道高考數(shù)學(xué)試題的高數(shù)背景

1、一道高考數(shù)學(xué)試題的高數(shù)背景廖運章 朱亞麗(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 510006)2009年湖南高考數(shù)學(xué)理科第21題是這樣的： 對于數(shù)列，若存在常數(shù)M0,對任意的，恒有，則稱數(shù)列為B-數(shù)列.（I）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;（II）設(shè)是數(shù)列的前項和，給出下列兩組論斷：A組：數(shù)列是B-數(shù)列，數(shù)列不是B-數(shù)列；B組：數(shù)列是B-數(shù)列；數(shù)列不是B-數(shù)列.請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（III）若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列.注令（I）的、（III）中的，其他不變，即為2009年湖南高考數(shù)學(xué)文科

2、第21題，以下只討論理科題，并簡稱為本試題.不難發(fā)現(xiàn)，這道文理壓軸題以開放題的形式，用數(shù)列、不等式知識作載體，考查歸納猜想、邏輯推理等重要數(shù)學(xué)思想方法，具有深刻的高等數(shù)學(xué)背景，來源于數(shù)學(xué)分析中的有界變差數(shù)列，與實變函數(shù)中的有界變差函數(shù)一脈相承.1命題淵源11命題背景事實上，本試題直接來源于吉米多維奇的數(shù)學(xué)分析習(xí)題集的第86題，原題及解答如下：NO.86若存在數(shù)C,使得，則稱敘列有有界變差.證明凡有有界變差的敘列是收斂的.舉出一個收斂敘列而無有界變差的例子.證 令，則敘列是單調(diào)增加且有界，所以它是收斂的.根據(jù)哥西收斂準(zhǔn)則，對于任給，存在數(shù)N，使當(dāng)時，即，而對于敘列有，所以，敘列是收斂的. 敘列：

3、，它是以0為極限的收斂敘列.但它不是有界變差的.事實上，而序列是發(fā)散的，又是遞增的，故.于是不是有界的.因而收斂敘列：無有界變差1.另例：若令，則因.故由柯西判別法知存在，然而，即并非有界變差敘列2. 隨后，我國許多數(shù)學(xué)分析教科書、參考書先后將之稍作修改變形收入其中，如武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的數(shù)學(xué)分析（人民教育出版社，1978年）P 237的NO.3，裴禮文的數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（高教出版社，2006年），劉玉璉的數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)講義（高教出版社， 2001年）P57第20題，孫濤的數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析（高教出版社，2003年） ，劉名生、馮偉貞、韓彥昌的數(shù)學(xué)分析（一）（科學(xué)出版社，2009年）

4、P34的NO.13等等，有的還冠以“有界變差數(shù)列收斂定理”的名稱.比較典型的問題形式有華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分析 3，其P40 的第6題為： 若數(shù)列滿足：存在正數(shù)M，對一切n有. 證明：數(shù)列與都收斂.12命題技術(shù)從高考數(shù)學(xué)命題技術(shù)看，一是通過語言轉(zhuǎn)換，將高中生不熟悉的高等數(shù)學(xué)術(shù)語“有界變差數(shù)列”用其英文簡寫“數(shù)列”（ bounded variation sequence）這一新定義替代，高數(shù)語言初等化，保持原題條件不變，改變其結(jié)論（原題第2問的否定即是本試題的（I），以考查有界變差數(shù)列性質(zhì)的目的，避開考生不能為之的收斂數(shù)列證明，試題的信息形態(tài)有一定新意；二是在解題思想方法上，本試題的解法與原

5、題一樣，都要求正確把握新定義“數(shù)列”的內(nèi)涵并靈活運用絕對值不等式的插值法（添減項），更是高等數(shù)學(xué)中的常用估值技巧，涉及壓縮映射原理的2006年廣東高考數(shù)學(xué)理20題()的證明就曾用到該估值技巧.近年來，依托高等數(shù)學(xué)背景，通過高等數(shù)學(xué)語言初等化等形式，將高等數(shù)學(xué)問題的提法轉(zhuǎn)化為中學(xué)生可接受的語言來編擬高考數(shù)學(xué)試題是一種常見的命題方法，而中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接點則往往成為命題的焦點. 如單調(diào)有界定理是數(shù)學(xué)分析中判定數(shù)列收斂的一個奠基性定理，與中學(xué)的數(shù)列、不等式等知識聯(lián)系緊密，以此背景編擬本試題就不出意料.2解法探究21（I）的解法本試題（I）比較簡單，只要現(xiàn)場認(rèn)真閱讀有關(guān)條件并仿照新定義進行驗證即

6、可.設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則；于是 ，因此- +-+-= 即 ，故首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列.22（II）的解法（II）是一個開放性問題，給考生思考的空間大，A、B兩組可以組成八個命題：，.由原命題與逆否命題的等價性可知：與、和、與、與是互為逆否命題，所以本試題的八個命題可以歸結(jié)為、這四個命題，但命題（2）真則命題（4）假，反之亦可，故問題（II）實質(zhì)上是要判斷下列命題的真假：命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.命題3：若數(shù)列不是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.命題1為假命題.事實上，設(shè)，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但，且=, 由的任意性知，

