2010D253 羅二輝 雙重低滲介質(zhì)含啟動(dòng)壓力梯度不定常滲流研究1

1、雙重低滲介質(zhì)含啟動(dòng)壓力梯度不定常滲流研究羅二輝1，王曉冬1，王建俊2(1. 中國地質(zhì)大學(xué)，北京 100083；2.中國石油大學(xué)，北京 102249)基金項(xiàng)目：（國家科技重大專項(xiàng)2009ZX05009-004-03）摘要：在雙重低滲介質(zhì)儲(chǔ)層中建立了考慮啟動(dòng)壓力梯度和動(dòng)邊界的交互作用影響的非達(dá)西不定常滲流模型；通過因變量變換新定義無量綱壓力導(dǎo)數(shù)，從而線性化壓力擴(kuò)散方程，采用Laplace變換結(jié)合Stehfest數(shù)值反演算法求得井壁壓力分布和動(dòng)邊界傳播規(guī)律。通過對(duì)低滲雙重介質(zhì)中敏感參數(shù)(如啟動(dòng)壓力梯度、彈性儲(chǔ)容比、竄流系數(shù)等)分析表明：?jiǎn)?dòng)壓力梯度對(duì)動(dòng)邊界傳播規(guī)律、井壁壓力及壓力導(dǎo)數(shù)動(dòng)態(tài)曲線有很大影

2、響，啟動(dòng)壓力梯度越大，動(dòng)邊界傳播越慢、壓力損失越大，并且井壁壓力導(dǎo)數(shù)在后期有上翹特征。并運(yùn)用Duhamel褶積建立了相應(yīng)的現(xiàn)代試井分析典型曲線圖版。關(guān)鍵詞：雙重介質(zhì)；啟動(dòng)壓力梯度；動(dòng)邊界；低滲透；不定常滲流；非Darcy滲流Study on the Fluid Transient Flow with Threshold Gradient in Dual-pore Low Permeability Porous MediaLUO Er-hui1,WANG Xiao-dong1,WANG Jian-jun2(1.China University of Geosciences, Beijing 10

3、0083,China；2.China University of Petroleum, Beijing 102249,China)（Important National Science & Technology Specific Projects During the Eleventh Five-Year Plan Period: 2009ZX05009-004-03）Abstract: Taking threshold pressure gradient and moving boundary comprehensive effect into consideration, a No

4、n-Darcy transient flow mathematic model in dual-pore low permeability media is set up. Pressure diffusion equation is linearized by new-defined dimensionless pressure derivative of dependent variable transformation. The solution of wellbore pressure and moving boundary propagation is solved with Lap

5、lace transform and Stehfest numerical reverse method, and the influence of sensitive parameters, such as threshold pressure gradient, storage ratio, inter porosity flow coefficient, is of great significance on moving boundary propagation, wellbore pressure and derivative type curve. It is shown that

6、 the greater threshold pressure gradient is, the slower the moving boundary runs, and the larger the pressure drops. As an effect of threshold pressure gradient and moving boundary, differential of wellbore pressure curve may be upwarp in the later stage of flow. Type curves for the modern well test

7、 analysis are obtained by means of Duhamel convolution theory.Keywords: dual-pore media, threshold pressure gradient, moving boundary, low permeability, transient flow, Non-Darcy flow1 前言大量研究表明，低滲透儲(chǔ)層存在低速非達(dá)西滲流現(xiàn)象，可使用帶啟動(dòng)壓力梯度的非Darcy方程來描述其滲流過程1-5。當(dāng)存在啟動(dòng)壓力梯度時(shí)，壓力傳播并非瞬時(shí)達(dá)到無窮遠(yuǎn)，而是存在一個(gè)動(dòng)邊界，動(dòng)邊界即壓力擾動(dòng)的外邊界6-7。由于啟動(dòng)壓力梯

8、度和動(dòng)邊界的交互作用大大增強(qiáng)了不定常滲流方程的非線性和非齊次性，不少學(xué)者采取近似或數(shù)值方法進(jìn)行了求解6-9。我國許多低滲透油田儲(chǔ)層裂縫都比較發(fā)育，這類油藏的開發(fā)特征與單純低滲透油藏不同10。針對(duì)雙重孔隙低滲介質(zhì)，許多研究者都以Warren-Root雙重介質(zhì)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行了有益探索11-17。然而，研究者往往忽略了動(dòng)邊界的存在，這雖極大的簡(jiǎn)化了復(fù)雜非線性模型的求解難度，但不能準(zhǔn)確反映雙重低滲介質(zhì)中壓力擴(kuò)散規(guī)律11-16。劉啟國等17采取格林函數(shù)法與固定邊界模型相結(jié)合的數(shù)值逼近方法研究了動(dòng)邊界對(duì)低滲雙重介質(zhì)試井曲線的影響。目前，還沒有人給出同時(shí)考慮啟動(dòng)壓力梯度和動(dòng)邊界影響的雙重介質(zhì)不定常滲流問題比

