第五章 融合小波變換和多重分形

1、第五章 融合小波變換和多重分形 的邊緣檢測方法 越來越多的研究結(jié)果使人驚異的意識到，分形理論與小波變換之間有著十分密切的聯(lián)系。有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱的小波理論就為具有“無窮精細(xì)結(jié)構(gòu)”的分形對象的研究提供了一個絕好的工具。小波函數(shù)構(gòu)造中的整體正則性和局部正則性，象分形一樣，可用維數(shù)和Holder指數(shù)度量，運(yùn)用Mallat算法，可使迭代收斂于分形函數(shù)。小波變換與分形在尺度性能上表示出類似性，因而小波變換是分析、刻畫分形現(xiàn)象（特別是多重分形）的有利工具。本章的主要工作在于研究了小波變換與多重分形之間在圖象邊緣檢測中的聯(lián)系?；谛〔ㄗ儞Q和多重分形理論，建立起求多重分形的廣義維數(shù)、廣義維數(shù)譜的一種新方法，

2、并利用廣義維數(shù)、廣義維數(shù)譜對邊緣分別進(jìn)行粗檢測、細(xì)檢測。5.1 邊緣奇異性分析 由于小波變換具有在時域和頻域同時局部化的特性，這使它成為分析突變信號的有效工具。信號的奇異性可用指數(shù)來描述。定義5.1 設(shè) ，若在點(diǎn)的任一開鄰域內(nèi)恒有其中是常數(shù)，則稱 在處是 的。的上界稱為在點(diǎn)處的指數(shù)。類似地，設(shè)， 如果存在， 使得對任意 ，有其中為常數(shù)，則稱 在點(diǎn) 處是 的， 的上界稱為在點(diǎn)處的指數(shù)。如果函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)但有界，這時表示信號在該點(diǎn)處具有階躍邊緣。則其指數(shù)為。一般地，指數(shù)越大函數(shù)越光滑，反之表示函數(shù)在該點(diǎn)處變化越劇烈，它的奇異性越大。如果小波函數(shù)滿足一定的正則性，則對任意， 在點(diǎn)處是的充要條件是

3、對任意尺度，有29 (5.1)其中是常數(shù)。由此可知，當(dāng)指數(shù)為正時，小波變換系數(shù)模隨尺度的增大而增大。相反地，當(dāng)指數(shù)為負(fù)時，小波變換系數(shù)模隨尺度的增大而減少。白噪聲具有負(fù)的指數(shù)，因此白噪聲具有比階躍邊緣更大的奇異性。(5.1) 式可化為 (5.2) (5.2) 式等價于求下列極小值 (5.3)n為分解的最大層數(shù)，由(5.3)式即可求出Hlder指數(shù)。從此式也可看出小波變換值包含了多尺度邊緣奇異性信息。5.2 基于小波變換的多重分形廣義維數(shù)及其譜的計(jì)算 多重分形譜僅能提供分形標(biāo)度的統(tǒng)計(jì)信息，卻不能完整的刻畫分形的局域性質(zhì)和動力學(xué)特征。而小波理論則是揭示分形局域標(biāo)度性質(zhì)的有利工具。通過小波變換可以看

4、到分形的豐富細(xì)節(jié)，為此我們把小波變換引入多重分形理論中，定義一個基于小波變換的分割函數(shù)如下： (5.4)其中. 對于S有如下的三種情況： （1）基于連續(xù)小波變換的空間采樣 (5.5)(2) 基于離散小波變換的空間采樣 (5.6) 其中 0i N-1 m=1,2 (3)基于小波變換模最大值（WTMM）的空間采樣 (5.7)的取值同（5.5） 對于以上定義的，有 (5.8) 稱為質(zhì)量指數(shù)，它與廣義維數(shù)的關(guān)系為 (5.9) 為了下面的說明起見，在定義(2.4)中我們將小波變換再記為。文獻(xiàn)31中指出若在定義（2.4）中以1 0 1 否則 0；來代替小波，我們就可得到經(jīng)典“盒計(jì)維”的定義：而且如果測度是

5、奇異的 那么在上式中選擇尺度函數(shù)還是小波函數(shù)并不影響計(jì)算的值。在（5.4）中，小波起著廣義盒子的作用。尺度a定義了盒子的尺寸。進(jìn)一步通過 Legendre 變換得到廣義維數(shù)譜 (5.10)5.3 算法的實(shí)現(xiàn)及其在植物圖象中的應(yīng)用 算法的實(shí)現(xiàn)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 算法1.利用多重分形維數(shù)譜進(jìn)行邊緣檢測.檢測結(jié)果如圖(c). (1) 對原圖象進(jìn)行小波變換，并計(jì)算每點(diǎn)的小波變換模值。 (2) 根據(jù)式(5.3)求出每點(diǎn)的指數(shù)。(3) 利用式(5.6)、（5.8）求出進(jìn)而由（5.9）得到D。(4) 由式（5.10）求出每點(diǎn)的維數(shù)譜。(5) 給設(shè)置一定的閾值得到所檢測的邊緣。 算法2.利用多重分形維數(shù)D 進(jìn)行邊

