2012年高考真題匯編——理科數(shù)學(xué)（解析版）10：圓錐曲線

1、2012高考真題分類匯編：圓錐曲線一、選擇題1.【2012高考真題浙江理8】如圖，F(xiàn)1,F2分別是雙曲線C：（a,b0）的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交與點(diǎn)M，若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是A. B。 C. D. 【答案】B【解析】由題意知直線的方程為：，聯(lián)立方程組得點(diǎn)Q，聯(lián)立方程組得點(diǎn)P，所以PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以PQ的垂直平分線方程為：，令，得，所以，所以，即，所以。故選B2.【2012高考真題新課標(biāo)理8】等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長為（ ） 【答案】C【解析】設(shè)

2、等軸雙曲線方程為，拋物線的準(zhǔn)線為，由,則,把坐標(biāo)代入雙曲線方程得，所以雙曲線方程為，即，所以，所以實(shí)軸長，選C.3.【2012高考真題新課標(biāo)理4】設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ） 【答案】C【解析】因?yàn)槭堑捉菫榈牡妊切?，則有,，因?yàn)?，所?，所以，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，選C.4.【2012高考真題四川理8】已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】B【解析】設(shè)拋物線方程為，則點(diǎn)焦點(diǎn)，點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為， ， 解得，所以.5.【2012高考真題山東理1

3、0】已知橢圓的離心學(xué)率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，即，雙曲線的漸近線為，代入橢圓得，即，所以，則第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為，所以，所以橢圓方程為，選D.6.【2012高考真題湖南理5】已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【答案】A【解析】設(shè)雙曲線C ：-=1的半焦距為，則.又C 的漸近線為，點(diǎn)P （2,1）在C 的漸近線上，即.又，C的方程為-=1.

4、【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本運(yùn)算能力，是近年來?？碱}型.7.【2012高考真題福建理8】已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于A. B. C.3 D.5【答案】 【解析】由拋物線方程易知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，所以，從而可得漸進(jìn)線方程為，即，所以，故選8.【2012高考真題安徽理9】過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)是原點(diǎn)，若，則的面積為（ ） 【答案】C【命題立意】本題考查等直線與拋物線相交問題的運(yùn)算?！窘馕觥吭O(shè)及；則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得： 又，的面積為。9.【20

5、12高考真題全國卷理3】 橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為4 一條準(zhǔn)線為x=-4 ，則該橢圓的方程為A +=1 B +=1C +=1 D +=1【答案】C【解析】橢圓的焦距為4，所以因?yàn)闇?zhǔn)線為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以橢圓的方程為，選C.10.【2012高考真題全國卷理8】已知F1、F2為雙曲線C：x-y=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|=|2PF2|，則cosF1PF2=(A) （B） (C) (D)【答案】C【解析】雙曲線的方程為，所以，因?yàn)閨PF1|=|2PF2|，所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根據(jù)余弦定理

6、得,選C.11.【2012高考真題北京理12】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線=4x的焦點(diǎn)F.且與該撇物線相交于A、B兩點(diǎn).其中點(diǎn)A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60.則OAF的面積為 【答案】【解析】由可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0)，因?yàn)閮A斜角為，所以直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式，直線方程為，將直線和曲線聯(lián)立，因此二、填空題12.【2012高考真題湖北理14】如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為. 則（）雙曲線的離心率 ；（）菱形的面積與矩形的面積的比值 .【答案】 【解析】（）由于以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，因此點(diǎn)到直線的距離為，又由于虛軸兩端點(diǎn)

7、為，因此的長為，那么在中，由三角形的面積公式知，又由雙曲線中存在關(guān)系聯(lián)立可得出，根據(jù)解出（）設(shè),很顯然知道,因此.在中求得故；菱形的面積，再根據(jù)第一問中求得的值可以解出.13.【2012高考真題四川理15】橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)、，當(dāng)?shù)闹荛L最大時(shí)，的面積是_?！敬鸢浮?【命題立意】本題主要考查橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、，考查推理論證能力、基本運(yùn)算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想，難度適中.【解析】當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí)的周長最大，；將帶入解得；所以.14.【2012高考真題陜西理13】右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米.

8、【答案】.【解析】設(shè)水面與橋的一個(gè)交點(diǎn)為A，如圖建立直角坐標(biāo)系則，A的坐標(biāo)為（2，-2）.設(shè)拋物線方程為，帶入點(diǎn)A得，設(shè)水位下降1米后水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以水面寬度為.15.【2012高考真題重慶理14】過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則= . 【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為的，則，設(shè)，則，所以有，解得或，所以.16.【2012高考真題遼寧理15】已知P，Q為拋物線上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_。【答案】4【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，代人拋物線方程得P，Q的縱坐

