小學(xué)奧數(shù)所有題型

1、 小升初奧數(shù)專題講座（共二十四講）第一講 行程問(wèn)題- 1 -1.1 追及與相遇- 1 -1.2 環(huán)形路上的行程問(wèn)題- 7 -1.3 稍復(fù)雜的問(wèn)題- 12 -1.4 流水行程- 17 -第二講 和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題- 19 -2.1 和差問(wèn)題- 19 -2.2 倍數(shù)問(wèn)題- 22 -2.3 盈不足問(wèn)題- 26 -第三講 數(shù)論的方法技巧之一- 30 -3.1 利用整數(shù)的各種表示法- 31 -3.2 枚舉法- 33 -3.3 歸納法- 35 -第四講 數(shù)論的方法技巧之二- 38 -4.1 反證法- 38 -4.2 構(gòu)造法- 39 -4.3 配對(duì)法- 40 -4.4 估計(jì)法- 42 -第五講整數(shù)問(wèn)題之一

2、- 44 -5.1 整除- 44 -5.2 分解質(zhì)因數(shù)- 49 -5.3 余數(shù)- 54 -第六講圖形面積- 61 -6.1 三角形的面積- 61 -6.2 有關(guān)正方形的問(wèn)題- 65 -6.3 其他的面積- 69 -6.4 幾種常見(jiàn)模型- 72 -第七講工程問(wèn)題- 75 -7.1 兩個(gè)人的問(wèn)題- 76 -7.2 多人的工程問(wèn)題- 80 -7.3 水管問(wèn)題- 84 -第八講比和比例關(guān)系- 90 -8.1 比和比的分配- 90 -8.2 比的變化- 96 -8.3 比例的其他問(wèn)題- 100 -第九講經(jīng)濟(jì)問(wèn)題- 107 -第十講溶液?jiǎn)栴}- 112 -第十一講簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算- 117 -

3、11.1 四種常見(jiàn)幾何體的平面展開(kāi)圖- 117 -11.2 四種常見(jiàn)幾何體表面積與體積公式- 118 -11.3 例題選講- 119 -第十二講循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)- 126 -12.1 純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)- 126 -12.2 混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)- 127 -12.3 循環(huán)小數(shù)的四則運(yùn)算- 128 -第十三講估計(jì)與估算- 130 -第十四講列方程解應(yīng)用題- 137 -14.1 列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題- 137 -14.2 引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題- 141 -14.3 列不定方程解應(yīng)用題- 143 -第十五講巧算技巧- 146 -第十六講雞兔同籠與假設(shè)法- 148 -第十七講牛吃草問(wèn)題- 152 -第十八講

4、年齡問(wèn)題- 161 -第十九講剩余、余數(shù)定理- 166 -第二十講周期問(wèn)題- 171 -第二十講還原問(wèn)題- 189 -第二十一講盈虧問(wèn)題- 194 -第二十二講抽屜問(wèn)題- 212 -22.1 抽屜原理1- 212 -22.2 抽屜原理2- 215 -第二十三講 分?jǐn)?shù)拆分- 218 -23.1 拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位- 218 -23.2 拆成幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和- 220 -23.3 拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差- 221 -23.4 應(yīng)用- 224 -第二十四講 找次品、打電話- 229 -24.1找次品- 229 -24.2 打電話- 229 - 236 -第一講 行程問(wèn)題走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)

5、數(shù)量：距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等；速度在單位時(shí)間內(nèi)（例如1小時(shí)內(nèi)）行走或移動(dòng)的距離；時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來(lái)表示：距離=速度時(shí)間很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見(jiàn)的，例如總量=每個(gè)人的數(shù)量人數(shù).工作量=工作效率時(shí)間.因此，我們從行程問(wèn)題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問(wèn)題.當(dāng)然，行程問(wèn)題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問(wèn)題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是

6、一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問(wèn)題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米1.1 追及與相遇有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離= 甲的速度時(shí)間-乙的速度時(shí)間=（甲的速度-乙的速度）時(shí)間.通常，“追及問(wèn)題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車和

