北大附中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元綜合測試數(shù)列

1、北大附中2013屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元綜合測試：數(shù)列一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，1等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1，S3，S2成等差數(shù)列，則an的公比q等于()A1BC D2【答案】C2若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則的值為 ( ）A44B22CD88【答案】A3已知等比數(shù)列中，且有，則( )A1B2CD【答案】A4 已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且的等比中項(xiàng)，的前n項(xiàng)和，則S10的值為( ）A-110B-90C90D110【答案】D5等差數(shù)列an滿足a2a9a6，則S9()A2B0C1D2【答案】B6在等差數(shù)列中，則此數(shù)列前13項(xiàng)的和（ ）A13B26C52D15

2、6【答案】B7已知等比數(shù)列an中，a12，且a4a64a，則a3()A B1C2D【答案】B8已知數(shù)列為等差數(shù)列，若且它們的前n項(xiàng)和有最大值，則使得的n的最大值為（ ）A 11B 19C 20D 21【答案】B【解析】由 可得 ，由它們的前n項(xiàng)和Sn有最大可得a100，a11+a100，a110從而有a1+a19=2a100a1+a20=a11+a100，從而可求滿足條件的n的值由 可得由它們的前n項(xiàng)和Sn有最大可得數(shù)列的d0a100，a11+a100，a110a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100使得Sn0的n的最大值n=19故選B9在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a1和a19為方程

3、x210x160的兩根，則a8·a10·a12等于()A16B32C64D256【答案】C10在等比數(shù)列an中，已知an>0，那么“a2>a4”是“a6>a8”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C11an為等差數(shù)列，若<1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值時(shí)，n的值為()A11B17C19D21【答案】C12一直角三角形三邊長成等比數(shù)列，則（ ）A三邊長之比為3：4：5B三邊長之比為3：1C較大銳角的正弦為D較小銳角的正弦為【答案】D二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確

4、答案填在題中橫線上)13已知數(shù)列為等比數(shù)列，且.,則=_.【答案】1614定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，那么a18的值為_，且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)的和S21的值為_【答案】3，5215等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，給出下列四個(gè)命題：數(shù)列()an為等比數(shù)列；若a2a122，則S133；Snnand；若d>0，則Sn一定有最大值其中真命題的序號(hào)是_(寫出所有真命題的序號(hào))【答案】16已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，nN*，若a31

5、6，S2020，則S10的值為_【答案】110三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，求的值【答案】當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1=2´1-1，故an=2n-1(nN*)，an-an-1=2.原式=+=(-)+(-)+(-)=(-)=(-1)18在數(shù)列中，若函數(shù)在點(diǎn)處切線過點(diǎn)（）(1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.【答案】（1）因?yàn)?，所以切線的斜率為，切點(diǎn)（1，2）， 切線方程為 又因?yàn)檫^點(diǎn)（），所以， 即 所以， 即數(shù)列為一等比數(shù)列，公比

6、.(2）由（1）得為一公比為的等比數(shù)列， 則 ， 19設(shè)數(shù)列滿足(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2）設(shè)記證明：Sn1.【答案】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)n1時(shí)，也滿足上式，所求通項(xiàng)公式(2） 1.20已知等差數(shù)列an中，公差d>0，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a2a345，a1a414.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)通過公式bn構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列bn若bn也是等差數(shù)列，并求非零常數(shù)c；(3)求f(n)(nN*)的最大值【答案】(1)數(shù)列an是等差數(shù)列a2a3a1a414.又a2a345，或公差d>0，a25，a39.da3a24，a1a2d1.ana1(n1)d4n3

7、.(2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n，bn數(shù)列bn是等差數(shù)列，2b2b1b3，2·，解得c(c0舍去)bn2n.(3)f(n)即f(n)的最大值為21某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.(1)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；(2)設(shè)An，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新證明：須在第9年初對(duì)M更新【答案】(1)當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列，an12010(n1)13010n；當(dāng)n

8、6時(shí)，數(shù)列an是以a6為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，又a670，所以an70×()n6.因此，第n年初，M的價(jià)值an的表達(dá)式為an(2)設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1n6時(shí)，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；當(dāng)n7時(shí)，由于S6570，故SnS6(a7a8an)57070××4×1()n6780210×()n6.An因?yàn)閍n是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列又A882>80，A976<80，所以須在第9年初對(duì)M更新22設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù),點(diǎn)在直線上(） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(

