小升初奧數(shù)專題_第一講行程問題

1、小升初奧數(shù)專題講座第一講 行程問題走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量： 距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等； 速度在單位時間例如 1 小時行走或移動的距離； 時間行走或移動所花時間 .這三個數(shù)量之間的關系，可以用下面的公式來表示：距離=速度X時間很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量 . 從數(shù)學上說，這是一種 最根本的數(shù)量關系，在小學的應用題中，這樣的數(shù)量關系也是最常見的，例如總量=每個人的數(shù)量X人數(shù).工作量=工作效率X時間.因此， 我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題 .當然， 行程問題有它單獨的特點，在

2、小學的應用題中，行程問題的容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學， 而且在中學數(shù)學、物理的學習中，也是一個重點容 .因此，我們非常希 望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用 5 千米/小時表示速度是每小時 5 千米，用 3 米/秒表示速度是每秒 3米1.1 追及與相遇有兩個人同時在行走，一個走得快， 一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些 時間就能追上他 .這就產(chǎn)生了“追及問題 .實質(zhì)上， 要算走得快的人在某一段時間， 比走得 慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差 .如果設甲走得快，乙走得慢，在相同 時間，甲走的距離 - 乙走的距離=甲的速度X時

3、間-乙的速度X時間=甲的速度-乙的速度X時間通常，“追及問題要考慮速度差例1小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米？解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間此時，小轎車比面包車多走了 9千米，而小轎車與面包車的速度差是 6千米/小時，因 此所用時間=9十6 = 1.5 小時.小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門 9千米，說明小轎 車的速度是54 千氷"卜時一面包車速度是 54-6 = 48 千米/

4、小時.城門離學校的距離是48 X 1.5 = 72 千米.答：學校到城門的距離是 72千米.例2小從家到公園，原打算每分種走 50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分 鐘走75米問家到公園多遠？解一：可以作為“追及問題處理假設另有一人，比小早10分鐘出發(fā)考慮小以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50 X 10- 75- 50 = 20 分鐘因此，小走的距離是75 X 20 = 1500 米答：從家到公園的距離是 1500米還有一種不少人采用的方法解二 小張加快速度后，每走氓 可節(jié)約時間務鼎 分鉛 因此家到公園的距離是1Q+ 丄-丄；=1500氷.一種解法好不好，首先是“易于思考，其次

5、是“計算方便那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進行比擬，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路例3 輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上；如果速度是35千米/小時，要40分鐘才能追上問自行車的速度是多少？解一：自行車1小時走了30 X 1-已超前距離，自行車40分鐘走了35 X駕己超前距離，60自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是答：自行車速度是 20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離十速度差1小時與40分鐘是3 : 2.所以兩者的速度差之比是 2 : 3.請看下面示意圖：且疔車速度I1逹度血千米"h時卜邃賽?

6、連度和千米小0卄輕度專w耳馬上可看出前一速度差是 15.自行車速度是35- 15 = 20 千米/小時.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)， 8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他， 在離 家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是 8千米，這時是幾點幾分？解：畫一簡單的示意圖：4千米4千米案 ft.|沓明彳暫爸圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4 = 4 千米.而爸爸騎的距離是 4 + 8 = 12 千米.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明

7、騎自行車速度的12十4= 3 倍.按照這個倍數(shù) 計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行 8X 3= 24 千米.但事實上，爸爸少用了 8分鐘，騎行了4+ 12= 16 千米.少騎行24-16 = 8 千米.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+ 8 + 16 = 32.答：這時是8點32分.F面講“相遇問題小王從甲地到乙地，小從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質(zhì)上是小王和小一起走了甲、 乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度x時間+乙的速度x時間=甲的速度+乙的速度X時間.“相遇問題，常常要考慮兩人的速度和.例5小從甲地到乙地步行需要 36分鐘，小

8、王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長的距離，小花費的時間是小王花費時間的36十12= 3 倍，因此自行車的速度是步行速度的 3倍，也可以說，在同一時間，小王騎車走的距離是小步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了 3段，小走了 1段，小花費的時間是36+ 3+ 1 = 9 分鐘.答：兩人在9分鐘后相遇.例6小從甲地到乙地，每小時步行 5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離解：畫一示意圖I1甲壬 a 乙離中點1千米的地方是 A點，從圖上可以看出

