解讀日本提出的非正弦振動曲線

1、解讀日本提出的非正弦振動曲線（）曾晶 楊拉道 楊超武 雷華 王蓉(西安重型機械研究所 陜西 西安 710032 摘要： 解讀1992年由日本提出的一種非正弦振動曲線，給出曲線表達式中系數(shù)的求解方法。關(guān)鍵詞：非正弦振動 正弦波疊加Crack the non-sin oscillating expression brought forward by Japan（）ZengJing YangLaDao YangChaowu LeiHua WangRong(Xian Heavy Machinery Research Institute, Xian 710032, ChinaAbstract: Crac

2、k the non-sin oscillating expression brought by Japan in 1992 ,and give away to calculate the coefficient in this expression.Key words: no-sin oscillate superposition of sine waves1992年，日本鐵鋼第78年（1992）第1號發(fā)表了一篇題為“高速鑄造時鑄型內(nèi)論熱潤滑舉動鑄型振動波形影響”的文章（第113-120頁），文章中給出了偏斜正弦波可以用多個正弦波疊加而產(chǎn)生的基本概念，其具體表達式如下： (1式中 為振動的頻率

3、; 為第個正弦波的振幅; 為時間;該公式中所涉及的系數(shù)的求解，文章中沒有公布具體的算法。振動曲線的位移、速度、加速度圖像形狀大致如圖1所示。位移 速度 加速度圖1 位移、速度、加速度形式從已知的測量數(shù)據(jù)及其系數(shù)來看，該曲線的加速度和其他類似的非正弦振動曲線的加速度相比是比較小的。由于是由多個正弦波的疊加而產(chǎn)生，該振動曲線具有任意階導數(shù)，即速度、加速度、躍度全部光滑可導。在不考慮加速度圖像存在二類間斷點的情況下，可以構(gòu)建形如圖2所示的非正弦振動的速度曲線，圖中的BC段和DF段均為直線且其斜率互為倒數(shù)。若在振動曲線的偏斜率、頻率為、沖程為一定的情況下該曲線在至時間內(nèi)或至時間內(nèi)加速度小于任何形式的振

4、動曲線。但該曲線明顯不可導，從理論上講加速度圖像存在二類間斷點，在B點F點的加速度趨于無窮大。如果想在此基礎(chǔ)上去掉二類間斷點并保留BD段和DF段加速度的優(yōu)越性，則可采用傅立葉三角級數(shù)去表達該速度曲線。圖2 構(gòu)建的速度曲線確立構(gòu)建的速度曲線的相關(guān)參數(shù)：該速度曲線分為4個部分，每段均為直線，水平段AB、斜線段BD、斜線段DF、水平段FG，其中C、E兩點處的速度為零，對應(yīng)位移曲線的波峰和波谷，對應(yīng)時間上和的兩個時刻。由于斜線段BD、斜線段DF與時間軸所圍成的面積必須等于沖程，才能保證曲線為周期性的振動曲線, 設(shè)最大的速度為，建立方程：設(shè)水平段AB的速度為、斜線段BD的斜率為、 斜線段DF的斜率為，則

5、 式(1其中斜率，因此式（1）也可以寫成： 式(2因為直線段AB、斜線段BC與時間軸所圍城的面積是，設(shè)從點B到點C的時間為，建立以下方程：因為，所以，如果，當時顯然不合理，所以應(yīng)當舍去這組解，因此確立構(gòu)建的速度曲線的位移表達式：將式(2 積分就可以得到位移的表達式如下: 其中A、B為常數(shù)，由原函數(shù)必連續(xù)的定理知位移圖像在時刻、也連續(xù)，建立方程如下：所以位移的最終表達式為： 式(3確立構(gòu)建的速度曲線的加速度表達式：將式(2求導就可以得到加速度的表達式如下： 式(4傅立葉三角級數(shù)的表達三角級數(shù)表達形式為 從表達式(3可知，該分段函數(shù)滿足“狄里克雷”條件，可以用傅立葉三角級數(shù)表示。首先對式(3式進行

6、奇拓延,使函數(shù)的定義域范圍界定在區(qū)間上；由傅立葉三角級數(shù)一般項系數(shù)的求解公式，給出的顯式表達：式中：，,令，其中 化簡后表達如下： 式（5）對于由多個正弦波疊加的非正弦振動曲線來說，工程上只能使用有限的正弦波個數(shù)，一般為35項，因此在對構(gòu)建曲線進行了有35項傅立葉三角級數(shù)替換后，與原構(gòu)建曲線在著一定的差異，如圖3所示。也正是由于有限的正弦波的個數(shù)使得該曲線在維持了原構(gòu)建曲線小加速度的特性的同時，且具有了任意階導函數(shù)，即速度、加速度、躍度均光滑可導。圖3 疊加正弦波和構(gòu)建曲線的差異由于對工程上使用有限的正弦波進行疊加，必然導致計算結(jié)果和原構(gòu)造曲線之間在振幅和偏斜率上存在一定的偏差，因此可以通過計