7、面包車同時(shí)從學(xué)校開(kāi)出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門(mén)，當(dāng)面包車到達(dá)城門(mén)時(shí)，小轎車已離城門(mén)9千米，問(wèn)學(xué)校到城門(mén)的距離是多少千米？解：先計(jì)算，從學(xué)校開(kāi)出，到面包車到達(dá)城門(mén)用了多少時(shí)間.此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此所用時(shí)間=961.5（小時(shí)）.小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門(mén)，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門(mén)9千米，說(shuō)明小轎車的速度是面包車速度是 54-648（千米/小時(shí)）.城門(mén)離學(xué)校的距離是481.572（千米）.答：學(xué)校到城門(mén)的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75

8、米.問(wèn)家到公園多遠(yuǎn)？解一：可以作為“追及問(wèn)題”處理.假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是50 10（75- 50） 20（分鐘）因此，小張走的距離是75 20 1500（米）.答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上；如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上.問(wèn)自行

9、車的速度是多少？解一：自行車1小時(shí)走了301-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是 答：自行車速度是20千米/小時(shí).解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離速度差1小時(shí)與40分鐘是32.所以兩者的速度差之比是23.請(qǐng)看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35- 15 20（千米/小時(shí)）.解二的想法與第二講中年齡問(wèn)題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，

10、這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？解：畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 1243（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8324（千米）.但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問(wèn)題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么甲走的距

11、離+乙走的距離=甲的速度時(shí)間+乙的速度時(shí)間=（甲的速度+乙的速度）時(shí)間.“相遇問(wèn)題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長(zhǎng)的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36123（倍），因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說(shuō)，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時(shí)間是36（31）9（分鐘）.答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.

12、兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫(huà)一張示意圖離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時(shí)多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是2（5-4）2（小時(shí)）.因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）218（千米）.本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少？”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎？對(duì)小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡(jiǎn)單地說(shuō)這是什么問(wèn)題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對(duì)題目中的條件好好想一想.千萬(wàn)不要“兩

13、人面對(duì)面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請(qǐng)?jiān)倏匆粋€(gè)例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫(huà)一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來(lái)都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是

14、解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12 16 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)（或E點(diǎn)）相遇所用時(shí)間是285 5.6（小時(shí)）.比C點(diǎn)相遇少用 6-5.60.4（小時(shí)）.甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是120.430（千米/小時(shí)）.同樣道理，乙的速度是160.440（千米/小時(shí)）.A到 B距離是（30 40）6 420（千米）.答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡(jiǎn)單地說(shuō)成是“相遇問(wèn)題”.例8 如圖，從A到B是1千米

15、下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).問(wèn)：（1）小張和小王分別從A， D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問(wèn)多少時(shí)間后他們相遇？（2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米？解：（1）小張從 A到 B需要 1660 10（分鐘）；小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5660 25（分鐘）；當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-1015（分鐘），走了因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1 2（千米）由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是2 （4

16、4）60 15（分鐘）.從出發(fā)到相遇的時(shí)間是25 15 40 （分鐘）.（2）相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1260=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1（千米）.答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1千米.1.2 環(huán)形路上的行程問(wèn)題人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長(zhǎng)有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長(zhǎng)為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分

17、？（2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來(lái)跑了一個(gè)周長(zhǎng)的行程.小張的速度是5001.25-180=220（米/分）.（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個(gè)周長(zhǎng)），因此需要的時(shí)間是500（220-180）12.5（分）.22012.55005.5（圈）.答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.

18、求這個(gè)圓的周長(zhǎng).解：第一次相遇，兩人合起來(lái)走了半個(gè)周長(zhǎng)；第二次相遇，兩個(gè)人合起來(lái)又走了一圈.從出發(fā)開(kāi)始算，兩個(gè)人合起來(lái)走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來(lái)所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是803240（米）.240-60=180（米）.1802360（米）.答：這個(gè)圓的周長(zhǎng)是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在

19、離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問(wèn)小張和小王的速度各是多少？解：畫(huà)示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是403602（小時(shí)）.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了62-210（千米）.小王已走了 62=8（千米）.因此，他們的速度分別是小張 1025（千米/小時(shí)），小王 82=4（千米/小時(shí)）.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問(wèn)他