9、較完整的解析結(jié)果。本文巧妙地改進(jìn)無量綱壓力定義，對(duì)非穩(wěn)態(tài)非達(dá)西滲流控制方程實(shí)現(xiàn)一種因變量變換，由此消除控制方程組的非齊次性，從而解析求出動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)方程和壓力分布。2 考慮啟動(dòng)壓力梯度和動(dòng)邊界交互作用的數(shù)學(xué)模型假定在平面無限大雙重介質(zhì)低滲地層中，儲(chǔ)層厚度均勻，介質(zhì)微可壓縮且各向同性，滲透率和流體粘度、體積系數(shù)等不隨壓力變化，忽略重力和毛管力的影響?？紤]有一口生產(chǎn)井以定產(chǎn)量生產(chǎn)，滲流滿足低速非達(dá)西定律，采用Warren-Root模型。下面首先在SI單位制下定義無量綱量。無量綱壓力和無量綱井壁壓力：，無量綱時(shí)間、無量綱徑向距離和動(dòng)邊界：，無量綱啟動(dòng)壓力梯度：彈性儲(chǔ)容比和竄流系數(shù)：，式中，kf裂縫滲透

10、率（10-3m2），km基巖滲透率（10-3m2），h儲(chǔ)層厚度（m），q井產(chǎn)量（m3/d），原油粘度（mPa·s），B原油體積系數(shù)（m3/m3），Pi原始地層壓力（MPa），Pf裂縫系統(tǒng)壓力（MPa），Pm基巖壓力（MPa），t延續(xù)時(shí)間（hour），f儲(chǔ)層孔隙度（小數(shù)），c系統(tǒng)壓縮系數(shù)（1/MPa），rw井筒半徑（m），rf壓力擾動(dòng)外邊界（m），G啟動(dòng)壓力梯度（MPa/m），形狀因子。在上述無量綱定義下，雙重介質(zhì)不定常滲流的控制方程組為：，(1)，(2)初始條件：，(3)(4)內(nèi)邊界定產(chǎn)條件：(5)外邊界移動(dòng)界面條件：(6)(7)對(duì)方程（1）（7）作Laplace變換，則方程和定解條

11、件變成如下形式，(8)(9)(10)(11)(12)聯(lián)立方程(9)和方程(7)，得(13)式中3 定解問題的解解析求解方程組（10）（13）可分為兩步，首先由方程（10）、（11）、（13）組成（邊界移動(dòng)的）封閉儲(chǔ)層不定常滲流控制方程組，進(jìn)行解析求解，接著再將解析解式帶入式（12），得到動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)方程；計(jì)算過程則步驟相反。對(duì)于式（10）、（11）、（13）組成的雙重介質(zhì)不定常滲流問題，得到Laplace空間壓力分布解式為：(14)式中，式中，Ij(x) j階第一類變型Bessel函數(shù)（j=1,2）；Kj(x) j階第二類變型Bessel函數(shù)（j=1,2）；s =Laplace變換量。將（14）

12、式代入（12）式，得到動(dòng)邊界傳播方程為： (15)注意在得到式（15）的過程中應(yīng)用了Bessel函數(shù)相應(yīng)的Wronskians關(guān)系式。計(jì)算過程中首先利用牛頓迭代方法在Laplace變換域中計(jì)算式（15），再采用Stehfest數(shù)值反演方法18計(jì)算式（14），能夠得到儲(chǔ)層無量綱壓力分布或井壁壓力。當(dāng)考慮井筒存儲(chǔ)和表皮效應(yīng)。可以根據(jù)有效井徑模型包含表皮效應(yīng)、根據(jù)Duhamel褶積包含井筒存儲(chǔ)效應(yīng)。定義無量綱井筒存儲(chǔ)系數(shù)為：這里，C=井筒存儲(chǔ)系數(shù)（m3/ MPa）根據(jù)Duhamel褶積，在Laplace變換域中，受井筒存儲(chǔ)和表皮效應(yīng)影響的井底壓力計(jì)算方法是19：(16)式中，Skin =表皮因子（無

