復(fù)變函數(shù)與積分變換重修輔導(dǎo)講義

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換重修輔導(dǎo)講義（一）內(nèi)容提要：1復(fù)數(shù)的實(shí)部，虛部；與復(fù)平面上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。（畫(huà)圖）2復(fù)數(shù)的模，輻角，輻角主值。3復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算。（特別是開(kāi)方運(yùn)算）4復(fù)函數(shù)的概念；初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)；歐拉公式。5復(fù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。6解析函數(shù)C-R方程練習(xí)題：1復(fù)數(shù)的輻角主值為 ；答案: 2復(fù)數(shù)的輻角主值為 ；答案: 3復(fù)數(shù)的輻角主值為 ；答案: 4復(fù)數(shù)的輻角主值為 ；答案: 5設(shè),則等于 ；等于 ；答案:0；6設(shè),則等于 ；等于 ；答案:0；7設(shè),則等于 ；等于 ；答案: ；8設(shè),則等于 ；等于 ；答案: ；9復(fù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為_(kāi)；答案: 10復(fù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為_(kāi)；答案: 11復(fù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為

2、_；答案: 12復(fù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為_(kāi)；答案: 13. 求方程的所有根.解：, 從而 故方程的所有根為 14. 求方程的所有根.解： 從而 故方程的所有根15. 求的值.解： 16. 求的值.解： 17設(shè)為解析函數(shù),試確定的值.解：由C-R方程知：， 且 即 且 故 復(fù)變函數(shù)與積分變換重修輔導(dǎo)講義（二）內(nèi)容提要：1復(fù)函數(shù)的積分。（用柯西積分公式或高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算復(fù)積分）2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的極限。3冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。4冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。5判斷級(jí)數(shù)的收斂性。6將函數(shù)展成洛朗級(jí)數(shù).練習(xí)題：1復(fù)積分_；答案: 0.2復(fù)積分_；答案: 0.3復(fù)積分_；答案: 4復(fù)積分_；答案: 5復(fù)積分 ；答案: 0.6復(fù)積分 ；答

3、案: 7復(fù)積分 ；答案: 8復(fù)積分 ；答案: 0.9復(fù)積分 ；答案: 0.10用柯西積分公式或高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算下列復(fù)積分（取正向）（1） 解：由柯西積分公式知： （2） 解：由柯西積分公式知： （3）解：由高階導(dǎo)數(shù)公式，有 （4） 解：由柯西積分公式知： （5）解：由高階導(dǎo)數(shù)公式，有 11復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的極限為_(kāi)；答案: 12復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的極限為_(kāi)；答案: 0.13. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)；答案: 1.14. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)；答案: 15判斷級(jí)數(shù)的收斂性，并說(shuō)明理由.解：由于級(jí)數(shù)為公比絕對(duì)值小于1的等比級(jí)數(shù)，收斂；從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 16判斷級(jí)數(shù)的收斂性，并說(shuō)明理由.解：由于級(jí)數(shù)為公比絕對(duì)值小于

4、1的等比級(jí)數(shù)，收斂； 從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 17判斷級(jí)數(shù)的收斂性，并說(shuō)明理由.解：由于通項(xiàng)的極限，是發(fā)散的； 從而原級(jí)數(shù)發(fā)散. 18. 將函數(shù)在內(nèi)展成的洛朗級(jí)數(shù).解：函數(shù)在內(nèi)是處處解析的，且在復(fù)平面內(nèi)的展開(kāi)式為：而在是解析的， 從而 19. 將函數(shù)在內(nèi)展成的洛朗級(jí)數(shù).解：函數(shù)在內(nèi)是處處解析的，且e在復(fù)平面內(nèi)的展開(kāi)式為：而在是解析的， 從而20. 將函數(shù)在內(nèi)展成的洛朗級(jí)數(shù).解： 復(fù)變函數(shù)與積分變換重修輔導(dǎo)講義（三）內(nèi)容提要：1復(fù)函數(shù)的孤立奇點(diǎn)類型。2復(fù)函數(shù)的留數(shù)。3用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分。若為的孤立奇點(diǎn)，則在處洛朗展式為如果在處的洛朗展式中不含負(fù)冪項(xiàng)，則稱為其可去奇點(diǎn)。如果在處的洛朗展式中含有有限