20、們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？解：畫(huà)示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5310.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問(wèn)題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)

21、反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘；小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問(wèn)：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇？解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：121527比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了此時(shí)兩人相距24-（811）=5（千米）.由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是5（46）0.5（小時(shí)）.2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.例14 一個(gè)圓周長(zhǎng)90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3

22、只爬蟲(chóng)A，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針?lè)较蜓刂鴪A周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲(chóng)出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲(chóng)，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開(kāi)始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.30（5-3）15（秒）.因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90（5-3）45（秒）.B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，105，150，195，再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后30（10-5）=6（秒），以后再要到達(dá)同一位

23、置是A追上B一圈.需要90（10-5）18（秒），A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，78，96，對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲(chóng)到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲(chóng)出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請(qǐng)思考， 3只爬蟲(chóng)第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒？例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求解：兩車同時(shí)出發(fā)至

24、相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”，解題過(guò)程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.根據(jù)“走同樣距離，時(shí)間與速度成反比”，可得出分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時(shí)間分別是24，12，16，18.從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們?cè)贏B中點(diǎn)相遇.PDA與 PCB所用時(shí)間相等.PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間=DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間=18-12=6.而（PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間）是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得PC上所需時(shí)間是（24+6）215，PD上所需時(shí)間是24-159.現(xiàn)

25、在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，MPDAN與MCBN所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).PDAN與CBN時(shí)間相等，就有BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間=PDA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間=（918）-12= 15.BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間=16.立即可求BN上所需時(shí)間是15.5，AN所需時(shí)間是0.5.從這一例子可以看出，對(duì)要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單些.1.3 稍復(fù)雜的問(wèn)題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧：（1）在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn)；（2）靈活地運(yùn)用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去

26、.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問(wèn)：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間？解：畫(huà)一張示意圖：圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時(shí)間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是（5.4-4.8）千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離，需要的時(shí)間是1.3（5.4-4.8）60=130（分鐘）.這也是從出發(fā)到張、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度10.8千米/小時(shí)是小張速

27、度5.4千米/小時(shí)的2倍.因此小李從A到甲地需要1302=65（分鐘）.從乙地到甲地需要的時(shí)間是13065=195（分鐘）3小時(shí)15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時(shí)15分.上面的問(wèn)題有3個(gè)人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時(shí)要分幾個(gè)層次，弄清相互間的關(guān)系，問(wèn)題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，使我們的思考直觀簡(jiǎn)明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門(mén)口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門(mén)口沿馬路往西.小華問(wèn)姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門(mén)口步行向東去快”？姐姐算了一下說(shuō)：“如果騎車與步行的速度比是41，那么從公園門(mén)口到目的地的距離超過(guò)2千米時(shí)，回家取車才

28、合算.”請(qǐng)推算一下，從公園到他們家的距離是多少米？解：先畫(huà)一張示意圖設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時(shí)間，就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問(wèn)題就轉(zhuǎn)變成：騎車從家開(kāi)始，步行從B點(diǎn)開(kāi)始，騎車追步行，能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計(jì)算如下：不妨設(shè)B到A的距離為1個(gè)單位，因?yàn)轵T車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個(gè)單位，從家到B的距離是3個(gè)單位.公園到B是1.5個(gè)單位.從公園到A是11.52.5（單位）.每個(gè)單位是 20002.5800（米）.因此，從公園到家的距離是8001.51200（米）.答：從公園門(mén)口到他們家的距離是1200米.

