擬帶阻拉氏變量（ ） ；0為模擬帶阻的幾何中心頻率。3、模擬低通變換成數(shù)字帶阻

5、濾波器 1）模擬低通到模擬帶阻的變換jsjp18jpjs,如：則：22020jj所以：22020這就是模擬低通與模擬帶阻的頻率轉(zhuǎn)換公式。1920, 001c2c0故模擬低通的阻帶映射到模擬帶阻的阻帶。平移不變2122202202120120cc210202112cB代入到頻率轉(zhuǎn)換公式，可得2220220)()(ppsLPBRsHsH 因此，可以由模擬低通系統(tǒng)函數(shù)獲得模擬帶阻系統(tǒng)函數(shù)：232）模擬帶阻數(shù)字帶阻用雙線性變換法：1111zzcp24112022011,zzcppps由有211211)1 (zzEzDs其中)2cos()2cos(cos22tan121201121EDc211211)1

6、()()(zzEzDsLPsHzH3）模擬低通數(shù)字帶阻254）模擬低通數(shù)字帶阻頻率轉(zhuǎn)換公式j(luò)ezjs,代入：211211)1 (zzEzDs01201coscossin2tancoscossincD0, 00映射關(guān)系:26變換關(guān)系：psccs為模擬低通拉氏變量（ ）；p為模擬高通拉氏變量（ ）；c為模擬高通的截止頻率。4、模擬低通變換成數(shù)字高通濾波器1）模擬低通到模擬高通的變換jsjp27jpjs,如：則：ccjj所以：這就是模擬低通與高通的頻率轉(zhuǎn)換公式。cccc或者,2829cc00psLPHPccsHsH)()( 因此，可以由模擬低通系統(tǒng)函數(shù)獲得模擬高通系統(tǒng)函數(shù)：故模擬低通的通帶以相反的關(guān)

7、系平移到模擬高通的阻帶。模擬低通的通帶等于模擬高通的阻帶。302）模擬低通模擬高通用雙線性變換法：1111zzcp311111,zzcppscc由有11111zzCs其中2tan1cccccC11111)()(zzCsLPsHzH3）模擬低通數(shù)字高通324）模擬低通數(shù)字高通頻率轉(zhuǎn)換公式j(luò)ezjs,代入：11111zzCs2cot2tan2cot|2cot2tan2cot11ccccCC33 NNNNNiiiNiiiaseseesdsddsesdsH101000 NNNNNiiiNiiizBzBzAzAAzBzAzH111101011對于如下多項式的變換，可通過查表計算。3435設(shè)抽樣頻率fs=

8、10kHz，需設(shè)計一個數(shù)字低通濾波器,要求在頻率小于fc= 1kHz的通帶內(nèi)，幅度特性下降小于1dB，在頻率大于fst=1.5kHz的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別以巴特沃思濾波器巴特沃思濾波器及切貝雪夫濾波切貝雪夫濾波器為原型，器為原型，采用沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法及雙線雙線性變換法性變換法, 確定數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。例：36解解: (1) : (1) 以以巴特沃思濾波器巴特沃思濾波器為原型為原型(a) (a) 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法根據(jù)模擬頻率 和數(shù)字頻率 之間呈線性關(guān)系,22sfffTT2 . 010101101233cfc= 1kHz對應(yīng)于,1014sfTfst=1.5kH

9、z對應(yīng)于3 . 010101105 . 1233st3715)(log20 1)(log20, 1| )( | 15|)()(|log20 1|)()(|log20 3 . 02 . 003 . 002 . 00jjjjjjjeHeHeHeHeHeHeH則又根據(jù)題意有：即為數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)要求。38|),()()(jHTjHeHaaj模擬濾波器的指標(biāo)為：15)103(|log20| )3 . 0(|log20 1- )102(|log20| )2 . 0(|log2033jHTjHjHTjHaaaaNcajH22)(11)( 巴特沃思濾波器幅度平方函數(shù)為：39)(1log10)( 20lo

10、g2NcajH15)103(1log101)102(1log102323NcNc40則有臨界條件為：5 . 1231 . 02310)103(110)102(1NcNc41)2(. 110lglg2)3000lg(2) 1 (. 110lglg2)2000lg(25 . 11 . 0ccNNNN(2)-(1) 得：5858. 5)2000/()3000lg()110/() 110lg(211 . 05 . 1Nsradc/1004743. 7 3代入(1)式使通帶邊沿滿足要求，得 42sradNc/100321. 7 , 63重新代入通帶條件式得取查表6-4，6-6可得出歸一化原型模擬低通巴特