6、緣檢測.檢測結(jié)果如圖（d）(1) 同算法1的（1）。(2) 根據(jù)式（5.4）及（5.6）計(jì)算每一點(diǎn)3*3鄰域內(nèi)的。 (3) 根據(jù)式（5.9）求出每一點(diǎn)的值。(4) 對設(shè)置一定的閾值，即可檢測出邊緣。我們把此算法運(yùn)用于植物中的葉子圖象，原圖為圖1中的兩幅圖。其中圖(b)是我們?yōu)榱蓑?yàn)證本算法對噪聲的敏感程度而在(a)中加入方差為30的高斯白噪聲。對圖1中的(a)分別采用分形方法、多重分形方法、小波變換的多尺度方法的結(jié)果見第四章。(c)與(d)分別是本節(jié)算法1、算法2對圖(a)實(shí)現(xiàn)的結(jié)果。對已加噪圖(b)，所采用的分形方法實(shí)現(xiàn)效果見圖（e）;多重分形方法見圖（f）、(g)、(h);小波變換的多尺度方

7、法見圖(i);本節(jié)算法見圖(j)、(k)、(l),其中圖(j)是先用Gauss濾波器進(jìn)行光滑，然后用算法1實(shí)現(xiàn)的效果。圖（k）是算法2的結(jié)果，圖(l)是算法1的結(jié)果（a） 未加噪聲的leaf 原圖 （b） 對圖(a)加方差為30的白噪聲圖 圖1 原圖（c）小波與多重分形法0.5f(a)2d) 小波與多重分形方法 -0.27GD-3.5（f）多重分形譜2f(a)-0.15(g) 多重分形Holder指數(shù)(0.5a2.5)(h) 多重分形維數(shù)-0.15GD0.4(i) 小波變換的多尺度法 （j） 0.1f(a)2(k) 0.027GD0.25(l) 0.2f(a)2 圖 3 通過實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)在本

8、算法中采用式（5.6）比采用式（5.7）效果好。所采用的小波是正交小波Harr小波，小波分解的尺度為J=1到6，多重分形的維數(shù)計(jì)算中取q=4.小波變換的多尺度方法中，取分解尺度為2時的邊緣圖。我們把本算法同前一章的各個算法的實(shí)現(xiàn)效果進(jìn)行對比。可以看出這兩個算法是最好的。它們有如下的優(yōu)點(diǎn)：（1）具有很強(qiáng)的抗噪性。這不僅從圖(c)與圖(d)中，也可從加噪后的實(shí)現(xiàn)圖(k)與 (l)中看出。（2）所檢測的邊緣細(xì)節(jié)豐富。（3）幾乎沒有誤檢或漏檢現(xiàn)象。如原圖中的陰影部分就沒有被檢測出來，而陰影部分在目標(biāo)識別中是不需要的。（4）邊緣定位準(zhǔn)。如圖(c)中的邊緣較細(xì)，有利于準(zhǔn)確定位邊緣。（5）我們可根據(jù)不同的需

9、要選擇這兩種算法之一，如要檢測較細(xì)的邊緣進(jìn)行圖象識別，我們可選擇算法1，而如要檢測較粗的邊緣進(jìn)行圖象壓縮，則可選擇算法2。且對加噪圖象，若想得到更光滑的邊緣，則可先對圖象用高斯濾波器進(jìn)行光滑，然后再用算法1實(shí)現(xiàn)。在這幾種方法中，分形方法具有最弱的抗噪性，引入的噪聲最多，而且檢測的邊緣最粗。事實(shí)上我們應(yīng)當(dāng)看到單一的分形維數(shù)是從圖象的整體來揭示圖象的本質(zhì)而忽略了圖象的局域特征，因此對于不同的圖象其分形維數(shù)可能很接近甚至完全相同，這就會導(dǎo)致在邊緣檢測中出現(xiàn)漏檢現(xiàn)象或易把一些非邊緣點(diǎn)當(dāng)作邊緣點(diǎn)檢測出來。而且，分形布朗運(yùn)動模型并不能完全刻畫真實(shí)的自然界的表面。它的一個限制是各向同性，這對于真正的紋理而言

10、太理想化；另一個限制是這個模型僅依賴于唯一的參數(shù)H，這就降低了模型的靈活性。 顯然只用一個描述全局特征的分形維數(shù)不足以將復(fù)雜繁多的各種分形結(jié)構(gòu)區(qū)分開來。多重分形方法考慮了圖象的局域行為及分形體在其形成過程中不同層次的特征，因而可以從圖象的局部出發(fā)來研究其最終的整體特征，更加全面有效地對分形結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，從而用此方法來進(jìn)行邊緣檢測的效果要好于分形方法。但它對加噪后的圖象檢測，未能抑制更多的噪聲。從對原圖及加噪圖的檢測結(jié)果中還可看出，小波變換的多尺度法對噪聲的敏感性較小，它同時能檢測出邊緣的豐富細(xì)節(jié)，只是在大尺度上邊緣會發(fā)生偏離。而我們的兩個算法，由于是融合小波和多重分形的方法，因而它們的檢測結(jié)果里所當(dāng)然是這些方法中最好的。 我們知道，邊緣檢測可應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺、圖象壓縮、圖象識別等領(lǐng)域中，為此，我們把上面的算法1檢測出來的邊緣應(yīng)用于植物圖象的識別中，由于時間關(guān)系，這里僅概要地寫出該算法在植物圖象識別應(yīng)用中的大致思路。. 將圖象進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。即選定同一類圖象中的某一個為標(biāo)準(zhǔn)圖象，其它圖象則通過如平移、旋轉(zhuǎn)、比例變換變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)圖象。標(biāo)準(zhǔn)化的目的便于特征提取。. 特征提取。這里我們主要提取它的如下一些幾何特征。1). 周長 所檢測到的邊緣長度?？捎孟噜弮蛇吘壪笏刂g的距離之和表示。2). 面積 可用邊緣所圍成的區(qū)域中包含的象素個數(shù)來表示。3).