29、這一例子中，取計(jì)算單位給計(jì)算帶來(lái)方便，是值得讀者仿照采用的.請(qǐng)?jiān)倏匆焕?例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時(shí)開(kāi)出，相向而行.經(jīng)過(guò)5小時(shí)兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時(shí)，慢車到A停留半小時(shí)后返回.快車到B停留1小時(shí)后返回.問(wèn)：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時(shí)間？解：畫(huà)一張示意圖：設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時(shí)，從C到A用了12.5-5=7.5（小時(shí)）.我們把慢車半小時(shí)行程作為1個(gè)單位.B到C10個(gè)單位，C到A15個(gè)單位.慢車每小時(shí)走2個(gè)單位，快車每小時(shí)走3個(gè)單位.有了上面“取單位”準(zhǔn)備后，下面很易計(jì)算了.慢車從C到A，再加停留半小時(shí)，共8小時(shí).此時(shí)快車在何處呢？去掉它

30、在B停留1小時(shí).快車行駛7小時(shí)，共行駛37=21（單位）.從B到C再往前一個(gè)單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-114（單位）.現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時(shí)出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時(shí)間是14（23）2.8（小時(shí)）.慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.50.52.810.8（小時(shí)）.答：從第一相遇到再相遇共需10小時(shí)48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來(lái)時(shí)順?biāo)?，比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時(shí)是行駛?cè)痰囊话霑r(shí)間，因?yàn)槿r(shí)逆水，小船到達(dá)不了B地.我們?cè)贐之前設(shè)置一個(gè)C點(diǎn)，是小船逆水行駛1小時(shí)到達(dá)處.如下圖第二小

31、時(shí)比第一小時(shí)多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r(shí)多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r(shí)間是1小時(shí).現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭偅cC至B逆水行駛3千米時(shí)間一樣多.因此順?biāo)俣饶嫠俣?53.由于兩者速度差是8千米.立即可得出A至B距離是 123=15（千米）.答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍

32、.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行。1小時(shí)20分后，在第二段的解一：畫(huà)出如下示意圖：當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分時(shí)20分相當(dāng)于因此就知道，汽車在第一段需要第二段需要 30390（分鐘）；甲、乙兩市距離是答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過(guò)“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問(wèn)題簡(jiǎn)單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.第一段所用時(shí)間第三段所用時(shí)間=52.時(shí)間一樣.第一段所用

33、時(shí)間第二段所用時(shí)間=59.因此，三段路程所用時(shí)間的比是592.汽車走完全程所用時(shí)間是 802160（分種）.例21 一輛車從甲地開(kāi)往乙地.如果車速提高20，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米？解：設(shè)原速度是1.后，所用時(shí)間縮短到原時(shí)間的這是具體地反映：距離固定，時(shí)間與速度成反比.用原速行駛需要同樣道理，車速提高25，所用時(shí)間縮短到原來(lái)的如果一開(kāi)始就加速25，可少時(shí)間現(xiàn)在只少了40分鐘， 72-4032（分鐘）.說(shuō)明有一段路程未加速而沒(méi)有少這個(gè)32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時(shí)間真巧，320-160160（分鐘

34、），原速的行程與加速的行程所用時(shí)間一樣.因此全程長(zhǎng)答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實(shí)上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時(shí)間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長(zhǎng)還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長(zhǎng)為x，就有x1207232.1.4 流水行程流水問(wèn)題：順?biāo)谐?（船速+水速）順?biāo)畷r(shí)間 逆水行程=（船速-水速）逆水時(shí)間 順?biāo)俣?船速+水速 逆水速度=船速-水速 靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）2 水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）2 流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。 過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程

35、，參照以上公式。 主要方法：畫(huà)線段圖法 基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。 第二講 和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題做應(yīng)用題是一種很好的思維鍛煉.做應(yīng)用題不但要會(huì)算，而且要 多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以說(shuō)做應(yīng)用題是運(yùn)用數(shù)學(xué)的開(kāi)始.加、減、乘是最基本的運(yùn)算，和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系. 2.1 和差問(wèn)題說(shuō)到“和差問(wèn)題”，小學(xué)高年級(jí)的同學(xué)，人人都會(huì)說(shuō)：“我會(huì)！”和差問(wèn)題的計(jì)算太簡(jiǎn)單了.是的，知道兩個(gè)數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計(jì)算公式：大數(shù)=（和+差）2小數(shù)=（和-差）2會(huì)算，還要會(huì)靈活運(yùn)用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化

