大學(xué)一年級高數(shù)期末考試題及答案

1、x 121第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案一.計算題（本題滿分 3535 分，共有 5 5 道小題，每道小題 7 7 分），x1 cosxx1 cosx2蘇2 2.設(shè)x 0時，fx與-是等價無窮小，ftdt與Axk等價無窮小，20求常數(shù)k與A.解:1 1.求極限xm01 cosxx2xsin3x解:x x1 cosx 2 limx 0.3sin xLim0X1叫,1 cosx xln2emon Xdidix3,1 cosx xln .2lim x 0, 1 cosxxlntim0,1 cosx xln2x3,1 cosx Inlim2x 0 x2sin x1cosx 2x4由于當(dāng)xt dt0時

2、，所以，limk 1x 06Akx3 3.如果不定積分3xf t dt與Axk等價無窮小，所以lim0 x 02 2X X V V3 3k kkxAk因此，2x ax3xf t dt-l 1.而Axk2- -X X叫H X2 2 - - 3 3X XkxAk k1kxA6 6叫H X1,中不含有對數(shù)函數(shù)，求常數(shù)a與b應(yīng)滿x 2213 3 / / 8 8足的條件.解:2將X ax b2 2x 11 x化為部分分式，有2xx 121x2ax b2AFlB Cx D x 1 1x因此不定積分2x ax b2 211 xdx中不含有對數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)D1 x2B 1 x2D x

3、12x 121x2所以，有x2axx2x22Dx B D.比較上式兩端的系數(shù)，有1B D, a2D,D.所以，得b 1.5 5.計算定積分52min 1,0dx.解:min 1,12x1x12x1xx3所以，52min 1,0dx11dx0 x dx52x22 dx5 5.設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為aSin33，求曲線C的全長.4 4 / / 8 8解:曲線r asn3一周的定義域為0E，即3.因此曲線C的全長為類可去型間斷點.可去型間斷點.333s_ r02r2d2 62 42.a sin a sin cos d0333 2asi nd03a a3 3- - 2 2二.（本題滿分4 45 59

4、9 分）,6 6.求lim -11豊 的所有間斷點，并指出這些間斷點的類型.解:sinf X limnsin x1 2x2n1212012121.212因此X12與X21是函數(shù)fX的間斷點.lim f x1X2lim 01X2lim12lim sin x121,因此X寸是函數(shù)fX的第一lim f x lim sin11XX22limx 12lim20 0，因此x 2是函數(shù)fx的第一類5 5 / / 8 87 7.設(shè)是函數(shù)farcs in x在區(qū)間0, b上使用 LagrangeLagrange （拉格朗日）中值定理中的“中值”，求極限momo解:06 6 / / 8 8f x arcsinx在

5、區(qū)間o, b上應(yīng)用 LagrangeLagrange 中值定理，知存在0, b，使得arcs inb arcs inO112b0.所以，221b.因此，arcs inb2momoHbHbb bmomoHbHbbarcsinbb2arcs inb2b2lim2廠b 0b arcs inb令t arcsinb，則有2 2空一b b叫HbHbmot t2 2n nsi simo3 3ILIL2 2n nsi si叫 I It t2 2inins s2 2cos2t12t211 cos2tlim廠6七0t212si n2tlim6t 02t 3 3- -b b叫H.DH.Drxrx以所8 8.設(shè)f x

6、xey0解:1f x dx0 xf在方程f x1 11ey2 y0dy再在方程f因此，2 ydy,1xf x dx0ey2 ydy中，01f x dx0ey 2 ydy 0.01 xey20 xf xydy兩端對x求導(dǎo)，x21xf x dx1xf x dx07 7 / / 8 88 8 / / 8 8由于a 0，所以limxf xlimx2 xaxe15limf xlim2 xaxe12x a lim 2x1 a limx12a lim 11.xxxexexe因此，得函數(shù)f x的性態(tài)X,000, 222,f x00f x14ae2112若4ae21 0，即a時，函數(shù)fx ax2ex1在，0、0

7、, 2、2, 4內(nèi)各有一個零點，即方程exax2在，內(nèi)有 3 3 個實根.2若4ae21 0，即a時，函數(shù)f x ax2ex1在，0、0,內(nèi)各4有一個零點，即方程exax2在，內(nèi)有 2 2 個實根.2 若4ae21 0，即a時，函數(shù)f x ax2ex1在，0有一個零點，4即方程exax2在，內(nèi)有 1 1 個實根.1010.設(shè)函數(shù)f x可導(dǎo)，且滿足f x x f x 1,f 00.1 v2xe dx exex2dx e1x2-e丄e 1.002029 9.研究方程xe2ax a0在區(qū)間,內(nèi)實根的個數(shù).解：設(shè)函數(shù)f x2 xax e1,fx-x2_x2axeax eax 2 x e.令f x0,

8、得函數(shù)f x的駐點人0,X22.1119 9 / / 8 8試求函數(shù)f x的極值.解:2x xx21 x1111.求曲線y x的一條切線，使得該曲線與切線l及直線x 0和x 2所圍 成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小.解：程為在方程f x x f x1中令t在方程組x xf xfx中消去f積分，注意f 00，得f x f 0 xt t01401 t22ln1x2arctanx.得函數(shù)f x的駐點X10,X21.而f X以，所以，10.20是函數(shù)f x極小值;1如;是函數(shù)fx極大值.三.應(yīng)用題與證明題（本題滿分 2020 分，共有 2 2 道小題，每道小題 1010 分），設(shè)切點坐標(biāo)為t,.

9、t,由yx在t, ,t處的切線方1010 / / 8 812、t Xt，或y2：%七.因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為12、tdx_ _84 3t2t所以，dVdt83t得駐點t，舍去t；.由于d2Vdt2163t2因而函數(shù)V在t23處達到極小值而且也是最小值.因此所求切線方程為y &1212.設(shè)函數(shù)f x在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間0,1內(nèi)可導(dǎo)，且,1arcta nxdx 2證明：至少存在一點0,1，使得f112arctan解:因為f X在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在，使得2fe0arcta nxdx efarctan2由于ef0arcta nxdx所以，-efarctan12.再由f10，得efarcta narctan1.作函數(shù)gef4arctan