9、標(biāo)分別為8,2.由所以過點(diǎn)P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2，所以過點(diǎn)P，Q的拋物線的切線方程分別為聯(lián)立方程組解得故點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點(diǎn)的求法，屬于中檔題。曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，從而把點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起，這是寫出切線方程的關(guān)鍵。17.【2012高考真題江西理13】橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2。若，成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.【答案】【命題立意】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)和運(yùn)算以及橢圓的離心率。【解析】橢圓的頂點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，,又因?yàn)?，成等比?shù)列，

10、所以有，即，所以，離心率為.18.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 【答案】2?！究键c(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)?！窘馕觥坑傻?。 ，即，解得。三、解答題19.【2012高考江蘇19】（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【答案】解：（1）由題設(shè)知，由點(diǎn)在橢圓上，得，。由點(diǎn)在橢圓上，得橢圓的方程為。（2）由（1）得，又， 設(shè)、的方程分別為，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=

11、2。 注意到，。 直線的斜率為。 （ii）證明：，即。 。 由點(diǎn)在橢圓上知，。 同理。 由得， 。 是定值。 20.【2012高考真題浙江理21】(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分()求橢圓C的方程；() 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。【答案】()由題：； (1)左焦點(diǎn)(c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為： (2)由(1) (2)可解得：所求橢圓C的方程為：()易得直線

12、OP的方程：yx，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在橢圓上，設(shè)直線AB的方程為l：y(m0)，代入橢圓：顯然m且m0由上又有：m，|AB|點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離表示為：SABPd|AB|m2|，當(dāng)|m2|，即m3 或m0(舍去)時(shí)，(SABP)max此時(shí)直線l的方程y21.【2012高考真題遼寧理20】(本小題滿分12分) 如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動(dòng)圓，。點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C，D四點(diǎn)。 ()求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程; ()設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn)，其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的

13、性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線方程求解、直線與橢圓的關(guān)系和交軌法在求解軌跡方程組的運(yùn)用。本題考查綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大。在求解點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，要注意首先寫出直線和直線的方程，然后求解。屬于中檔題，難度適中。22.【2012高考真題湖北理】（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)； （）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn). 是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；

14、若不存在，請(qǐng)說明理由. 【答案】（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，. （）解法1：如圖2、3，設(shè)，則，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，于是由韋達(dá)定理可得，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.于是，. 而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有. 圖2 圖3 圖1O D xyAM第21題解答圖 解法2：如圖2、3，設(shè)，則，因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得. 依

15、題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三點(diǎn)共線，所以，即. 于是由式可得.而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有. 23.【2012高考真題北京理19】（本小題共14分）【答案】解：（1）原曲線方程可化簡得：由題意可得：，解得：（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：，解得：由韋達(dá)定理得：，設(shè)，方程為：，則，欲證三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡得：將代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證。24.【2012高考真題廣東理20】（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：的離心率e=，且橢圓C上的點(diǎn)到Q（0，2）的距離的

16、最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m,n）使得直線：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】本題是一道綜合性的題目，考查直線、圓與圓錐曲線的問題，涉及到最值與探索性問題，意在考查學(xué)生的綜合分析問題與運(yùn)算求解的能力。25.【2012高考真題重慶理20】（本小題滿分12分（）小問5分（）小問7分） 如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為，線段 的中點(diǎn)分別為，且 是面積為4的直角三角形.（）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過

17、做直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使，求直線的方程【答案】【命題立意】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算，直線的一般式方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題.26.【2012高考真題四川理21】(本小題滿分12分) 如圖，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。（）求軌跡的方程；（）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍?！敬鸢浮勘绢}主要考查軌跡方程的求法，圓錐曲線的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，邏輯推理能力，考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想 27.【2012高考真題新課標(biāo)理20】（本小題滿分12分）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于

18、兩點(diǎn)；（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；（2）若三點(diǎn)在同一直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值.【答案】（1）由對(duì)稱性知：是等腰直角，斜邊 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 圓的方程為 （2）由對(duì)稱性設(shè)，則 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得： 得：，直線 切點(diǎn) 直線坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為.28.【2012高考真題福建理19】如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率.過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長為8.（）求橢圓E的方程.（）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存

19、在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 29.【2012高考真題上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：（1）過的左頂點(diǎn)引的一條漸進(jìn)線的平行線，求該直線與另一條漸進(jìn)線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：；（3）設(shè)橢圓：，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：到直線的距離是定值.【答案】過點(diǎn)A與漸近線平行的直線方程為，,則到直線的距離為.設(shè)到直線的距離為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及其直線與雙曲線的關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的有關(guān)性質(zhì).特別要注意直線與雙曲線的關(guān)系問題，在雙曲線當(dāng)中，最特殊的為等軸雙曲線，它的離心率為，它的漸近線為，并且相互垂直，這些性質(zhì)的運(yùn)用可以大大節(jié)省解題時(shí)間，本題屬于中檔題 30.【2012高考真題陜西理19】本小題滿分12分）已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，求直線的方程。 【答案】 31.【2012高考真題山東理21】（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（）求拋物線的方