36、成和差問(wèn)題來(lái)算.先看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.例1 張明在期末考試時(shí)，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩門(mén)功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多得8分，張明這兩門(mén)功課的成績(jī)各是多少分？解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語(yǔ)文兩門(mén)得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語(yǔ)文得分之差是8.因此數(shù)學(xué)得分=（9528）299.語(yǔ)文得分=(952-8）2 91.答：張明數(shù)學(xué)得99分，語(yǔ)文得91分.注：也可以從 952-9991求出語(yǔ)文得分.例2 有 A，B，C三個(gè)數(shù)，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求這三個(gè)數(shù).解：從B+C197與A+C149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此B=（252

37、 197-149） 2 150，A252-150102，C149-10247.答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.注：還有一種更簡(jiǎn)單的方法（A+B）（BC）（CA）2（ABC）.上面式子說(shuō)明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.ABC（252197149）2299.因此C299-25247，B299-149150，A299-197102.例3 甲、乙兩筐共裝蘋(píng)果75千克，從甲筐取出5千克蘋(píng)果放入乙筐里，甲筐蘋(píng)果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋(píng)果多少千克？解：畫(huà)一張簡(jiǎn)單的示意圖，就可以看出，原來(lái)甲筐蘋(píng)果比乙筐多57 5 17（千克）因此，甲、乙兩數(shù)之和是 75，差為17.甲筐蘋(píng)果數(shù)=（

38、7517）2 46（千克）.乙筐蘋(píng)果數(shù)=75-4629（千克）.答：原來(lái)甲筐有蘋(píng)果46千克，乙筐有蘋(píng)果29千克.例4 張強(qiáng)用270元買(mǎi)了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買(mǎi)外衣和鞋比帽子多花210元，張強(qiáng)買(mǎi)這雙鞋花多少錢(qián)？解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價(jià)格和是 270元，差是 210元.外衣和鞋價(jià)之和=（270 210）2 240（元）.外衣價(jià)與鞋價(jià)之差是140，因此鞋價(jià)=（240-140）250（元）.答：買(mǎi)這雙鞋花50元.再舉出三個(gè)較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計(jì)算，那么就可以說(shuō)，“和差問(wèn)題”的解法，你已能靈活運(yùn)用了.例5 李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班，

39、他估計(jì)快到上班時(shí)間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了.他開(kāi)足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時(shí)間還有10分鐘.夜里11點(diǎn)下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點(diǎn)整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多少時(shí)間（上發(fā)條所用時(shí)間忽略不計(jì)）？解：到廠時(shí)看鐘是2點(diǎn)50分，離家看鐘是12點(diǎn)10分，相差2小時(shí)40分，這是停鐘的時(shí)間和路上走的時(shí)間加在一起產(chǎn)生的.就有鐘停的時(shí)間+路上用的時(shí)間=160（分鐘）.晚上下班時(shí)，廠里鐘是11點(diǎn)，到家看鐘是9點(diǎn)，相差2小時(shí).這是由于鐘停的時(shí)間中，有一部分時(shí)間，被回家路上所用時(shí)間抵消了.因此鐘停的時(shí)間-路上用的時(shí)間=120（

40、分鐘）.現(xiàn)在已把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問(wèn)題了.鐘停的時(shí)間=（160120） 2 140（分鐘）.路上用的時(shí)間=160-14020（ 分鐘）.答：李叔叔的鐘停了2小時(shí)20分.還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時(shí)間：以李叔叔家的鐘計(jì)算，他在12點(diǎn)10分出門(mén)，晚上9點(diǎn)到家，在外共8小時(shí)50分鐘，其中8小時(shí)上班，10分鐘等待上班，剩下的時(shí)間就是他上班來(lái)回共用的時(shí)間，所以上班路上所用時(shí)間=（8小時(shí)50分鐘-8小時(shí)-10分鐘）220（分鐘）.鐘停時(shí)間=2小時(shí) 40分鐘-20分鐘=2小時(shí)20分鐘.例6 小明用21.4元去買(mǎi)兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢(qián)恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作

