第3講平面向量的數(shù)量積

1、第3講平面向量的數(shù)量積【2013年高考會這樣考】1考查平面向量數(shù)量積的運算2考查利用數(shù)量積求平面向量的夾角、模3考查利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關系【復習指導】本講復習時，應緊扣平面向量數(shù)量積的定義，理解其運算法則和性質(zhì)，重點解決平面向量的數(shù)量積的有關運算，利用數(shù)量積求解平面向量的夾角、模，以及兩向量的垂直關系基礎梳理1兩個向量的夾角已知兩個非零向量a和b(如圖)，作a，b，則AOB(0)叫做向量a與b的夾角，當0時，a與b同向；當時，a與b反向；當時，我們說a與b垂直，記作ab.2兩個向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，

2、記作a·b，即a·b|a|b|cos ，|b|cos 叫做向量b在a方向上的射影規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a0.3向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的數(shù)量積4向量數(shù)量積的性質(zhì)設a、b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角則(1)e·aa·e|a|cos ；(2)aba·b0；(3)當a與b同向時，a·b|a|·|b|；當a與b反向時，a·b|a|b|，特別的，a·a|a|2或者|a|；(4)cos ；(5)|

3、a·b|a|b|.5向量數(shù)量積的運算律(1)a·bb·a；(2)a·b(a·b)a·(b)；(3)(ab)·ca·cb·c.6平面向量數(shù)量積的坐標運算設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a與b的夾角為，則(1)a·bx1x2y1y2；(2)|a|；(3)cosa，b；(4)aba·b0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，則|a|(平面內(nèi)兩點間的距離公式)一個條件兩個向量垂直的充要條件：abx1x2y1y20.兩個探究(1)若a·b0，能否

4、說明a和b的夾角為銳角？(2)若a·b0，能否說明a和b的夾角為鈍角？三個防范(1)若a，b，c是實數(shù)，則abacbc(a0)；但對于向量就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿足a·ba·c(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量(2)數(shù)量積運算不適合結(jié)合律，即(a·b)ca(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量，a(b·c)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(a·b)c與a(b·c)不一定相等(3)向量夾角的概念要領會，比如正三角形

5、ABC中，與的夾角應為120°，而不是60°.雙基自測1(人教B版教材習題改編)已知|a|3，|b|2，若a·b3，則a與b的夾角為()A. B. C. D.解析設a與b的夾角為，則cos .又0，.答案C2若a，b，c為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是()A(ab)ca(bc) B(ab)·ca·cb·cCm(ab)mamb D(a·b)·ca·(b·c)答案D3(2011·廣東)若向量a，b，c滿足ab，且ac，則c·(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab

6、及ac，得bc，則c·(a2b)c·a2c·b0.答案D4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，則實數(shù)x等于()A9 B4 C0 D4解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9.答案A5(2011·江西)已知|a|b|2，(a2b)·(ab)2，則a與b的夾角為_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得a·b2，cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案考向一求兩平面向量的數(shù)量積【例1】(2011·合肥模擬)在ABC中，M是BC的中點，|1，2，則·()_.審題視點 由M是BC的中點，得

7、2.解析如圖，因為M是BC的中點，所以2，又2，|1，所以·()·24|2|2，故填.答案 當向量表示平面圖形中的一些有向線段時，要根據(jù)向量加減法運算的幾何法則進行轉(zhuǎn)化，把題目中未知的向量用已知的向量表示出來，在這個過程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識【訓練1】 如圖，在菱形ABCD中，若AC4，則·_.解析，故··()··.而，.所以·CA28.答案8考向二利用平面向量數(shù)量積求夾角與模【例2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)

8、求|ab|和|ab|.審題視點 由平面向量數(shù)量積的運算法則得a·b的值，再求其夾角的余弦值，從而得其夾角解(1)(2a3b)·(2ab)61，解得a·b6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22a·bb213，|ab|.|ab|2a22a·bb237.|ab|. 在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|要引起足夠重視，是求距離常用的公式【訓練2】 已知a與b是兩個非零向量，且|a|b|ab|，求a與ab的夾角解設a與ab的夾角為，由|a|b|得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22a·b|

9、b|2.a·b|a|2，而|ab|2|a|22a·b|b|23|a|2，|ab|a|.cos .0°180°，30°，即a與ab的夾角為30°.考向三平面向量的數(shù)量積與垂直問題【例3】已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.審題視點 利用abx1x2y1y20及abx1y2x2y10，求解解(1)若ab，則a·b(1，x)·(2x3，x)1×(2x3)x(x)0.整理，得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，則有1×(x)x(2x

10、3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.當x0時，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.當x2時，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.綜上，可知|ab|2或2. 已知兩向量垂直就是利用其數(shù)量積為零列出方程，通過解方程求出其中的參數(shù)值在計算數(shù)量積時要注意方法的選擇：一種方法是把互相垂直的兩個向量的坐標求出來，再計算數(shù)量積；另一種方法是根據(jù)數(shù)量積的運算法則進行整體計算，把這個數(shù)量積的計算化歸為基本的向量數(shù)量積的計算【訓練3】 已知平面內(nèi)A，B，C三點在同一條直線上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求實數(shù)m，n的值解由于A，B，C三點在同一條直線上，則

11、，(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即mnn5m90，又，2nm0.聯(lián)立，解得或規(guī)范解答10如何解決平面向量與解三角形的綜合問題【問題研究】 平面向量與三角的綜合性問題大多是以三角題型為背景的一種向量描述它需要根據(jù)向量的運算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角的相關知識來解答，三角知識是考查的主體考查的要求并不高，解題時要綜合利用平面向量的幾何意義等將題中的條件翻譯成簡單的數(shù)學問題【解決方案】 解決這類問題時，首先要考慮向量工具性的作用，如利用向量的模與數(shù)量積轉(zhuǎn)化邊長與夾角問題，然后注意三角形中邊角的向量關系式的表達形式，最后用三角知識規(guī)范解答【示例】 (本題滿分12分)(2010·安徽)ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cos A.(1)求·；(2)若cb1，求a的值 先求sin A，再利用面積公式求bc，最后利用數(shù)量積及余弦定理可解決解答示范 由cos A，得sin A .(2分)又bcsin A30，bc156.(4分)(1)