13、量綱）。4 敏感參數(shù)分析根據(jù)式（14）、（15）繪制出動(dòng)邊界傳播規(guī)律和井壁壓力動(dòng)態(tài)特征曲線如圖1圖4所示。由圖可知，雙重低滲介質(zhì)中壓力動(dòng)態(tài)變化經(jīng)歷三個(gè)階段：裂縫系統(tǒng)的滲流、基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流、基巖系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)混合流。但由于啟動(dòng)壓力梯度和動(dòng)邊界的影響，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在后期不再表現(xiàn)為水平直線段，而是呈現(xiàn)上翹趨勢(shì)。這表明由于動(dòng)邊界的作用，即使考慮為無窮大邊界，單井的控制范圍也是有限的。圖1是啟動(dòng)壓力梯度對(duì)動(dòng)邊界傳播規(guī)律的影響圖，在其它參數(shù)不變的情況下，啟動(dòng)壓力梯度增大，rfD(tD)tD曲線下移，表明壓力擾動(dòng)傳播的速度變慢。中間的平穩(wěn)段代表了雙重介質(zhì)有別于單純介質(zhì)的過渡流特征。圖2是啟動(dòng)壓力梯

14、度對(duì)井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)影響關(guān)系圖，在其它參數(shù)一定時(shí)，由于啟動(dòng)壓力梯度和動(dòng)邊界的影響，導(dǎo)數(shù)后期出現(xiàn)上翹。隨著啟動(dòng)壓力梯度增加，無量綱壓力增加，而無量綱壓力是正比于壓力降落的，它的增加說明滲流過程中能量損失增加。圖3表明，竄流系數(shù)決定壓力導(dǎo)數(shù)曲線下凸的位置和竄流開始時(shí)間的早晚。竄流系數(shù)越小說明越早竄流，后期上翹段代表了動(dòng)邊界的作用。圖4表明，彈性儲(chǔ)容比的大小決定早期曲線的位置、下凸的深度和寬度，后期上翹段同樣代表了動(dòng)邊界的作用。根據(jù)式（16），能夠計(jì)算得到由參數(shù)團(tuán)CDe2Skin和GD影響的不穩(wěn)定試井分析典型曲線圖版，如圖5所示。圖5表明，由于受到井筒存儲(chǔ)的影響，不穩(wěn)定壓力變化早期不能體現(xiàn)出啟動(dòng)壓

15、力梯度的特別影響，但進(jìn)入中后期段井筒存儲(chǔ)影響漸沒，啟動(dòng)壓力梯度和動(dòng)邊界的作用變得明顯，這與圖2的結(jié)果是一致的。圖1 啟動(dòng)壓力梯度對(duì)動(dòng)邊界傳播的影響=0.01=0.001G=0 0.002 0.01 0.1 0.5圖2 不同啟動(dòng)壓力梯度條件下的無量綱井壁壓力和壓力導(dǎo)數(shù)動(dòng)態(tài)曲線=1E-5=1E-4=1E-3=0.01G=0.1圖3 竄流系數(shù)對(duì)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲=0.01 0.1 1=0.001G=0.05圖4 彈性儲(chǔ)容比對(duì)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響CDe2Skin=0.010.11100=0.01=0.001G=0.01圖5 不同CDe2Skin對(duì)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響5 結(jié)論（1）采用巧妙的無量綱壓力定義

16、，通過一種因變量變換對(duì)非齊次非線性非穩(wěn)態(tài)滲流方程進(jìn)行無量綱化，在保證初始條件方程齊次性的同時(shí)消除了控制方程的啟動(dòng)壓力梯度非線性項(xiàng)，從而方便進(jìn)行解析求解。（2）選取快速、精度高、收斂性好的牛頓迭代法計(jì)算拉氏空間中的動(dòng)邊界方程，再通過Stehfest數(shù)值反演方法得到了動(dòng)邊界傳播規(guī)律，并首次繪制了雙重低滲介質(zhì)中動(dòng)邊界傳播規(guī)律圖。（3）同時(shí)考慮啟動(dòng)壓力梯度和動(dòng)邊界的交互作用，繪制了啟動(dòng)壓力梯度對(duì)井壁壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響圖，壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期上翹特征是由動(dòng)邊界引起的。（4）計(jì)算了不同彈性儲(chǔ)容比和竄流系數(shù)下的井壁壓力及壓力導(dǎo)數(shù)，結(jié)果顯示低滲雙重介質(zhì)區(qū)別于中高滲雙重介質(zhì)的特征在于后期壓力導(dǎo)數(shù)有上翹特征。（

17、5）通過Duhamel褶積和有效井徑模型，給出了低滲雙孔介質(zhì)帶啟動(dòng)壓力梯度、包含井筒存儲(chǔ)和表皮效應(yīng)的不穩(wěn)定試井分析典型曲線理論圖版。參考文獻(xiàn)1 Irmay S. On the Theoretical Derivation of Darcy and Forchheimer FormulasJ.Trans Amer. Geophys. Union. 1958, No. 4. 39, 702-707; Discussion in J Geophys. Res. No. 4 64, 486-487 (1959).2 陳鐘詳滲流力學(xué)的近況動(dòng)向和展望J力學(xué)學(xué)報(bào)，1974，18（1）：21-193 馮文光非

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