41、乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問(wèn)小明買(mǎi)甲、乙卡各幾張？解：甲卡與乙卡每張相差 1.5-0.7 0. 8（元），售貨員錯(cuò)找還小明3.2元，就知小明買(mǎi)的甲卡比乙卡多3.20.84（張）.現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問(wèn)題就解決了.如何求呢？請(qǐng)注意1.5甲卡張數(shù)+0.7乙卡張數(shù)=21.4.1.5乙卡張數(shù)+0.7甲卡張數(shù)=21.4-3.2.從上面兩個(gè)算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是21.4（21.4-3.2）（1.5 0.7） 18（張）.因此，甲卡張數(shù)是（18 4） 2 11（張）.乙卡張數(shù)是 18-11 7（張）.答：小明買(mǎi)甲卡11張、乙卡7張.注：此題還可用

42、雞兔同籠方法做，請(qǐng)見(jiàn)下一講.例7 有兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形，拼合成兩種大長(zhǎng)方形，如右圖.大長(zhǎng)方形（A）的周長(zhǎng)是240厘米，大長(zhǎng)形（B）的周長(zhǎng)是258厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各為多少厘米？解：大長(zhǎng)方形（A）的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)2+寬4.大長(zhǎng)方形（B）的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)4+寬2.因此，240+258是原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)6+寬6.原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和是（240258）683（厘米）.原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差是（258-240）29（厘米）.因此，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬是長(zhǎng)：（83 9）2 46（厘米）.寬：（83-9）237（厘米）.答：原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是46厘米、寬是37厘米2.2 倍數(shù)問(wèn)題當(dāng)知道了兩個(gè)數(shù)的和或者差，

43、又知道這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，就能立即求出這兩個(gè)數(shù).小學(xué)算術(shù)中常見(jiàn)的“年齡問(wèn)題”是這類問(wèn)題的典型.先看幾個(gè)基礎(chǔ)性的例子.例8 有兩堆棋子，第一堆有87個(gè)，第二堆有69個(gè).那么從第一堆拿多少個(gè)棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍.解：兩堆棋子共有8769156（個(gè)）.為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍，就要把156個(gè)棋子分成134（份），即每份有棋子156 （13）39（個(gè)）.第一堆應(yīng)留下棋子39個(gè)，其余棋子都應(yīng)拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數(shù)是87-3948（個(gè)）.答：應(yīng)從第一堆拿48個(gè)棋子到第二堆去.例9 有兩層書(shū)架，共有書(shū)173本.從第一層拿走38本書(shū)后，第二層的書(shū)比第

44、一層的2倍還多6本.問(wèn)第二層有多少本書(shū)？解：我們畫(huà)出下列示意圖：我們把第一層（拿走38本后）余下的書(shū)算作1“份”，那么第二層的書(shū)是2份還多6本.再去掉這6本，即173-38-6129（本）恰好是3份，每一份是1293=43（本）.因此，第二層的書(shū)共有432 + 692（本）.答：書(shū)架的第二層有92本書(shū).說(shuō)明：我們先設(shè)立“1份”，使計(jì)算有了很方便的計(jì)算單位.這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對(duì)倍數(shù)問(wèn)題極為有效.把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然.例10 某小學(xué)有學(xué)生975人.全校男生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的3倍多11人.問(wèn)全校有男、女生各多少人？解：設(shè)六年級(jí)學(xué)

45、生人數(shù)是“1份”.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-（23-11）人.每份是（975+12）7141（人）.男生人數(shù)=1414-23541（人）.女生人數(shù)=975-541434（人）.答：有男生541人、女生434人.例9與例10是一個(gè)類型的問(wèn)題，但稍有差別.請(qǐng)讀者想一想，“差別”在哪里？70雙皮鞋.此時(shí)皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍.問(wèn)原來(lái)兩種鞋各有幾雙？解：為了計(jì)算方便，把原來(lái)旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份.那么原有皮鞋增加70雙后將是32=6（份）.40070將是 3+1610（份）.每份是（40070）1047（雙）.原有旅游鞋 474=188（雙）.原有皮鞋 476

