高中排列組合經(jīng)典例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上運(yùn)用兩個(gè)基本原理 例1n個(gè)人參加某項(xiàng)資格考試，能否通過，有多少種可能的結(jié)果？ 例2同室四人各寫了一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（ ） （A）6種 （B）9種 （C）11種 （D）23種 解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們?cè)谧プ栴}的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí)，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對(duì)于

2、特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1 用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。A 24個(gè) B.30個(gè) C.40個(gè) D.60個(gè)30。例2 (1995年上海) 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法（ ）種72例3（2000年全國(guó)）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排共有（ ）種.A33· A72252例4從0，1，9這10個(gè)數(shù)字中選取數(shù)字組成偶數(shù)，一共可以得到不含相同數(shù)字

3、的五位偶數(shù)多少個(gè)？ 例58人站成兩排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的邊上，一共有多少種排法？特殊優(yōu)先，一般在后 對(duì)于問題中的特殊元素、特殊位置要優(yōu)先安排。在操作時(shí)，針對(duì)實(shí)際問題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。練習(xí)1 （89年全國(guó)）由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有 個(gè)（用數(shù)字作答）。36三合理分類與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。四相鄰問題用捆綁法：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一

4、“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法例7有8本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3本，外語書2本，其它學(xué)科書3本若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種(結(jié)果用數(shù)值表示)A55 A33 A22=1440(種).例87名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個(gè)元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個(gè)元素與其他五人進(jìn)行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有 種。例98人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，有多少種排法？例10  5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種

5、排法？練習(xí)3  四對(duì)兄妹站一排，每對(duì)兄妹都相鄰的站法有多少種？答案：A44·24=384五不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法例11用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè)(用數(shù)字作答)例12 7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為： 種 .例13排一張

6、有8個(gè)節(jié)目的演出表，其中有3個(gè)小品，既不能排在第一個(gè)，也不能有兩個(gè)小品排在一起，有幾種排法？例14  5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？練習(xí)4  4男4女站成一行，男女相間的站法有多少種？答案：2A44·A44例15 馬路上有編號(hào)為1、2、3、9的9盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)兩端的路燈，則滿足要求的關(guān)燈方法有幾種？練習(xí)5  從1、2、10這十個(gè)數(shù)中任選三個(gè)互不相鄰的自然數(shù)，有幾種不同的取法？答案：C83。六順序固定用“除法”：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題，可先把這

7、幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例166個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？例174個(gè)男生和3個(gè)女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。A74 種排法元素定序，先排后除或選位不排或先定后插對(duì)于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對(duì)其它元素進(jìn)行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例18 5人參加百米跑，若無同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的情況，則甲比乙先到有幾種情況？練習(xí)6  要編制一張演出節(jié)

8、目單，6個(gè)舞蹈節(jié)目已排定順序，要插入5個(gè)歌唱節(jié)目，則共有幾種插入方法？七分排問題用“直排法”：把幾個(gè)元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。例197個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？A77八逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。例20. 將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）A6 B.9 C.11 D.23B九、構(gòu)造模型 “隔板法”對(duì)于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來解決問題。例21方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解

9、？例10把10本相同的書發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請(qǐng)用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？15 例2220個(gè)相同的球分給3個(gè)人，允許有人可以不取，但必須分完，有多少種分法？ 相同元素進(jìn)盒，用檔板分隔例2310張參觀公園的門票分給5個(gè)班，每班至少1張，有幾種選法？C94注：檔板分隔模型專門用來解答同種元素的分配問題。練習(xí)9  從全校10個(gè)班中選12人組成排球隊(duì)，每班至少一人，有多少種選法？C119十.正難則反排除法對(duì)于含“至多”或“至少”的排列組合問題，若直接解答多需進(jìn)行復(fù)雜討論，可以考慮“總體

10、去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計(jì)算出符合條件的排列組合數(shù)的方法例24從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有( )種 A140種 B80種 C70種 D35種C注：這種方法適用于反面的情況明確且易于計(jì)算的習(xí)題例25求以一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)。個(gè)。 例26100件產(chǎn)品中有3件是次品，其余都是正品?，F(xiàn)在從中取出5件產(chǎn)品，其中含有次品，有多少種取法？種。 例278個(gè)人站成一排，其中A與B、A與C都不能站在一起，一共有多少種排法？+=21600種排法。十二一一對(duì)應(yīng)法：例29. 在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即