11、沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 18637033. 34641016. 71416202. 94641016. 78637033. 31)(23456sssssssHa ) 1931851652. 1)(141421356. 1)(151763809. 0(1)(222sssssssHa或代入(2)式使阻帶邊沿滿足要求，也可。43s用 代替后得到截止頻率為cs )104504.491058478.13(1 )104504.491094475. 9(1 )104504.491064003. 3(1014.120923)(63263263218sssssssHac模擬低通巴特沃思濾波器：44 10) 8

12、2001553. 179239041. 6()1211sin()1211cos(10) 97237489. 497237489. 4()129sin()129cos( 10) 79239041. 682001553. 1()127sin()127cos(34, 335 ,236, 1jjsjjsjjsccc6,.,2 , 1,21221keSNkjck代入極點公式得：或者將sradNc/100321. 7 , 6345將此系統(tǒng)函數(shù)展成部分分式，利用NkkNcasssH1)()(代入同樣可得。8111)(kTskzeTAzHk可得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：462112112112570. 09972

13、. 016304. 08558. 13699. 00691. 111454. 11428. 26949. 0297. 114466. 02871. 0)(zzzzzzzzzzH代入jez 可得數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)在通帶邊緣恰好滿足衰減小于1dB的要求，而在阻帶邊緣衰減則大于15 dB的要求。原因在于N=6代入的是通帶條件，若不滿足需加大N重新計算。47(b) (b) 利用雙線性變換法同樣可求得。利用雙線性變換法同樣可求得。48(2) (2) 以切貝雪夫濾波器為原型以切貝雪夫濾波器為原型 (a) (a) 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法 同前。49）取則由1)(2tan2()(,3 . 0,2 . 0

14、,2tan2TTjHjHTaacst有： 15)23 . 0tan(2(log201)22 . 0tan(2(log201010jHjHaa(b) (b) 雙線性變換法：雙線性變換法：50則有： 508847. 01101101 . 010dB1 通帶波紋dBstc15,23 . 0tan2,22 . 0tan22由0141. 302104. 10775. 3568158088. 1875081.10 22 . 0tan2/23 . 0tan211050885. 0111011115 . 1111 . 012chchchchchchNcst取N=4 510644015. 1213646235.

15、 0211702. 411111112NNNNba從而可知： 691648. 0,2369322. 0ccba 則左半平面兩對極點為： 522646819. 02188969. 083cos83sin6389997. 00906699. 08cos8sin4 , 3 , 2 , 1,) 12(2cos) 12(2sin3 , 24, 1jbjasjbjasKkNbjkNacccccc由此可得：41)(iiassKsH)4166. 01814. 0)(1180. 04378. 0(04381. 0 22ssss53求得。時為偶數(shù)，故由891250942. 011)0(042jHNK)793981

16、. 06737394. 0)(9865049. 02790720. 0(2456533. 0)(22sssssHan及通帶波紋分貝數(shù)為或由 , 4NdB1 查表6-5，6-7可得出歸一化原型模擬低通切貝雪夫切貝雪夫濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：s用 代替后同樣可得到cs)(sHa54:) 1(| )()(11112即可求得利用公式TsHzHzzTsa)6493. 05548. 11)(8482. 04996. 11 ()1001836. 0 )( 212141zzzzzzH（可見對于同樣性能指標(biāo)要求的數(shù)字濾波可見對于同樣性能指標(biāo)要求的數(shù)字濾波器，采用巴特沃思濾波器器，采用巴特沃思濾波器為原型為原型比切貝

17、切貝雪夫濾波器需要更高的階數(shù)雪夫濾波器需要更高的階數(shù)N N。55 利用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法把歸一化模擬低通濾波器數(shù)字化成數(shù)字低通濾波器，然后利用數(shù)字頻帶變換法，在離散域內(nèi)變換出所需數(shù)字濾波器。 模擬頻率變換法在模擬濾波器數(shù)字化時，一般為避免混疊效應(yīng)而不采用沖激響應(yīng)變換法，而對數(shù)字頻率變換法則無此要求，因為數(shù)字化過程在低通進行滿足沖激響應(yīng)不變法的限帶條件。八、 數(shù)字頻率變換法設(shè)計IIR數(shù)字 濾波器56 從歸一化數(shù)字低通濾波器原型出發(fā)的變換，直接在數(shù)字頻域進行變換：)(11)()(ZGzLdzHZH變換函數(shù))(1ZG需滿足：a、z平面的單位圓映射到Z平面單位圓上；b、z平面單位圓內(nèi)映射到Z

18、平面單位圓內(nèi)；c、系統(tǒng)函數(shù)必須是 有理函數(shù)。1Z57若jjeZez,則由：)(11ZGz有：)(arg)()(jeGjjjjeeGeGe)(arg1)(jjeGeG)(1ZG是全通函數(shù)。要求：1| )(| )(|11jjeGZGez58所以有：NiiiZaaZZGz111111)(若要系統(tǒng)穩(wěn)定，需：1ia則：11ia（所有極點都單位圓內(nèi)）（所有零點都在單位圓外）這是最大相位延遲系統(tǒng)。59，就可獲得各類變換選擇合適的N和iaNeGj)(arg變化時，由0到601、根據(jù)要求，確定歸一化模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。2、用沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法求出歸一化數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。3、由表6-9 進

