不等式講義知識(shí)點(diǎn)詳解例題習(xí)題含詳細(xì)答案

1、不等式講義最新考綱：1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明.4.通過一些簡(jiǎn)單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法1含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<

2、a；(3)對(duì)形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解2含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|.問題探究：不等式|a|b|a±b|a|b|中，“”成立的條件分別是什么？提示：不等式|a|b|ab|a|b|，右側(cè)“”成立的條件是ab0，左側(cè)“”成立的條件是ab0且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右側(cè)“”成立的條件是ab0，左側(cè)“”成立的條件是ab0且|a|b|.3基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)

3、，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均值不等式)如果a1、a2、an為n個(gè)正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立4柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則(a2b2)·(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立(2)若ai，bi(iN*)為實(shí)數(shù)，則()()(ibi)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時(shí)，等號(hào)成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則|·|·|，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量同向或反向時(shí)等號(hào)成立1判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×

4、”)(1)對(duì)|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)a>b>0時(shí)等號(hào)成立()(2)對(duì)|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立()(3)|axb|c(c>0)的解等價(jià)于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|<2的解集為Ø.()(5)若實(shí)數(shù)x、y適合不等式xy>1，xy>2，則x>0，y>0.()答案(1)×(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x<1的解集是()Ax|0<x<2 Bx|1<x<2Cx|0<x<1 Dx|1<x<3解析解法一：x1時(shí)，滿足不等關(guān)系，排除C、D、B，故選A

5、.解法二：令f(x)則f(x)<1的解集為x|0<x<2答案A3設(shè)|a|<1，|b|<1，則|ab|ab|與2的大小關(guān)系是()A|ab|ab|>2 B|ab|ab|<2C|ab|ab|2 D不能比較大小解析|ab|ab|2a|<2.答案B4若a，b，c(0，)，且abc1，則的最大值為()A1 B C. D2解析()2(1×1×1×)2 (121212)(abc)3.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立()23.故的最大值為.故應(yīng)選C.答案C5若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析利用數(shù)軸及不等式的幾何

6、意義可得x到a與到1的距離和小于3，所以a的取值范圍為2a4.答案2a4考點(diǎn)一含絕對(duì)值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步驟是：(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根(2)把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個(gè)區(qū)間(3)在所分區(qū)間上，去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出它們的解集(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)娜サ艚^對(duì)值符號(hào)(1)(2015·山東卷)不等式|x1|x5|<2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)(2)(2014·湖南卷)若關(guān)于x的不等式

7、|ax2|<3的解集為，則a_.解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：“脫掉”絕對(duì)值符號(hào)；關(guān)鍵點(diǎn)：利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行分類討論解析(1)當(dāng)x<1時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然成立，所以此時(shí)不等式的解集為(，1)；當(dāng)1x5時(shí)，不等式可化為x1(x5)<2，即2x6<2，解得x<4，又1x5，所以此時(shí)不等式的解集為1,4)；當(dāng)x>5時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然不成立，所以此時(shí)不等式無解綜上，不等式的解集為(，4)故選A.(2)|ax2|<3，1<ax<5.當(dāng)a>0時(shí)，<x<，與已

8、知條件不符；當(dāng)a0時(shí)，xR，與已知條件不符；當(dāng)a<0時(shí)，<x<，又不等式的解集為，故a3.答案(1)A(2)3用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：(1)求零點(diǎn)；(2)劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)3無解；當(dāng)x3時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)

9、3的解集為x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當(dāng)x1,2時(shí)，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0考點(diǎn)二利用絕對(duì)值的幾何意義或圖象解不等式對(duì)于形如|xa|xb|>c或|xa|xb|<c的不等式，利用絕對(duì)值的幾何意義或者畫出左、右兩邊函數(shù)的圖象去解不等式，更為直觀、簡(jiǎn)捷，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)越性|xa|xb|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與點(diǎn)a和點(diǎn)b的距離之和，應(yīng)注意x的系數(shù)為1.(1)(2014·重慶卷)若不等式|x1|x2|a2a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值

10、范圍是_(2)不等式|x1|x2|>k的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：絕對(duì)值的幾何意義；關(guān)鍵點(diǎn)：把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2a23，解得a.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)解法一：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，則原不等式等價(jià)于PAPB>k恒成立AB3，即|x1|x2|3.故當(dāng)k<3時(shí)，原不等式恒成立解法二：令y|x1|x2|，則y要使|x1|x2|>k恒成立，從圖象中可以看出，只要k<3即可故k<3滿足題意答案(1)(2)(，3)解含參數(shù)的不等式存在性問題，

