控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

1、3.5 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.5  控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差描述控制系統(tǒng)的微分方程     (3.73)式（3.73）是一個(gè)高階微分方程，方程的解可以表示為     (3.74)式中，前兩項(xiàng)是方程的通解，而 是方程的一個(gè)特解。隨時(shí)間的增大，方程的通解逐漸減小，方程的解y(t)越來越接近特解。當(dāng)時(shí)，方程的通解趨于零     這時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入了穩(wěn)定狀態(tài)。特解是由輸入量確定的，反映了控制的目標(biāo)和要求。系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，能否達(dá)到預(yù)期的控制目的，能

2、否滿足必要的控制精度，要解決這個(gè)問題，就必須對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性進(jìn)行分析。穩(wěn)態(tài)特性的性能指標(biāo)就是穩(wěn)態(tài)誤差。  穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的誤差可以表示為              (3.75)式中是被控制變量的期望值，y(t)是被控制變量的實(shí)際值，即控制系統(tǒng)的輸出。穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，在輸入變量的作用下，動態(tài)過程結(jié)束后，進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的誤差，稱為穩(wěn)態(tài)誤差圖3.23 單位反饋和非單位反饋系統(tǒng)（a)單位反饋系統(tǒng)；（b)非單位反饋系統(tǒng)在控制工程中，常用控制系統(tǒng)的偏差信號來

3、表示誤差。對圖3.23（a)所示的單位反饋系統(tǒng)，誤差與偏差的含義是相同的，即            (3.76)式中r(t)為系統(tǒng)的給定值，也就是輸出y(t)的期望值。單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:         (3.77)對圖3.23（b)所示的非單位反饋系統(tǒng)，因?yàn)榉答佔(zhàn)兞縡(t)并不與輸出變量y(t)完全相同，所以給定值與反饋?zhàn)兞恐?，即偏差并不是?.75）式意義上的誤差。但如果反

4、饋環(huán)節(jié)H(s)不含有積分環(huán)節(jié)，在時(shí)，由于暫態(tài)項(xiàng)的消失，反饋量與輸出量之間就只差一個(gè)比例系數(shù)我們認(rèn)為反饋量可以代表輸出量，于是，定義非單位反饋系統(tǒng)的誤差為              (3.78)式中r(t)是非單位反饋系統(tǒng)的給定值，f(t)是反饋信號。根據(jù)圖3.23（b)非單位反饋系統(tǒng)各環(huán)節(jié)間信號的關(guān)系，可得         (3.79)如果把單位反饋系統(tǒng)看成是一般反饋

5、系統(tǒng)的特殊情況，則（3.79）式就被定義為控制系統(tǒng)誤差的拉普拉斯變換表達(dá)式。根據(jù)拉普拉斯變換的終值定理得即         (3.80)式（3.80）表明，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅僅是由系統(tǒng)本身的特性決定的，還與輸入函數(shù)有關(guān)。同一個(gè)系統(tǒng)在輸入信號不同時(shí)，可能有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。也就是說控制系統(tǒng)對不同的輸入信號，控制精度是不同的。  積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響式（3.80）中的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為         

6、;      (3.81)式中K表示系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。N表示開環(huán)傳遞函數(shù)所包含的積分環(huán)節(jié)數(shù)。在分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，我們根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)所含的積分環(huán)節(jié)數(shù)來對系統(tǒng)進(jìn)行分類。若N=0，即控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不含積分環(huán)節(jié)，稱為0型系統(tǒng)。若N=I,則稱為I型系統(tǒng)。N= ,稱為型系統(tǒng)?，F(xiàn)在，我們來討論不同類型的控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。1.  單位階躍函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍函數(shù)輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為         

7、                       (3.82)如果我們定義          (3.83)式中稱為位置誤差系數(shù)，則單位階躍輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為        (3.84)對于0

8、型系統(tǒng)           (3.85)           (3.86)穩(wěn)態(tài)誤差為           (3.87)式（3.87）說明，0型系統(tǒng)在單位階躍輸入下是有穩(wěn)態(tài)誤差的。所以我們稱0型系統(tǒng)對單位階躍輸入是有差系統(tǒng)?？梢酝ㄟ^增大開環(huán)放大系數(shù)K使穩(wěn)態(tài)誤差減小，但不能

9、消除，因?yàn)橄到y(tǒng)本身的特性決定了穩(wěn)態(tài)誤差不可能完全消除。對于型或型系統(tǒng)：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為型            (3.88)型           (3.89)系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)         (3.90)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為    &#

10、160;       (3.91)（3.91）式說明，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，系統(tǒng)必須含有積分環(huán)節(jié)?？梢钥闯?，積分環(huán)節(jié)具有消除穩(wěn)態(tài)誤差的作用。2.  單位斜坡函數(shù)輸入的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡函數(shù)輸入下控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為   定義         (3.93)則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為         (3.9

11、4)式中，稱為速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)           穩(wěn)態(tài)誤差為         (3.95)對于型系統(tǒng)                 (3.96)穩(wěn)態(tài)誤差為     (

12、3.97)式中K為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。對于型系統(tǒng)            (3.98)穩(wěn)態(tài)誤差為               (3.99)在單位斜坡函數(shù)輸入下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大。這說明0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡函數(shù)。I型系統(tǒng)雖然可以跟蹤單位斜坡輸入函數(shù)，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，即I型系統(tǒng)對斜坡輸入是有差的。若要在單位斜坡函數(shù)作用下達(dá)到

13、無穩(wěn)態(tài)誤差的控制精度，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)必須含有二個(gè)以上的積分環(huán)節(jié)。3.  單位拋物線函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位拋物線輸入函數(shù)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為                       (3.100)定義            (3.1

14、01)則有            (3.102)式中稱為加速度誤差函數(shù)。對0型系統(tǒng)             (3.103)對表3.2  典型輸入信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)類型誤差系數(shù)輸入r(t)=1輸入r(t)=t輸入r(t)=0型K00型K0型K型系統(tǒng)       

15、       (3.104)對型系統(tǒng)          (3.105)K為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。在拋物線函數(shù)輸入下，0型、型系統(tǒng)都不能使用。型系統(tǒng)則是有差的。若要消除穩(wěn)態(tài)誤差，必須選擇 型以上的系統(tǒng)。但系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)太多，動態(tài)特性就會變壞，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。工程上很少應(yīng)用型以上的系統(tǒng)。表3.2給出了典型輸入函數(shù)作用下各型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。從以上討論中可以得出結(jié)論：積分環(huán)節(jié)具有消除穩(wěn)態(tài)誤差的作用。這就是許多控制系統(tǒng)中引入積分環(huán)節(jié)

16、的原因。誤差系數(shù)是利用拉普拉斯變換終值定理得出的，它只是時(shí)間趨于無窮大時(shí)的值，因此是靜態(tài)誤差系數(shù)，它們并不反映誤差隨時(shí)間變化的情況。  擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差以上我們討論了控制系統(tǒng)對給定值信號的穩(wěn)態(tài)誤差。在控制系統(tǒng)受到擾動時(shí)，即使給定值不變，也會產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的元件受環(huán)境影響、老化、磨損等會使系統(tǒng)特性發(fā)生變化，也可以產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差大小反映了系統(tǒng)抗干擾的能力。圖3.24是一個(gè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。我們現(xiàn)在來討論這個(gè)系統(tǒng)在擾動d(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。按疊加原理，我們假定R(s)=0,系統(tǒng)中只有擾動輸入。系統(tǒng)在擾動作用下的輸出為圖3.24 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖誤差為利用拉普拉斯變換的終值定理得