傳染病傳播的數(shù)學模型

1、傳染病 傳播的數(shù)學模型很多醫(yī)學工作者試圖從醫(yī)學的不同角度來解釋傳染病傳播時的 一種現(xiàn)象，這種現(xiàn)象就是在某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時，每 次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)。 結果都不能令人滿意，后來由于數(shù) 學工作者的參與，用建立數(shù)學模型來對這一現(xiàn)象進行模擬和論證，得到了較滿意的解答。一種疾病的傳播過程是一種非常復雜的過程， 它受很多社會因素 的制約和影響，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大 小，排除率的大小，人口的出生和死亡，還有人員的遷入和遷出，潛 伏期的長短，預防疾病的宣傳以及人的個體差異等。 如何建立一個與 實際比較吻合的數(shù)學模型，開始顯然不能將所有因素都考慮進去。 為 此，必

2、須從諸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把問題簡 化，建立相應的數(shù)學模型。將所得結果與實際比較，找出問題，修改 原有假設，再建立一個與實際比較吻合的模型。從而使模型逐步完善。 下面是一個由簡單到復雜的建模過程， 很有代表性，讀者應從中體會 這一建模過程的方法和思路。1 .最簡單的模型假設：(1)每個病人在單位時間內傳染的人數(shù)是常數(shù) k; (2) 一 個人得病后經久不愈，并在傳染期內不會死亡。以i(t)表示t時刻的病人數(shù)，k0表示每個病人單位時間內傳染的人數(shù)， i(0)= L表示最初時有1個傳染病人，則在 川時間內增加的病人數(shù)為i t t it = k0i t tdi t dt=ki t(

3、2.1)兩邊除以At,并令 t -0得微分方程i 0 = i。kot其解為it = ioe這表明傳染病的轉播是按指數(shù)函數(shù)增加的。這結果與傳染病傳播初期比較吻合，傳染病傳播初期，傳播很快，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長。但由(2.1)的解可知，當t-s時，i(t)-s,這顯然不符合實 際情況。最多所有的人都傳染上就是了。那么問題在那里呢？問題是 就出在于兩條假設對時間較長時不合理。特別是假設 (1),每個病人 單位時間內傳染的人數(shù)是常數(shù)與實際情況不符。因為隨著時間的推移，病人越來越多，而未被傳染的人數(shù)卻越來越少，因而不同時期的 傳播情況是不同的。為了與實際情況較吻合，我們在原有的基礎上修 改假設建立新

4、的模型。2 .模型的修改將人群分成兩類：一類為傳染病人，另一類為未被傳染的人， 分別用i(t)和s(t)表示t時刻這兩類人的人數(shù)。i (0)= io。假設：(1)每個病人單位時間內傳染的人數(shù)與這時未被傳染的 人數(shù)成正比。即ko = ks(t)；(2) 一人得病后，經久不愈，并在傳染期內不會死亡。由以上假設可得微分方程di t ks t i tdts t i t = n(2.2)這是變量分離方程，用分離變量法可求得其解為nn11 eioknt(2.3)其圖形如下圖2-1所示13 / 11模型(2.2)可以用來預報傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時詢醫(yī)學上稱d：一t為傳染病曲線，它表示傳染病人的

5、增加率與時 dt間的關系，如圖2-2所示。由（2.3）式可得di出2 n )kn - -1 IeJ。)2-knt(2.4).2.d i td2i t再求二階導數(shù) dt?，并令 出2 = 0，可解得極大點為tlkn(2.5)從（2.5）式可以看出，當傳染病強度k或人口總數(shù)n增加時，ti都將變小，即傳染病高峰來得快。這與實際情況吻合。同時，如果知 道了傳染率k（k由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到），即可預報傳染病高峰ti到來的時間, 這對于預防傳染病是有益處的。模型（2.2）的缺點是：當t-s時，由（2.3）式可知i（t）-n,即最 后人人都要得病。這顯然與實襪情況不符。造成這個結果的原因是假 設（2）中假設一人得

6、病后經久不愈，也不會死亡。為了得到與實際情況更吻合的模型，必須修改假設 （2）。實際 上不是每個人得病后都會傳染別人，因為其中一部份會被隔離，還有 由于醫(yī)治和人的身抵抗力會痊愈，有的人會死亡從而也就不再會傳染給別人了。因此必須對模型作進一步的修改，建立新的模型。三 . 模型的進一步完善從上面的分析我們看到模型(2.2) 的假設 (2) 是不合理的。即不可能一人得病后會經久不愈，必有一部份人因醫(yī)治或自身的免疫力， 或是被隔離， 或是死去而成為不會再繼續(xù)傳染給別人的第三類人。因此我們把人群分成三類：第一類由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的。用 I(t) 表示 t 時刻第一類人數(shù)。第二類是由并