46、-70212 （雙）.答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)單方便.小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分?jǐn)?shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計(jì)算都較簡(jiǎn)捷.因此，“盡可能整數(shù)化”將會(huì)貫穿在以后的章節(jié)中.下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容年齡問(wèn)題.年齡問(wèn)題是小學(xué)算術(shù)中常見(jiàn)的一類問(wèn)題，這類題目中常常有“倍數(shù)”這一條件.解年齡問(wèn)題最關(guān)鍵的一點(diǎn)是：兩個(gè)人的年齡差總保持不變.例12 父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問(wèn)幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍？解：父女相差36歲，這個(gè)差是不變的.幾年前還是相差36歲.當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時(shí)，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的（5-1）倍.36（5-1）9.當(dāng)時(shí)

47、女兒是9歲，14-95，也就是5年前.答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.例13 有大、小兩個(gè)水池，大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個(gè)水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問(wèn)每個(gè)水池注入了多少立方米的水.解：畫(huà)出下面示意圖：我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因?yàn)樽⑷雰蓚€(gè)水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.因此每份是（300-70）2 115（立方米）.要注入的水量是115-70=45 （立方米）答：每個(gè)水池要注入45立方米的水.例13與年齡問(wèn)題是完全一樣的問(wèn)題.“注入

48、水”相當(dāng)于年齡問(wèn)題中的“幾年后”.例14 今年哥倆的歲數(shù)加起來(lái)是55歲.曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時(shí)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍.哥哥今年幾歲？解：當(dāng)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時(shí)，我們?cè)O(shè)那時(shí)弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份.兩人的歲數(shù)之差是不會(huì)變的，今年他們的年齡仍相差1份.題目又告訴我們，那時(shí)哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是213（份）.今年，哥弟倆年齡之和是32=5（份）.每份是 555 11（歲）.哥哥今年的歲數(shù)是 11333（歲）.答：哥哥今年33歲.作為本節(jié)最后一個(gè)例子，我們將

49、年齡問(wèn)題進(jìn)行一點(diǎn)變化.例15 父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.問(wèn)多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍？解：現(xiàn)在父母年齡之和是38 36 74.現(xiàn)在兒子年齡的 4倍是 11444.相差74-44 30.從4倍來(lái)考慮，以后每年長(zhǎng)144，而父母年齡之和每年長(zhǎng)112.為追上相差的30，要30（4-2）15（年）答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.請(qǐng)讀者用例15的解題思路，解習(xí)題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.請(qǐng)讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣？各有什么特點(diǎn)？我們也可以用例15解法來(lái)解例12.具體做法有下面算式：（14 5-50）（5-1） 5（年）.

50、不過(guò)要注意 145比 50多，因此是 5年前.2.3 盈不足問(wèn)題在我國(guó)古代的算書(shū)中，九章算術(shù)是內(nèi)容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問(wèn)題，其中第一題，用現(xiàn)代的語(yǔ)言來(lái)敘述，就是下面的例題.例16 有一些人共同買(mǎi)一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價(jià)是多少？解：“多3元”與“少4元”兩者相差347（元）.每個(gè)人要多出 8-71（元）.因此就知道，共有717（人），物價(jià)是87-353（元）.答：共有 7個(gè)人一起買(mǎi)，物價(jià)是 53元.上面的34可以說(shuō)是兩個(gè)總數(shù)的相差數(shù).而8-7是每份的相差數(shù).計(jì)算公式是總數(shù)相差數(shù)每份相差數(shù)=份數(shù)這樣的問(wèn)題在內(nèi)容上有很多變

51、化，形成了一類問(wèn)題，我們通稱為“盈不足”問(wèn)題.請(qǐng)?jiān)倏匆恍├?例17 把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個(gè)小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒？解一：3位小朋友本來(lái)每人可以分到10粒，他們共有的 10 3 30（粒），分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有103（16-10） 5（人）.再加上這 3位小朋友，共有小朋友 53 8（人）.這袋糖有10（5 3） 80（粒）.解二：如果我們?cè)僭黾?163粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友163（16-10）=8（人）這袋糖有80粒.答：這袋糖有80粒.這里， 163是總差，（16-10）是每份差， 8是份數(shù).例18 有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個(gè)班共有多少名同學(xué)？解：如果每條船坐6人，就要增加一條船