數(shù)學(xué)建模論文符號

1、一摘要 第二問中，本文將貯料的分布情況分別在整體流動和管狀流動（漏斗狀流動）下進行考慮。對于倉內(nèi)貯料的分布情況，可通過貯料容量隨時間的變化關(guān)系進行描述，并根據(jù)貯料容量與出入料速度之間的等量關(guān)系建立顆粒流微分方程模型。但由于出料速度在兩個狀態(tài)時存在很大差異故需分開求解，在整流狀態(tài)下可結(jié)合能量守恒定律，得出筒倉內(nèi)物料上表面的高度與出料速度的關(guān)系；在管狀流動（漏斗狀流動）狀態(tài)下，由于貯料上表面曲面不規(guī)則且較為復(fù)雜，通過簡化流速公式求解出料速度。最后將出料速度代入微分方程可求得貯料容量隨時間的表達式，即可表征物料分布情況。二問題分析 在探討筒倉倉內(nèi)產(chǎn)品的分布與堆積問題時，為了描述分布與堆積狀況，考慮到

2、不同狀態(tài)時倉筒貯料容量會存在差異可以反映堆積特征，故可用容量來進行描述。首先先對煤炭筒倉內(nèi)物料流動形態(tài)進行分析，查閱文獻可知貯料流動形態(tài)大致分為兩階段，一種為整體流動，即卸料時貯料整體向下運動；一種為管狀流動（漏斗狀流動），即卸料時貯料從其內(nèi)部的流動腔中流動。卸料時，筒倉上部顆粒先進行整體流動，當貯料到達一定高度后轉(zhuǎn)變?yōu)楣軤盍鲃訝顟B(tài)。接著進一步描述筒倉貯料的分布情況，考慮到貯料容量由入放料速度之差決定，可分別建立基于能量守恒的顆粒流微分方程模型與基于公式的顆粒流微分方程模型，對貯料流動平衡前后兩種狀態(tài)進行深入描述。3 符號說明符號表示符號意義筒倉中貯料實際容量入料速度出料口速度同時入放料開始后

3、時間物體動能物體勢能筒倉各部分實際質(zhì)量筒倉各部分貯料實際高度筒倉各部分橫截面積流動系數(shù)重力加速度水力半徑四模型假設(shè)1.物料與倉壁、物料與物料之間的摩擦系數(shù)為0。2.煤質(zhì)可視為流態(tài)的顆粒流。3.不考慮卸料口成拱堵塞等特殊情況。4.假設(shè)產(chǎn)品入料的速度為可人為控制的定值。五模型建立與求解5.1.模型分析 卸料開始時，靠近倉壁的貯料與中心線的貯料運動位移大致相同，使得貯料水平截面保持水平，此時為整體流動狀態(tài)；當顆粒到達一定高度時，靠近倉壁貯料位移比中心線附近貯料運動的慢，這時流動狀態(tài)為管道流動，如圖一所示。圖一：貯料流動形式 接著進一步描述流動過程中貯料的分布情況，由容量與入放料速率的關(guān)系,可引入顆粒

4、流微分方程模型?？紤]兩種狀態(tài)下放料速率的影響因素不同，故應(yīng)分開求解。對于整體流動，其運動形式較為規(guī)則，可采用能量守恒定律求解放料口速度。反之，管狀流動運動形式不規(guī)則，運用能量守恒分析非常復(fù)雜且與實際情況相差較大，故這里采用公式簡化計算放料口速度。5.2.顆粒流微分方程建立與求解 根據(jù)筒倉容量變化的物理規(guī)律可知，貯料容量變化速率等于入料速率與出料速率之差，查閱文可知貯料投放速率為一人為可控定值，因此只需考慮筒倉出料速率，而出料速度既與貯料容量和流動方式有關(guān)，因此需分開考慮。在此建立以下顆粒流微分方程來總體考慮容量變化情況： 設(shè)為時間，為倉內(nèi)貯料總量，為筒倉入料速率，為筒倉出料速率，可建立如下關(guān)系

5、式： 對于整體流動與管狀流動，出料速率的求解方式不同，故建立兩種模型分別求解。5.2.1能量守恒定律求解整流狀態(tài)下出料速率計算的基本依據(jù)是能量守恒定，筒倉貯料流動前后的機械能總量相等，即式中：貯料流動前動能； 貯料流動前勢能； 貯料流動后動能； 貯料流動后勢能如圖2所示，貯料流動前動能，只有勢能；如圖3貯料流動后情況，貯料向下流動了一段距離，此時貯料既有動能，又有勢能。故該能量守恒方程可化為： 即 圖2：倉斗貯料流動情況 圖3：倉斗貯料流動后情況對于貯料流動前勢能，包括倉斗上部圓柱體貯料勢能與倉斗下部椎體貯料勢能，取倉斗中流出物料的下表面為零勢能面，如圖3所示線；對于貯料流動后勢能，包括倉斗上