7、算機程序采用二分法得到真實的偏斜率，然后在此基礎(chǔ)上對所有參與疊加的正弦波的振幅統(tǒng)一乘以一個修正系數(shù)，便可得到所要求的精確振幅。從式（5）可知系數(shù)與頻率無關(guān)，因此可設(shè)非正弦振動曲線的沖程為單位“1”，頻率為1次/分鐘建立一張加速度、系數(shù)與偏斜率的關(guān)系表，如表1所示（省略部分表格）。并以此為基礎(chǔ)通過簡單的換算關(guān)系得出各種振幅及各種偏斜率的非正弦振動的全部系數(shù)及最大加速度。偏斜率5項偏斜率5項A1A2A3A4A5AmaxA1A2A3A4A5Amax34.10%0.44661-0.133130.03171-0.002460.000000.0117137.50%0.43953-0.141590.0404

8、9-0.005900.000000.0130834.20%0.44641-0.133400.03197-0.002540.000000.0117537.60%0.43931-0.141820.04075-0.006020.000000.0131234.30%0.44620-0.133660.03223-0.002630.000000.0117837.70%0.43910-0.142050.04101-0.006140.000000.0131634.40%0.44600-0.133930.03248-0.002710.000000.0118237.80%0.43888-0.142280.0412

9、7-0.006260.000000.0132134.50%0.44579-0.134190.03274-0.002790.000000.0118637.90%0.43867-0.142510.04153-0.006390.000000.0132534.60%0.44559-0.134450.03299-0.002880.000000.0118938.00%0.43845-0.142730.04179-0.006510.000000.0133034.70%0.44538-0.134720.03325-0.002970.000000.0119338.10%0.43823-0.142960.0420

10、6-0.006640.000000.0133434.80%0.44518-0.134980.03351-0.003060.000000.0119738.20%0.43802-0.143180.04232-0.006770.000000.0133934.90%0.44497-0.135240.03377-0.003150.000000.0120138.30%0.43780-0.143400.04258-0.006900.000000.0134335.00%0.44476-0.135490.03402-0.003240.000000.0120538.40%0.43758-0.143620.0428

11、4-0.007030.000000.0134835.10%0.44456-0.135750.03428-0.003330.000000.0120938.50%0.43736-0.143840.04310-0.007160.000000.0135235.20%0.44435-0.136010.03454-0.003420.000000.0121338.60%0.43714-0.144060.04336-0.007300.000000.0135735.30%0.44414-0.136260.03479-0.003520.000000.0121638.70%0.43692-0.144280.0436

12、2-0.007430.000000.0136135.40%0.44394-0.136520.03505-0.003610.000000.0122038.80%0.43669-0.144500.04388-0.007570.000000.0136635.50%0.44373-0.136770.03531-0.003710.000000.0122438.90%0.43647-0.144720.04414-0.007700.000000.0137135.60%0.44352-0.137020.03557-0.003810.000000.0122839.00%0.43625-0.144930.0444

13、1-0.007840.000000.0137535.70%0.44332-0.137270.03583-0.003910.000000.0123239.10%0.43602-0.145150.04467-0.007980.000000.0138035.80%0.44311-0.137520.03608-0.004010.000000.0123639.20%0.43580-0.145360.04493-0.008120.000000.0138535.90%0.44290-0.137770.03634-0.004110.000000.0124039.30%0.43557-0.145570.0451

14、9-0.008260.000000.0139036.00%0.44269-0.138020.03660-0.004210.000000.0124439.40%0.43534-0.145780.04545-0.008400.000000.0139436.10%0.44248-0.138260.03686-0.004320.000000.0124839.50%0.43512-0.146000.04572-0.008540.000000.0139936.20%0.44228-0.138510.03712-0.004420.000000.0125339.60%0.43489-0.146210.0459

15、8-0.008690.000000.0140436.30%0.44207-0.138750.03738-0.004530.000000.0125739.70%0.43466-0.146410.04624-0.008830.000000.0140936.40%0.44186-0.138990.03764-0.004640.000000.0126139.80%0.43443-0.146620.04650-0.008980.000000.0141436.50%0.44165-0.139230.03790-0.004740.000000.0126539.90%0.43420-0.146830.0467

16、6-0.009130.000000.0141836.60%0.44144-0.139480.03816-0.004850.000000.0126940.00%0.43410-0.147080.04704-0.009280.000160.0142436.70%0.44123-0.139710.03841-0.004970.000000.0127340.10%0.43389-0.147290.04731-0.009430.000180.0142936.80%0.44102-0.139950.03867-0.005080.000000.0127740.20%0.43367-0.147500.0475

17、7-0.009580.000200.0143436.90%0.44081-0.140190.03893-0.005190.000000.0128240.30%0.43346-0.147710.04783-0.009740.000220.0143937.00%0.44059-0.140430.03919-0.005310.000000.0128640.40%0.43324-0.147920.04810-0.009890.000250.0144437.10%0.44038-0.140660.03945-0.005420.000000.0129040.50%0.43303-0.148120.04836-0.010040.000270.0144937.20%0.44017-0.140900.03971-0.005540.000000.0129540.60%0.43281-0.148330.04862-0.010200.000290.0145437.30%0.43996-0.141130.03997-0.005660.000000.0129940.70%0.43260-0.148530.04889-0.010350.000320.0145937.40%0.43974-0.141360.04023-0.005