9、，小走了兩地距離的一半多 1千米，小王 走了兩地距離的一半少 1千米.從出發(fā)到相遇，小比小王多走了2千米小比小王每小時多走5-4 千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2+ 5-4 = 2 小時.因此，甲、乙兩地的距離是5 + 4 X 2 = 18 千米.此題外表的現(xiàn)象是“相遇，實質(zhì)上卻要考慮“小比小王多走多少？ 豈不是有“追及 的特點嗎？對小學的應用題，不要簡單地說這是什么問題重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想千萬不要“兩人面對面就是“相遇，“兩人一前一后就是“追及請再看一個例子例7甲、乙兩車分別從 A, B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點

10、.如果甲車 速度不變，乙車每小時多行 5千米，且兩車還從 A B兩地同時出發(fā)相向而行，那么相遇地點 距C點12千米；如果乙車速度不變， 甲車每小時多行5千米，且兩車還從A, B兩地同時出 發(fā)相向而行，那么相遇地點距 C點16千米.求A, B兩地距離.解：先畫一行程示意圖如下1_1216f1丸D Cek設乙加速后與甲相遇于 D點，甲加速后與乙相遇于 E點.同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的不管甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不管在D點相遇，還是在 E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決此題的關鍵下面的考慮重點轉(zhuǎn)向速度差在同樣的時間，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能

11、到D點這兩點距離是12 + 16 =28 千米，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時因此，在D點或E點相遇所用時間是28 - 5= 5.6 小時比C點相遇少用6-5.6 = 0.4 小時甲到達D,和到達C點速度是一樣的，少用 04小時，少走12千米，因此甲的速度是12-0.4 = 30 千米 / 小時同樣道理，乙的速度是16- 0.4 = 40 千米 / 小時A到B距離是30 + 40 X 6= 420 千米答：A , B兩地距離是420千米很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題 .例8如圖，從A到B是1千米下坡路，從 B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米 上坡路小和小王步行，下坡的速

12、度都是 6千米/小時，平路速度都是 4千米/小時，上坡速 度都是2千米/小時 /問：1 小和小王分別從 A, D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇？2相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當某一個人到達終點時，另一人離終點還有多少千米？解：1小從A到B需要1十6X 60 = 10 分鐘；小王從D到C也是下坡，需要2.5 十6 X 60= 25 分鐘；當小王到達 C點時，小已在平路上走了 25-10 = 15 分鐘，走 了因此在B與C之間平路上留下 3- 1 = 2 千米由小和小王共同相向而行， 直到相遇,所需時間是2 + 4+ 4 X 60= 15 分鐘從出發(fā)到相遇的時間是25+ 15 = 40 分鐘

13、2相遇后，小王再走 30分鐘平路，到達 B點，從B點到A點需要走1十2X 60=30分鐘，即他再走60分鐘到達終點.小走15分鐘平路到達 D點，45分鐘可走=千氷-ol小離終點還有2.5-1.5=1 千米.答：40分鐘后小和小王相遇.小王到達終點時，小離終點還有1千米.1.2 環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關例9小和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.1 小和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小的速度是 多少米/分？2 小和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小跑多少圈后才能第一次追上小王？

14、解：175秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小的速度是500 - 1.25-180=220 米 / 分.2在環(huán)形的跑道上，小要追上小王，就是小比小王多跑一圈一個周長，因此需 要的時間是500- 220-180 = 12.5 分.220X 12.5 - 500 = 5.5 圈.答：1小的速度是220米/分；2小跑5.5圈后才能追上小王.例10如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小在 A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80 米;在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一

15、圈從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從 A到C距離的3倍,即A至U D是80 X 3= 240 米.240-60=180 米.180 X 2= 360 米.答：這個圓的周長是 360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11甲村、乙村相距6千米，小與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走到達另一村后就馬上返回在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇小王到達甲村后返回， 在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇 問小和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：