19、行數(shù)字頻率變換，求得滿足要求的數(shù)字濾波器。設(shè)計步驟：61, 00由以上關(guān)系，可以確定1N。11111)(aZaZZGzjjjaeaee11aI、數(shù)字低通數(shù)字低通jjeZez,6263所以可以求出與的關(guān)系：cos1sinarctan2aacccc,又由：可以求出：2sin2sincccca640a頻率壓縮0a頻率擴張頻率是非線性映射。65)jLeH（21止帶壓縮）（通帶擴展21()jdLHe0數(shù)字低通數(shù)字低通的變換關(guān)系：1111)()(aZaZzLdLzHZH66將低通頻率響應(yīng)在單位圓上旋轉(zhuǎn)1800，就可以獲得數(shù)字高通的頻率響應(yīng)，即用-Z-1代替Z-1，就完成了數(shù)字低通到數(shù)字高通的變換：1111

20、1111)(aZaZaZaZZGzII、數(shù)字低通數(shù)字高通6768所以有：jjjaeaee1cccc,0,0由：2cos2coscccca1111)()(aZaZzLdHzHZH數(shù)字低通數(shù)字高通的變換關(guān)系：69 低通到帶通的變換，在單位圓上需兩次旋轉(zhuǎn)，故可令N=2，則有：111)(11222112111111ZdZddZdZZaaZaZaZZGzIII、數(shù)字低通數(shù)字帶通707100, 00,由：有：1) 1 (, 1) 1(GG1112221121ZdZddZdZz（取-號）72由：2112,cc有：2tan)2cot(12tan)2cot(112122ccd2tan2cot12cos2cos2

21、1212121cd73令：2cos2cos1212a2cot2tan12ck則：012cos,12,11akakdkkd1112221121)()(ZdZddZdZzLdBzHZH數(shù)字低通數(shù)字帶通的變換關(guān)系：74 低通到帶阻的變換，在單位圓上也需兩次旋轉(zhuǎn)，故可令N=2，則有：1)(1122211211ZdZddZdZZGzIV、數(shù)字低通數(shù)字帶阻757600, 00由：有：1) 1 (, 1) 1(GG1112221121ZdZddZdZz（取+號）77由：1221,cc有：2tan)2tan(12tan)2tan(112122ccd2tan2tan12cos2cos21212121cd78令：

22、2cos2cos1212a2tan2tan12ck則：012cos,12,11akadkkd1112221121)()(ZdZddZdZzLdRzHZH數(shù)字低通數(shù)字帶阻的變換關(guān)系：79總結(jié)80NiiiZaaZZGz111111)(（-）N階全通表示N個通帶變換；（+）N階全通表示N個阻帶變換。V、數(shù)字低通多通帶數(shù)字濾波器81NkkkMiiizazbzH101)(設(shè)九、直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 1）、頻域直接設(shè)計 幅度平方函數(shù)設(shè)計法82則NkkMkkNkkMkkNiijiNkkjkMkkjkMiijiezjkgkekdkceaeaebebzHzHeHj020200000012)2(cos)2(c

23、os)cos()cos()()()(83仿照模擬濾波器，有)(11)(22NjAeH可表示低通濾波器。2tan2tan)(222cNNNA巴特沃思濾波器：2tan2tan)(222cNNCA切貝雪夫濾波器：842121222)1 ()1 ()(211)(211cos1cos12cos2sin2tanzzeeeejezjjjj85000)()(kkNiiiMiiizkhzazbzH由有MiiiNiiikkzbzazkh000)(2）、時域直接設(shè)計I、帕德逼近法86在MNk0范圍內(nèi)，)(kh逼近希望的單位抽樣響應(yīng))(khd由MiiiNiiiMNkkzbzazkh000)(可得：NjjkjkjMNkMjkhaMkbjkha00, 0)(0,)(比較系數(shù)10a87用)(khd代替)(kh，可以求出：), 2 , 1(Niai這樣就可以確定系統(tǒng)函數(shù)), 2 , 1(Mibi)(zHN+M以后的項不加考慮。88 對某特定輸入波形，可以得到一個確定的輸出波形。 第一步，用最小均方誤差的準(zhǔn)則求單位抽樣響應(yīng)的最佳值； 第二步，利用帕德逼近法求系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。II、波形形成濾波器89 即計算機輔助設(shè)計法。在某種準(zhǔn)則下使逼近誤差最小所進行的設(shè)計。 這種方法的特點是不 直接給出濾波器系統(tǒng)函數(shù)的顯式