9、）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，則說明理由【答案】（）由題意可得： 時(shí), 得， 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， (）解法一: 若為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列, 得 又時(shí)，顯然成等差數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列 解法二: 欲使成等差數(shù)列,只須即便可 故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列成等差數(shù)列 北大附中2013屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元綜合測試：數(shù)列一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，1等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1，S3，S2成等差數(shù)列，則an的公比q等于()A1BC D2【答案】C2若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則的值為 ( ）A44B22CD88【答案

10、】A3已知等比數(shù)列中，且有，則( )A1B2CD【答案】A4 已知為等差數(shù)列，其公差為-2，且的等比中項(xiàng)，的前n項(xiàng)和，則S10的值為( ）A-110B-90C90D110【答案】D5等差數(shù)列an滿足a2a9a6，則S9()A2B0C1D2【答案】B6在等差數(shù)列中，則此數(shù)列前13項(xiàng)的和（ ）A13B26C52D156【答案】B7已知等比數(shù)列an中，a12，且a4a64a，則a3()A B1C2D【答案】B8已知數(shù)列為等差數(shù)列，若且它們的前n項(xiàng)和有最大值，則使得的n的最大值為（ ）A 11B 19C 20D 21【答案】B【解析】由 可得 ，由它們的前n項(xiàng)和Sn有最大可得a100，a11+a100

11、，a110從而有a1+a19=2a100a1+a20=a11+a100，從而可求滿足條件的n的值由 可得由它們的前n項(xiàng)和Sn有最大可得數(shù)列的d0a100，a11+a100，a110a1+a19=2a100，a1+a20=a11+a100使得Sn0的n的最大值n=19故選B9在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a1和a19為方程x210x160的兩根，則a8·a10·a12等于()A16B32C64D256【答案】C10在等比數(shù)列an中，已知an>0，那么“a2>a4”是“a6>a8”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C11an

12、為等差數(shù)列，若<1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值時(shí)，n的值為()A11B17C19D21【答案】C12一直角三角形三邊長成等比數(shù)列，則（ ）A三邊長之比為3：4：5B三邊長之比為3：1C較大銳角的正弦為D較小銳角的正弦為【答案】D二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13已知數(shù)列為等比數(shù)列，且.,則=_.【答案】1614定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，那么a18的值為_，且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)的和

13、S21的值為_【答案】3，5215等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，給出下列四個(gè)命題：數(shù)列()an為等比數(shù)列；若a2a122，則S133；Snnand；若d>0，則Sn一定有最大值其中真命題的序號(hào)是_(寫出所有真命題的序號(hào))【答案】16已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，nN*，若a316，S2020，則S10的值為_【答案】110三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，求的值【答案】當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1=2´1-1，故an=2n-1

14、(nN*)，an-an-1=2.原式=+=(-)+(-)+(-)=(-)=(-1)18在數(shù)列中，若函數(shù)在點(diǎn)處切線過點(diǎn)（）(1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.【答案】（1）因?yàn)椋郧芯€的斜率為，切點(diǎn)（1，2）， 切線方程為 又因?yàn)檫^點(diǎn)（），所以， 即 所以， 即數(shù)列為一等比數(shù)列，公比.(2）由（1）得為一公比為的等比數(shù)列， 則 ， 19設(shè)數(shù)列滿足(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2）設(shè)記證明：Sn1.【答案】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)n1時(shí)，也滿足上式，所求通項(xiàng)公式(2） 1.20已知等差數(shù)列an中，公差d>0，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a2a3

15、45，a1a414.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)通過公式bn構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列bn若bn也是等差數(shù)列，并求非零常數(shù)c；(3)求f(n)(nN*)的最大值【答案】(1)數(shù)列an是等差數(shù)列a2a3a1a414.又a2a345，或公差d>0，a25，a39.da3a24，a1a2d1.ana1(n1)d4n3.(2)Snna1n(n1)dn2n(n1)2n2n，bn數(shù)列bn是等差數(shù)列，2b2b1b3，2·，解得c(c0舍去)bn2n.(3)f(n)即f(n)的最大值為21某企業(yè)在第1年初購買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值

16、比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.(1)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；(2)設(shè)An，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新證明：須在第9年初對(duì)M更新【答案】(1)當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為120，公差為10的等差數(shù)列，an12010(n1)13010n；當(dāng)n6時(shí)，數(shù)列an是以a6為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，又a670，所以an70×()n6.因此，第n年初，M的價(jià)值an的表達(dá)式為an(2)設(shè)Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)1n6時(shí)，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；當(dāng)n7時(shí)，由于S6570，故SnS6(a7a8an)57070××4×1()n6780210×