16、如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是40 X 3-60= 2 小時從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小已走了6X 2-2 = 10 千米小王已走了 6 + 2=8 千米因此，他們的速度分別是小10 2= 5 千米/小時，小王8十2=4 千米/小時答：小和小王的速度分別是 5千米/小時和4千米/小時例12小與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走到達另一村后就馬上返回，他們在離甲村 3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠相遇指迎面相遇？解：畫示意圖如下3.5 X 3=

17、 10.5 千米.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2 = 8.5 千米.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離3+ 2 + 2倍的行程.其中走了3.5 X 7= 24.5 千米，24.5=8.5 + 8.5 + 7.5 千米.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1 千米.答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題 .例13繞湖一周是24千米，小和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行 .小王以4千米 /小時速度每走1小時后休息5分鐘；小以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問:

18、 兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？解：小的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出 下表：小王時閭1小時5分廿閥10分3小時1丘分行程4千米呂干米12千米小張時間曲2勺、時分行程5千米W千米15千米12+ 15= 27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小已走了1C1 + 5X = 11 千托-此時兩人相距24- ( 8+ 11) =5 (千米)由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是5-( 4+ 6)= 0.5 (小時).2小時10分再加上半小時是 2小時40分.答：他們相遇時是出發(fā)后 2小

19、時40分.例14 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A, B, C分別在這3個點上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行 .A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒,爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置?解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差 30厘米,每秒鐘B能追上C (5-3 )厘米0.30-( 5-3 )= 15 (秒).因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90-( 5-3 )= 45 (秒).B與C到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15, 105, 150

20、, 195,再看看A與B什么時候到達同一位置.第一次是出發(fā)后30-( 10-5 ) =6 (秒)，以后再要到達同一位置是A追上B 一圈.需要90-( 10-5 )= 18 (秒)，A與B到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6, 24, 42, 78, 96,答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置請思考，3只爬蟲第二次到達同一位置是出發(fā)后多少秒？例15圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P,同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M,同時

21、反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在A至N距離 E至NS巨離解：兩車同時出發(fā)至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇，解題過程就是時間的計算要計算方便，取什么作計算單位是很重要的設汽車行駛CD所需時間是1.根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比，可得出汽車行駛BC所需時間是魯汽車行駛AB所需時伺是善嶺汽車行駛AD所需時間是U 4分數(shù)計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛 CD BC, AB, AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點同時反向各發(fā)一輛車，它們在 AB中點相遇.P t DA與Pt 3 B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間=DA所需時間-CB所需時間=1

22、8-12=6.而PC上所需時間+PD上所需時間是 CD上所需時間24.根據(jù)“和差計算得PC上所需時間是24+6+ 2= 15,PD上所需時間是 24-15 = 9.現(xiàn)在兩輛汽車從 M點同時出發(fā)反向而行，MR Pt “2 N與MR S N所用時間相等.M是PC中點P r DR Ar N與CrBr N時間相等，就有BN上所需時間-AN上所需時間=Pt dr A所需時間-CB所需時間=(9+ 18) -12=15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間=16.立即可求BN上所需時間是15.5 , AN所需時間是0.5.距離 AN所需時間 05 1 B至N距高'二BN所需吋同二 辰 =

23、IT從這一例子可以看出，對要計算的數(shù)作一些準備性處理，會使問題變得簡單些1.3 稍復雜的問題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：(1 )在行程中能設置一個解題需要的點；(2)靈活地運用比例.例16小王的步行速度是 4.8千米/小時，小的步行速度是 5.4千米/小時，他們兩人從 甲地到乙地去.小騎自行車的速度是 10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發(fā), 在小與小相遇后5分鐘，小王又與小相遇.問：小騎車從乙地到甲地需要多少時間？解：畫一示意圖：壬張李1 1 1 1單BA圖中A點是小與小相遇的地點， 圖中再設置一個 B點，它是、兩人相遇時小王到達的地 點.5分鐘后小王與小相遇，也