11、只要求出存在滿足條件的x即可；不等式的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)<a恒成立a>f(x)max，f(x)>a恒成立a<f(x)min. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2015·唐山一模)已知函數(shù)f(x)|2xa|a，aR，g(x)|2x1|.(1)若當(dāng)g(x)5時(shí)，恒有f(x)6，求a的最大值；(2)若當(dāng)xR時(shí)，恒有f(x)g(x)3，求a的取值范圍解(1)g(x)5|2x1|552x152x3；f(x)6|2xa|6aa62xa6aa3x3.依題意有，a32，a1.故a的最大值為1.(2)f(x)g(x)|2xa|2x1|a|2xa2x1|a|a1|a，當(dāng)且僅當(dāng)(2

12、xa)(2x1)0時(shí)等號(hào)成立解不等式|a1|a3，得a的取值范圍是2，)考點(diǎn)三不等式的證明與應(yīng)用不等式的證明方法很多，解題時(shí)既要充分利用已知條件，又要時(shí)刻瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)，既不僅要搞清是什么，還要搞清干什么，只有兼顧條件與結(jié)論，才能找到正確的解題途徑應(yīng)用基本不等式時(shí)要注意不等式中等號(hào)成立的條件(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：不等式的性質(zhì)；關(guān)鍵點(diǎn)：不等式的恒等變形證明(1)因?yàn)?)2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，ab>cd得()2>

13、;()2.因此>.(2)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.由(1)得>.若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明

14、的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.方法規(guī)律總結(jié)方法技巧1絕對(duì)值不等式求解的根本方向是去除絕對(duì)值符號(hào)2絕對(duì)值不等式在求與絕對(duì)值運(yùn)算有關(guān)的最值問題時(shí)需靈活運(yùn)用，同時(shí)還要注意等號(hào)成立的條件3在證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)命題提供的信息選擇

15、合適的方法與技巧如在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)睛1對(duì)含有參數(shù)的不等式求解時(shí)，分類要完整2應(yīng)用基本不等式和柯西不等式證明時(shí)要注意等號(hào)成立的條件 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(七十)一、填空題1不等式|2x1|<3的解集為_解析|2x1|<33<2x1<31<x<2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|<2的解集為_解析當(dāng)x時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)<2，即3x<2，x>，此時(shí)<x.當(dāng)<

16、x<1時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)<2，即x<0，此時(shí)<x<0.當(dāng)x1時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)<2，即3x<2，x<，此時(shí)不等式無解，綜上，原不等式的解為<x<0，即原不等式的解集為.答案4已知關(guān)于x的不等式|x1|x|k無解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析|x1|x|x1x|1，當(dāng)k<1時(shí)，不等式|x1|x|k無解，故k<1.答案(，1)5(2015·西安統(tǒng)考)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|<a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，86(2

17、015·重慶卷)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a_.解析當(dāng)a1時(shí)，f(x)3|x1|0，不滿足題意；當(dāng)a<1時(shí)，f(x)f(x)minf(a)3a12a5，解得a6；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)f(x)minf(a)a12a5，解得a4.答案6或47若關(guān)于x的不等式|a|x1|x2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)|x1|x2|f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即a3或a3.答案(，33，)8已知關(guān)于x的不等式|xa|1x>0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析若x1<0，則aR；若x10，則(xa)2>(x

18、1)2對(duì)任意的x1，)恒成立，即(a1)(a1)2x>0對(duì)任意的x1，)恒成立，所以(舍去)或?qū)θ我獾膞1，恒成立，解得a<1.綜上，a<1.答案(，1)9設(shè)a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc9，則的最小值為_解析(abc)()2()2()2218，2，的最小值為2.答案210(2014·陜西卷)設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則 的最小值為_解析由柯西不等式，得(a2b2)(m2n2)(ambn)2，即5(m2n2)25，m2n25，當(dāng)且僅當(dāng)anbm時(shí)，等號(hào)成立的最小值為.答案11對(duì)任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值為_解析|x1|x|y1|y

19、1|(|1x|x|)(|1y|1y|)|(1x)x|(1y)(1y)|123，當(dāng)且僅當(dāng)(1x)·x0，(1y)·(1y)0，即0x1，1y1時(shí)等號(hào)成立，|x1|x|y1|y1|的最小值為3.答案312若不等式|x1|x4|a，對(duì)任意的xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析只要函數(shù)f(x)|x1|x4|的最小值不小于a即可由于|x1|x4|(x1)(x4)|5，所以5|x1|x4|5，故只要5a即可當(dāng)a>0時(shí)，將不等式5a整理，得a25a40，無解；當(dāng)a<0時(shí)，將不等式5a整理，得a25a40，則有a4或1a<0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，41,0)答

20、案(，41,0)二、解答題13已知不等式2|x3|x4|<2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式即為2|x3|x4|<2，若x4，則3x10<2，x<4，舍去；若3<x<4，則x2<2，3<x<4；若x3，則103x<2，<x3.綜上，不等式的解集為.(2)設(shè)f(x)2|x3|x4|，則f(x)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示由圖象可知，f(x)1，2a>1，a>，即a的取值范圍為.14(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x4>0，無解；當(dāng)1&