高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-36空間向量及應(yīng)用

1、一【課標(biāo)要求】（1）空間向量及其運(yùn)算 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過(guò)程； 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示； 掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示； 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直。（2）空間向量的應(yīng)用 理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量； 能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直、平行關(guān)系； 能用向量方法證明有關(guān)線(xiàn)、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線(xiàn)定理）； 能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用二【命題走向】本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向

2、量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度三【要點(diǎn)精講】1空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線(xiàn)段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等的向量。說(shuō)明：由相等向量

3、的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相等，用同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示；平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2向量運(yùn)算和運(yùn)算率 加法交換率：加法結(jié)合率：數(shù)乘分配率：說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立3平行向量(共線(xiàn)向量)：如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量。平行于記作。 注意：當(dāng)我們說(shuō)、共線(xiàn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也可能是平行直線(xiàn)；當(dāng)我們說(shuō)、平行時(shí)，也具有同樣的意義。共線(xiàn)向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）、，

4、的充要條件是存在實(shí)數(shù)使注：上述定理包含兩個(gè)方面：性質(zhì)定理：若（0），則有，其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使（0），則有（若用此結(jié)論判斷、所在直線(xiàn)平行，還需（或）上有一點(diǎn)不在（或）上）。對(duì)于確定的和，表示空間與平行或共線(xiàn)，長(zhǎng)度為 |，當(dāng)>0時(shí)與同向，當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量若直線(xiàn)l，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式。推論：如果 l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線(xiàn)，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿(mǎn)足等式 其中向量叫做直線(xiàn)l的方向向量在l上取，則式可化為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則 或叫做空間直

5、線(xiàn)的向量參數(shù)表示式，是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基礎(chǔ)，也是常用的直線(xiàn)參數(shù)方程的表示形式；推論的用途：解決三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題。結(jié)合三角形法則記憶方程。4向量與平面平行：如果表示向量的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量平行于平面，記作。注意：向量與直線(xiàn)a的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線(xiàn)，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使注：與共線(xiàn)向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)

6、P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x, y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式又代入，整理得 由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，只要滿(mǎn)足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿(mǎn)足等式、，所以等式、都是由不共線(xiàn)的兩個(gè)向量、（或不共線(xiàn)三點(diǎn)M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件5空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使說(shuō)明：由上述定理知，如果三個(gè)向量、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個(gè)集合可看作由向量、生成的，所以我們把，叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向

7、量；空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于可視為與任意非零向量共線(xiàn)。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使6數(shù)量積（1）夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，則角AOB叫做向量與的夾角，記作ABO（1）OAB（2）ABO（3）說(shuō)明：規(guī)定0,因而=；如果=，則稱(chēng)與互相垂直，記作；ABO（4）在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線(xiàn)段的起點(diǎn)重合，注意圖（3）、（4）中的兩個(gè)向量的夾角不同

8、，圖（3）中AOB=，圖（4）中AOB=,從而有=.（2）向量的模：表示向量的有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。（3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。ABl即=，向量:（4）性質(zhì)與運(yùn)算率。 =0 = 四【典例解析】題型1：空間向量的概念及性質(zhì)例1有以下命題：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線(xiàn)；為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是（ ） 解析：對(duì)于“如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線(xiàn)”；所以錯(cuò)誤。正確。點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)給出命題的形式考察了空間

9、向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系例2下列命題正確的是（ ）若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)；向量共面就是它們所在的直線(xiàn)共面；零向量沒(méi)有確定的方向；若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得；解析：A中向量為零向量時(shí)要注意，B中向量的共線(xiàn)、共面與直線(xiàn)的共線(xiàn)、共面不一樣，D中需保證不為零向量答案C。點(diǎn)評(píng)：零向量是一個(gè)特殊的向量，時(shí)刻想著零向量這一特殊情況對(duì)解決問(wèn)題有很大用處。像零向量與任何向量共線(xiàn)等性質(zhì)，要兼顧題型2：空間向量的基本運(yùn)算例3如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，則下列向量中與相等的向量是（ ） 解析：顯然；答案為A。點(diǎn)評(píng)：類(lèi)比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過(guò)程，掌握好空間向

10、量的用途。用向量的方法處理立體幾何問(wèn)題，使復(fù)雜的線(xiàn)面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力例4已知：且不共面.若,求的值.解：,且即又不共面,點(diǎn)評(píng)：空間向量在運(yùn)算時(shí)，注意到如何實(shí)施空間向量共線(xiàn)定理。題型3：空間向量的坐標(biāo)例5（1）已知兩個(gè)非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（）A. ：|=：|B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，則x+y的值是（）A. 3或1 B

11、.3或1 C. 3 D.1（3）下列各組向量共面的是（）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D；點(diǎn)撥：由共線(xiàn)向量定線(xiàn)易知；（2）A點(diǎn)撥：由題知或；（3）A點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得點(diǎn)評(píng)：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考察共線(xiàn)、垂直時(shí)參數(shù)的取值情況例6已知空間三點(diǎn)A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。設(shè)=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k2互相垂直，求k的值.