5、個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，最低項(xiàng)，則稱為其m級(jí)極點(diǎn)。如果在處的洛朗展式中含有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則稱為其本性奇點(diǎn)。除了用定義，還可以利用零點(diǎn)和極點(diǎn)之間的關(guān)系來(lái)來(lái)判別極點(diǎn)。（書(shū)P73 定理1.4 ：是的m級(jí)極點(diǎn)是的m級(jí)零點(diǎn)。）零點(diǎn)的判別方法：零點(diǎn)定義： 是的m級(jí)零點(diǎn)在解析且定理1.3 ：是的m級(jí)零點(diǎn) ; 留數(shù)定義：在處留數(shù)記作，這里表示在處的洛朗展式中的系數(shù)。留數(shù)定理：若在正向簡(jiǎn)單閉曲線C內(nèi)僅有n個(gè)孤立奇點(diǎn)，則用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分的步驟：1.找出C內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)，2.分別求出3.代公式關(guān)鍵步驟為2除了用定義計(jì)算留數(shù)外，還有更簡(jiǎn)便的方法：準(zhǔn)則、準(zhǔn)則。準(zhǔn)則：如果為的一級(jí)極點(diǎn)，則準(zhǔn)則：如果為的二級(jí)極點(diǎn)，則練習(xí)題：1.

6、是函數(shù)的_；答案: 二級(jí)極點(diǎn).2. 是函數(shù)的_；答案: 本性奇點(diǎn).3. 是函數(shù)的_；答案: 一級(jí)極點(diǎn).4. 是函數(shù)的_；答案: 三級(jí)極點(diǎn).5. 函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)為_(kāi);答案: 1.6. 函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)為_(kāi);答案: 7. 函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)為_(kāi);答案: 1.8. 函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)為_(kāi);答案: 9. 函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)為_(kāi);答案: 1.10用留數(shù)定理計(jì)算下列復(fù)積分（取正向）（1） 解：是在內(nèi)唯一的二級(jí)極點(diǎn)， 故 （2） 解：是在內(nèi)所有的極點(diǎn)，且均為一級(jí)極點(diǎn)， = （3） 解：是在內(nèi)的一級(jí)極點(diǎn)，是在內(nèi)的二級(jí)極點(diǎn)； （4） 解：是在內(nèi)所有的極點(diǎn)，且均為一級(jí)極點(diǎn)，復(fù)變函數(shù)與積分變換重修輔導(dǎo)講義（四）內(nèi)容提要

7、：1傅立葉變換和Laplace變換的定義。2用定義計(jì)算傅立葉變換和Laplace變換。3用傅立葉變換的基本性質(zhì)求解微積分方程。4查傅立葉變換和Laplace變換表。定義：稱為函數(shù)的傅立葉變換。記作相應(yīng)地，稱為函數(shù)的傅立葉逆變換。記作微分性質(zhì) 積分性質(zhì)定義：設(shè)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，如果對(duì)于復(fù)參數(shù)，積分收斂，則稱為函數(shù)的Laplace變換。記作相應(yīng)地，稱為函數(shù)的Laplace逆變換。記作練習(xí)題： 1求指數(shù)衰減函數(shù)的傅立葉變換及其積分表達(dá)式，其中.解：(1)的傅立葉變換為 （2）的積分表達(dá)式為 2用傅立葉變換求解微積分方程： (其中為常數(shù),為已知函數(shù)，且的Fourier變換均存在).解：令 兩邊取傅氏變換得： 解得