7、數(shù)列不是B-數(shù)列.對于命題2，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的，有，即；于是，所以數(shù)列是B-數(shù)列，命題為真.命題3為假命題. 考慮其逆否命題：若數(shù)列不是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.其實，舉一反例如令，即知為假命題. 23 () 的證法若數(shù)列，都是數(shù)列，則存在正數(shù)，對任意的有 ，.注意到 ，同理 .記，則有，故，數(shù)列是數(shù)列 。 .。 3試題拓展綜上討論，本試題主要探究有界變差數(shù)列的定義與個別性質(zhì)，屬于初等數(shù)學(xué)研究范疇，高中生是完全可以接受的；而吉米多維奇的原題側(cè)重于研究有界變差數(shù)列的斂散性，是大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容.其實，有界變差數(shù)列與有界變差函數(shù)密切相關(guān)，有界變差函數(shù)是通過有界變差數(shù)列

8、定義的，它們有許多相似性質(zhì).以下從縱向深入探究有界變差數(shù)列的若干性質(zhì)，并從橫向拓展、舉例說明有界變差函數(shù)，所有討論均限制在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi).31有界變差數(shù)列的性質(zhì) 一般地，設(shè)有數(shù)列，若存在正數(shù)，對任意的，有+，則稱數(shù)列為有界變差數(shù)列. 有界變差數(shù)列又稱囿變數(shù)列，在分析學(xué)中有廣泛應(yīng)用，以下是一些高中生能理解的有界變差數(shù)列的性質(zhì)4.性質(zhì)1 若數(shù)列為有界變差數(shù)列，則必是有界數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列為有界變差數(shù)列，則存在一個正常數(shù)，對于任意的都有.而.取，存在一個常數(shù)，對于任何一個，都有.所以，是有界數(shù)列.性質(zhì)2 若數(shù)列為單調(diào)遞增（遞減）有界數(shù)列，則必為有界變差數(shù)列.證明：不妨設(shè)單調(diào)遞增有界，因為，取，即，為

9、有界變差數(shù)列.注意：性質(zhì)2的逆命題不成立，如數(shù)列，易驗證它是有界變差數(shù)列，顯然不是單調(diào)數(shù)列. 性質(zhì)3 設(shè)數(shù)列，若存在,對任何，有，則數(shù)列必為有界變差數(shù)列.證明：對任何，.性質(zhì)4 設(shè)數(shù)列，都是有界變差數(shù)列，為常數(shù)，則；，；，均是有界變差數(shù)列.證明：僅證，其余請讀者一試.此時，只需證為有界變差數(shù)列，再據(jù)即可. ，從而為有界變差數(shù)列.性質(zhì)5 數(shù)列為有界變差數(shù)列可以表示為兩個單調(diào)有界數(shù)列之差.證明：（）顯然. （）設(shè)是有界變差數(shù)列，令，顯然，均為有界變差. 又， 同理可得 . 故，都是單調(diào)有界數(shù)列.性質(zhì)6 若數(shù)列滿足條件，稱數(shù)列為壓縮變差數(shù)列，則壓縮變差數(shù)列必為有界變差數(shù)列.證明：，.從而，其中.故數(shù)

10、列為有界變差數(shù)列.32有界變差函數(shù)舉例有界變差函數(shù)是分析中較重要的函數(shù)類，它起源于求曲線的長度，在微分與積分的研究中起重要作用.下面通過數(shù)學(xué)問題解決的方式，舉例說明.問題1設(shè)是定義在上的函數(shù)，用分點 將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)，使得和式（）恒成立，則稱為上的有界變差函數(shù)，記作，這里表示在上的全體有界變差函數(shù)的集合（若無特別約定，以下討論都基于此記號）.（I）函數(shù)在上是否為有界變差函數(shù)？請說明理由；（II）設(shè)函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，證明：；（III）若定義在上的函數(shù)滿足：存在常數(shù)，使得對于任意的、時，.證明：.解：（I）函數(shù)在上是增函數(shù)，對任意劃分， ，取常數(shù)，則和式（）恒成立，所以

11、函數(shù)在上是有界變差函數(shù).（II）不妨設(shè)函數(shù)是上的單調(diào)增加，對任意劃分，一定存在一個常數(shù)，使，故.（III）對任意劃分，取常數(shù)，由有界變差函數(shù)定義知.問題2（1）設(shè)，求證：是上的有界函數(shù).（2）設(shè)，求證：，；（3）設(shè)，且是任意兩個常數(shù)，求證：.注：此問題類似于性質(zhì)1和性質(zhì)4的證法，請讀者給不妨一試，此略. 問題3 若為上的有界變差函數(shù)，試證：也是上的有界變差函數(shù).反之，若為上的有界變差函數(shù)，是否為上的有界變差函數(shù)？請說明理由.解：對的任意劃分，存在常數(shù)，使和式（）. ，是上的有界變差函數(shù).反之，就不一定成立，如函數(shù) 作的劃分： ，則和式.顯然，不存在一個常數(shù)，使對任意的，恒成立，故不是上是有界變差函數(shù).但若函數(shù)，顯然是有界變差函數(shù)5.總之，借用或包裝高等數(shù)學(xué)概念、用初數(shù)語言敘述高等數(shù)學(xué)原理、保持?jǐn)?shù)學(xué)解題思想方法一致等，高等數(shù)學(xué)語言初數(shù)化以編擬高考數(shù)學(xué)試題，是當(dāng)前高考數(shù)學(xué)命題慣用的重要手法之一，在于考查學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)場閱讀理解等學(xué)習(xí)潛能以及數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識，不容忽視.參考文獻：1 吉米多維奇著，費定輝，周學(xué)圣編演.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解M.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社.1980.2 吉米多維