11、一場(chǎng)失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍，要比賽幾場(chǎng)？99場(chǎng)。十三、多元問題分類討論法對(duì)于元素多，選取情況多，可按要求進(jìn)行分類討論，最后總計(jì)。例30（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A ）A42 B30 C20 D12A。例31（2003年全國(guó)高考試題）如圖， 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）72. 多類元素組合，分類取出例32 車間有11名工人，其中4名車工，5名鉗工，AB二人能兼做車鉗

12、工。今需調(diào)4名車工和4名鉗工完成某一任務(wù)，問有多少種不同調(diào)法？十四、混合問題先選后排法對(duì)于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進(jìn)行排列的策略例33（2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（ ） A 種 B 種 C 種 D 種例34（2003年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有 （ ）A24種 B18種 C12種 D6種 排列與組合 配合練習(xí)一.填空題:(用直接填空法解下列排列組合問題)1.7個(gè)人并排站成一排 (1)如果甲必須站在中

13、間,有_種排法. (2)如果甲、乙兩人必須站在兩端,有_種排法.2.用0,1,2,3,4,5,可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_個(gè). 用集團(tuán)法-若千元素要相鄰時(shí),或要按順序3.四男三女排成一排,(1)三個(gè)女的要相鄰,有_種排法; (2)女同學(xué)必須按從高到矮的順序(可不相鄰)有_種. 用插空位的方法-若千元素互不相鄰時(shí).4.四男三女排成一排,(1)女同學(xué)互不相鄰,有_種排法. (2)男同學(xué)互不相鄰,女同學(xué)也互不相鄰,有_種排法.用間接法.5.8人排成一排,其中甲、乙兩人不排在一起,有_種排法.6.平面內(nèi)有8個(gè)點(diǎn),其中有4個(gè)點(diǎn)共線,另外還有三點(diǎn)共線,此外再無三點(diǎn)共線. 則(1)過這8個(gè)點(diǎn)中的任何兩點(diǎn)

14、可和_條直線.(2)由這8 個(gè)點(diǎn)可以組成 _個(gè)不同的三角形.分組分配問題:7.18名同學(xué),(1)平均分成三組,有_種分法.(2)平均分給數(shù)、理、 化小 組有_種分法.(3)分配給化學(xué)小組7人,物理小組6人,數(shù)學(xué)小組5人,有 _種分法.(4)分給數(shù)、理、化小組,其中一個(gè)組為5人,一個(gè)組為6人, 一 個(gè)組為7人,有_種分法.二.填空題(用多種方法解)1.某班上午要上語文、數(shù)學(xué)、體育和英語,又體育教師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié), 則不同的排課方案有_種.2.從5位女同學(xué),6位男同學(xué)中選出3位女同學(xué)和2位男同學(xué)擔(dān)任五種不同的職務(wù), 有_種選法.3.從甲、乙,.,等6人中選出4名代表,那么 (1)甲一定當(dāng)

15、選,共有_種選法.(2)甲一定不入選,共有_種選法. (3)甲、乙二人至少有一人當(dāng)選,共有_種選法.4.將5本不同的數(shù)學(xué)書,4本不同的物理,3本不同的化學(xué)書排成一排, (1)各類書必須排成一起,問有_種排法. (2)化學(xué)書不全排在一起,問有_種排法. (3)化學(xué)書每?jī)杀径疾幌噜?問有_種排法.5.有男女售票員各4人,被分配在四輛公共汽車上,要求每輛車上男、女各1人,則有 _種分法.6.四個(gè)男孩和三個(gè)女孩站成一列,男孩甲前面至少有一個(gè)女孩站著,并且站在這個(gè)男 孩前面的女孩個(gè)數(shù)必少于站在他后面的男孩的個(gè)數(shù),則有_ 種站法.配合練習(xí)解答一.填空題:1. (1). P66=720 (2). P22P55=240 2. 156個(gè) 3. (1) 720 (2) 8404. (1) P44P35=1440 (2) 144 5. P88-P77P22=30240 6. (1