7、非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用 S(t) 表示 t 時刻第二類人數(shù)。第三類包括患病后死去的人，病愈后具有長期免疫力的人，以及在得病后被隔離起來的人。用 R(t) 表示 t 時刻第三類人數(shù)。假設疾病傳染服從下列法則：(1) 在所考慮的時期內人口總數(shù)保持在固定水平N ， 即不考慮出生及其他原因引起的死亡，以及人口的遷入遷出的情況。(2)易受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類的人數(shù)I(t)與第 二類人粉S(t)的乘積。(3) 由第一類向第三類轉變的速度與第一類的人數(shù)成正比。在這三條假設情況下可得如下微分方程：dSdi一dtdR.dt-rsirsi - II(2.6)其中r、入為

8、比例常數(shù)，為傳染率，入為排除率。由方程(2.6)的三個方程相加得d .St It R t =0dt 一則S( t+I)t+(R蠟數(shù)=(小口總數(shù))故 R t = N- S t- I t因此只要求出S(t)、I(t)即可求出R(t)。得積分得dSdl dtrSIrSI -(2.7)dI rSI - I , =1 dS -rSIrS(2.8)I S -S Tn S cr由初始條件：當t = to日寸，I( to)= Io, S( to)= So并記方程組(2.6)的第一個和第二個方程與 R(t)無關。因此，由代入上式可確定常數(shù)c = I 0 S 0 ln S 0S最后得I S = I0S0 - S

9、ln S0(2.9)下面我們討論積分曲線(2.9)的性質，由(2.8)知fPp II, S -1 一 二 0 S -Sl0 SVP所以當S P時，I(S)是S的減函數(shù)。又有l(wèi)(0)=s, I(&)= 1。0,由連續(xù)函數(shù)的中間值定理及單調性知，存在唯一點S*, 0S望0dS 八 dl由(2.7)知1=0時,dT0,dT0所以0，)為方程組 (2.7)的平衡點當t之t0時，方程(2.9)的的圖形如圖2-3。當t由卜變到國時, 點(S(t),l(t)沿曲線(2.9)移動，并沿S減少的方向移動，因為S(t)隨 時間的增加而單調減少。因此，如果 S。小于p ,則I(t)單調減少到 零，S(t)單調減少到

10、 S。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者 I。分 散在居民S0中，且S0 P ,則隨著S(t)減少到P時，I(t)增加，且當S=P時，I(t)達到最大值。當S(t) P時I(t)才開始減少。由上分析可以得出如不結論：九只有當居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值P = 一時傳染r病才會蔓延。用一般常識來檢驗上面的結論也是符合的。當人口擁擠，密度 高，缺少應有的科學文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排 除率低時，傳染病會很快蔓延；反之，人口密度低，社會條件好，有 良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時， 則傳染病在有限范圍內 出現(xiàn)會很快被消滅。r傳染病學中的閾值定理設S0 = p + r ,且假設y

11、同i相比是小量。并設最初傳染者人數(shù)I0很小，則最終患病人數(shù)為2r。即是易 受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少， 那么最終就會比閾值低多少。這 就是有名的傳染病 閾值定理。生物數(shù)學家Kermack和Mekendrick在 1927年首先證明了這個定理(證明從略)根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來估計最終患病的人數(shù)。這定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對于某一 民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù) 的現(xiàn)象。在傳染病發(fā)生的過程中，不可能準確地調查每一天或每一星期 的得病人數(shù)。因為只有那些來醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病， 并把他們隔離起來防止傳染。因此，統(tǒng)計的記

12、錄是每一天或星期新排 除者的人數(shù)，而不是新得病的人數(shù)。所以，為了把數(shù)學模型所預示的 結果同疾病的實際情況進行比較，必須解出(2.6)中的第三個方程。dR出-SR sd d dS7-SR.peN - R- SRdR_，從而有 dt N R S0e (2.10)方程(2.10)雖是可分離變量的方程，但是不能用顯式求解，如果傳染病不嚴重，則R/p是小量，取泰勒級數(shù)前三項有R2-? d R十1(R、十e =1 十一十p 2。從而其解其中因此dR dtN-R-S0 1-I 1So-1 |R- -ri-1 + atanh a?、t -412So J + 2So(N-So)；2=tanh-110 J1圾乃 sech23%tddt2S012)(2.11),dR方程(2.11)在t瓦 平面上定義了一條對稱鐘形曲線，稱為疾病傳染曲線。疾病傳染曲線很好地說明了實際發(fā)生的傳染病的情況：每 天報告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來。Kermak和Mekendrick把(2.11)得到的值，同取自1905年下半年至1906年上半年在印度孟買發(fā)生的瘟疫資料進行比較，他們 假設dR = 890sech2 0.2t - 3.4 dt其中t按星期計，在圖2-4中的實際數(shù)字(圖中用“.”表示)同理論曲線非常一致。