24、就是 5分鐘的時間，小王和小共同走了 B與A之間這段距離, 它等于(4.X + 10.& ) X 1.3 (千米)60這段距離也是出發(fā)后小比小王多走的距離，小王與小的速度差是5.4-4.8 千米/小時.小比小王多走這段距離，需要的時間是1.3 - 5.4-4.8 X 60=130 分鐘.這也是從出發(fā)到、相遇時已花費的時間.小的速度10.8千米/小時是小速度5.4千米/小時的2倍.因此小從A到甲地需要130 - 2=65 分鐘.從乙地到甲地需要的時間是130 + 65=195 分鐘=3 小時 15 分.答：小從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇，又有“追及，思考時

25、要分幾個層次，弄清相互 間的關系，問題也就迎刃而解了.在圖中設置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門 口步行向東去快？姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4 ： 1,那么從公園門口到目的地的距離超過 2千米時，回家取車才合算.請推算一下，從公園到他們家的距離 是多少米？ 解：先畫一示意圖一IK-1>家公園B人設A是離公園2千米處，設置一個 B點，公園離B與公園離家一樣遠.如果從公園往西 走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點

26、.現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成：騎車從家開始，步行從 B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠處追上步行.具體計算如下：不妨設B到A的距離為1個單位，因為騎車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到 B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是1 + 1.5 = 2.5 單位.每個單位是 2000 - 2.5 = 800 米.因此，從公園到家的距離是800 X 1.5 = 1200 米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的請再看一例.例18快車和慢車分別從 A, B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.慢 車從B到A用了 12.5小時，慢車到 A停留半

27、小時后返回.快車到B停留1小時后返回問： 兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間？解：畫一示意圖：_ 1C才、一一 -AD1CB設C點是第一次相遇處慢車從B到C用了 5小時，從C到A用了 12.5-5=7.5 小時. 我們把慢車半小時行程作為 1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個 單位，快車每小時走 3個單位.有了上面“取單位準備后，下面很易計算了慢車從C到A，再加停留半小時，共 8小時.此時快車在何處呢？去掉它在 B停留1小 時.快車行駛7小時，共行駛3X 7=21單位.從B到C再往前一個單位到 D點.離A點15-1 =14 單位.現(xiàn)在慢車從A,快車從D,同時出發(fā)共同

28、行走14單位，相遇所需時間是14- 2 + 3= 2.8 小時.慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.5 + 0.5 + 2.8 = 10.8 小時.答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用 2小時.回來時順水，比去時的速度每小時 多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛?cè)痰囊话霑r間，因為去時逆水，小船到達不了B地.我們在B之前設置一個C點，是小船逆水行駛 1小時到達處.如下列圖31CB第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順水速度比逆水速

29、度每小時多行駛8千米，在圖中再設置 D點，D至C是8千米.也就是D至A順水行駛時間是1小時.現(xiàn)在就一目了然了 .D至B是5千米順水行駛， 與C至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此順水速度：逆水速度=5 : 3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出 = 12 千米/小時A至B距離是12 + 3=15 千米.答：A至B兩地距離是15千米.例20從甲市到乙市有一條公路， 它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時 40千米， 在第二段上，汽車速度是每小時 90千米，在第三段上，汽車速度是每小時 50千米.第 一段公路的長恰好是第三段的 2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行。1小時20分后，

30、在第二段的 換從舸乙方同的處相遇，畝札乙兩啊距勒千怡33解一：畫出如下示意圖:第三段；乙當從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的lx2505到達D處，這樣，D把第一段分成兩局部兩車在第二段前+處相遇，說明甲城汽車從D起到E走完第一段，與 乙城汽車走完第二段的扌從C到F,所用時間相同設這一吋間為1粉，1小時20分相當于一份有別亠礙4 分鐘因此就知道，汽車在第一段需要230X分鐘s第二段需要30 X 3 = 90 分鐘；9第三段需要?OX| = 2O 分鐘；甲、乙兩市距離是40+ 9。X -h j0 ； - = 185千氷.60 60 60答：甲、乙兩市相距 185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應地一樣.這樣通過“所用時間使各段之間建立了換算關系.這是一種典型