12、思維入門(mén)指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.解：A(2，0，2)，B（1，1，2），C(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=（1，0，2）.(1)cos=，和的夾角為。(2)k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k2=（k+2，k，4），且(k+)（k2），（k1，k，2）·（k+2，k，4）=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。則k=或k=2。點(diǎn)撥：第（2）問(wèn)在解答時(shí)也可以按運(yùn)算律做。（+）(k2)=k22k·22=2k2+k10=0，解得k=，或k=2。題型4：數(shù)量積例72009江西卷文）如圖，

13、在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為. . 截面 . . 異面直線(xiàn)與所成的角為答案：C【解析】由，可得，故正確；由可得截面，故正確； 異面直線(xiàn)與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯(cuò)誤的，故選.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律例8（1）設(shè)向量與的夾角為，則.解：設(shè)向量與的夾角為且，則=.（2）設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0<，>。解析 （2）解：(1)|=|=1，x+y=1，x=y=1.又與的夾角為，·=|

14、cos=.又·=x1+y1，x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=。(2)cos<，>=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2x+=0的解.或同理可得或，或cos<，>=·+·=+=.0<，>，<，>=。評(píng)述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則題型5：空間向量的應(yīng)用例9（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：+4。（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作

15、用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1（1，-2，1）移到點(diǎn)M2(3，1，2)，求物體合力做的功。解析：（1）設(shè)=(，)，=(1，1，1)，則|=4，|=.·|·|，·=+|·|=4.當(dāng)=時(shí)，即a=b=c=時(shí)，取“=”號(hào)。（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。點(diǎn)評(píng)：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，則由·|·|，得(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱(chēng)為柯西不等式(n=3)。本題考查|·|·的應(yīng)用，解題時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行

16、運(yùn)算?？臻g向量的數(shù)量積對(duì)應(yīng)做功問(wèn)題例10如圖,直三棱柱中,求證: 證明：同理又設(shè)為中點(diǎn),則又點(diǎn)評(píng)：從上述例子可以看出,利用空間向量來(lái)解決位置關(guān)系問(wèn)題，要用到空間多邊形法則，向量的運(yùn)算，數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條件1.過(guò)ABC的重心任作一直線(xiàn)分別交AB，AC于點(diǎn)D、E若，則的值為（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC為正三角形易得3選B評(píng)析：本題考查向量的有關(guān)知識(shí)，如果按常規(guī)方法就比較難處理，但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力2.如圖，設(shè)P、Q為ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且， ，則ABP的面積與ABQ的面積之比為 A B C D如下圖，設(shè)，則由平行四邊形法

17、則，知NPAB，所以，同理可得故，選B 3.是平面內(nèi)不共線(xiàn)兩向量，已知，若三點(diǎn)共線(xiàn)，則的值是A2BCD A ，又A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，則.即，故選.【總結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共線(xiàn)向量的定義和平面向量基本定理的運(yùn)用. 要求我們熟記公式，掌握常見(jiàn)變形技巧與方法.4、已知平面向量=(，-1)，= ()（1）求；（2）設(shè)，（其中），若，試求函數(shù)關(guān)系式并解不等式（1）； （2）由得， 所以； 變形得：，解得5.已知a（，），b（，），a與b之間有關(guān)系式|ka+b|=|a-kb|，其中k0（1）用k表示a、b；（2）求a·b的最小值，并求此時(shí)，a與b的夾角的大小 由已知，k0，此時(shí)60°6

18、. 已知,。 （1）求； （2）設(shè)BAC，且已知cos(+x) ，求sinx解：（1）由已知 CDAB，在RtBCD中BC2=BD2+CD2, 又CD2=AC2AD2, 所以BC2=BD2+AC2AD2=49，4分所以6分（2）在ABC中， 8分 而 如果，則 10分 五【思維總結(jié)】本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式.空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底i，j，k建立坐標(biāo)系，對(duì)于O點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點(diǎn)的坐標(biāo)，直線(xiàn)的坐標(biāo)表示簡(jiǎn)化，要充分利用空間圖形中已有的直線(xiàn)的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類(lèi)似，具有類(lèi)似的運(yùn)算法則.一個(gè)向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒(méi)有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒(méi)變。如向量的數(shù)量積a·b=|a|·|b|cos<a