6、部圓柱體貯料勢能、倉斗下部椎體貯料勢能與倉斗流出貯料勢能，則有： 式中：倉斗上部圓柱體貯料質(zhì)量； 倉斗中流出貯料的質(zhì)量； 倉斗上部圓柱體貯料長度； 倉斗下部椎體貯料長度； 倉斗中流出物料的長度； 上部圓柱體橫截面積； 下部椎體出口處面積而由圖2圖3可知下部椎體貯料勢能在流動前后無變化，即，故把式代入式得：以下是分步對動能的計算過程： 此處由三部分組成，分別是倉斗上部圓柱體物料的動能 ，倉斗下部錐體物料的動能和從倉斗中流出物料的動能 ，計算圖例見圖三。再設(shè)上部分圓柱體物料的流速為,從倉斗中流出物料的流速為.可得如下關(guān)系式：說明：此處上倉都中流出的物料是不均勻的，因此在實際當中上面物料流動慢而下面

7、流動快，但由于假設(shè)很小導(dǎo)致上下流速相差不大，故可認為上下流速相等。在實際中倉斗上部和下部流動不均勻，但此處假設(shè)流動是均勻的。 對于計算要相對復(fù)雜一些，需用微積分思想求解：圖4：下部椎體示意圖 圖4為倉斗下部錐體，可在圖中距離錐體頂部為的地方取微圓 柱體，取圓柱體橫截面積為，另設(shè)物料比重為，則則圓柱體質(zhì)量為：圓柱體速度為：因此圓柱體動能為：同時對進行積分可得：將關(guān)系式代入公式，可得表達式： 但是若在實際中使用以上公式則比較繁瑣，考慮實際情況一般,故，同時有，故可得到以下簡化表達式： 此即為整流狀態(tài)下出料速率公式。5.2.2 Janssen公式求解管狀流狀態(tài)下出料速率 根據(jù)Janssen公式，在漏

8、斗、管狀流型下，卸料孔作中心布置時，其排料速度可按下列公式計算 式中：流動系數(shù)，決定于物料的流動性及其粒度。對于干燥易流的散體物料，可取。（這里將產(chǎn)品視為干燥易流的散體物料） 重力加速度（）； 水力半徑（）。 卸料孔處的水利半徑按如下式中：圓形排料孔的直徑物料的最大典型物料尺寸綜上，產(chǎn)品的流速的計算公式如下： 此即為管道流狀態(tài)下出料速率公式。由于在標準形式下，產(chǎn)品的流速與產(chǎn)品的堆積高度無關(guān)，與卸料口的水力半徑有關(guān)。根據(jù)題意，討論對象為只有一個進口，一個開口的的理想筒倉，水力半徑為一定值，故產(chǎn)品的流速為一定值。5.2.3.顆粒流微分方程模型此時即可得到兩種狀態(tài)下倉底出料速率，即為將代入中，輸入m

9、atlab進行求解可得： 式中：此處表達式中函數(shù)是歐米加函數(shù)（或乘數(shù)對數(shù)），其滿足的關(guān)系，常出現(xiàn)在微分方程符號解中，當其中各個符號賦予具體值時可以求得其為一個常數(shù)。則此式可表示貯料總量隨時間的變化情況。 此即為最終顆粒流微分方程模型。6 模型評價與改進 6.1模型優(yōu)缺點本文的顆粒流微分方程模型是建立在對貯料流態(tài)的定性分析之上，考慮了整體流與管狀流兩種形態(tài)，并分別對其進行了定量分析，給出兩種形態(tài)下具體的表達式，準確描述出容量的分布堆積情況。定性與定量的結(jié)合，可以較為全面的對貯料分布堆積情況進行描述。但此微分方程模型仍存在不足，對于貯料流態(tài)的分析上不夠深入，并未在整體流與管狀流之下深入分析貯料分布變化情況；對于微分方程建立上，不能夠求得統(tǒng)一的模型對所有流態(tài)進行描述，只做到分別描述流態(tài)，因此存在缺陷。 6.2模型改進在求解整體流狀態(tài)下的出料速率中，由于假定了物料與倉壁，物料與物料的摩擦系數(shù)為0，所以求得速率比實際值大，故此處應(yīng)加入一個修正系數(shù),則可將式子變?yōu)?。其中：K為與物料性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)。7 參考文獻翟振威 原國平 張峰濤，筒倉貯料流態(tài)的顆粒流數(shù)值模擬 ，山西建筑 ，第34卷35期，200