全等三角形總結(jié)與復(fù)習(xí)練習(xí)題

1、八年級數(shù)學(xué)全等三角形總結(jié)與復(fù)習(xí)練習(xí)題【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：    全等三角形復(fù)習(xí)與小結(jié) 二. 教學(xué)目標(biāo)：  1. 回顧思考本章內(nèi)容，會靈活運(yùn)用本章知識進(jìn)行計(jì)算和證明。  2. 進(jìn)一步鞏固三角形全等的性質(zhì)及判定三角形全等的方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。  3. 進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)幾何問題的解法，拓展學(xué)生的發(fā)散思維能力。 三. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：    重點(diǎn)：全等三角形的概念和性質(zhì)，三角形全等的判定方法和直角三角形的性質(zhì)和判定。  &

2、#160; 難點(diǎn)：三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，靈活選用判定三角形全等的方法解決問題，并能用基本尺規(guī)作圖進(jìn)行綜合作圖。 四. 本章知識網(wǎng)絡(luò)圖：     五. 本章知識要點(diǎn)總結(jié)：  1. 旋轉(zhuǎn)的定義：    將一個平面圖形F上的每一個點(diǎn)，繞這個平面內(nèi)一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)同一個角，得到圖形F'，圖形的這種變換叫旋轉(zhuǎn)。  2. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：    性質(zhì)1：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。    性質(zhì)2：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等，且

3、等于旋轉(zhuǎn)角。    性質(zhì)3：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。  3. 全等三角形及其性質(zhì)：    （1）全等形：能夠完全重合的圖形叫做全等形。    （2）全等三角形：能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。    （3）全等三角形的表示方法：比如BCDAEF    （4）全等三角形的性質(zhì)：    全等三角形的對應(yīng)邊相等；    全等三角形的對應(yīng)角相等；  

4、0; 全等三角形周長、面積相等。  4. 三角形全等的判定定理    （1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。    （2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。  5. 直角三角形：    （1）直角三角形的性質(zhì)：    直角三角形中兩銳角互余。    如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。    在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。&

5、#160;   在直角三角形中，有一個角為90°。    在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2。    （2）直角三角形的判定：    有一個角為90°的三角形為直角三角形。    有兩個角互余的三角形為直角三角形。    如果三角形的三邊長a、b、c，有下面關(guān)系：  

6、;  a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形。  6. 作三角形    （1）已知三邊作三角形。    （2）已知兩邊及其夾角作三角形    （3）已知兩角及其夾邊作三角形 六、規(guī)律與方法  1. 三角形的邊角關(guān)系：    （1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。    （2）三角形內(nèi)角和等于180°。    （3）三角形的任一個外角等于與它不

7、相鄰的兩個內(nèi)角的和。  2. 三角形的分類：      3. 證明線段相等的方法：    （1）可證明它們所在的兩個三角形全等。    （2）角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。    （3）等角對等邊。    （4）等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。    （5）垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。    （6）等式的性質(zhì)。 

8、;   （7）中點(diǎn)的定義。  4. 證明角相等的方法：    （1）同角（等角）的余角相等。    （2）同角（等角）的補(bǔ)角相等。    （3）平行線的性質(zhì)：    兩直線平行，同位角相等。    兩直線平行，內(nèi)錯角相等。    （4）全等三角形的對應(yīng)角相等。    （5）等邊對等角。    （6）角平分線的定義。 &

9、#160;  （7）等式的性質(zhì)。    （8）對頂角相等。  5. 證明垂直的方法    （1）證鄰補(bǔ)角相等。    （2）證和已知直角三角形全等。    （3）勾股定理的逆定理。  6. 常見輔助線的作法：    （1）在ABC中，如AD是中線，常采用的作法是：    延長AD到E，使DEAD，連結(jié)BE（或過B作BEAC，交AD的延長線于E），如圖甲。   

10、; 取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE（或過D作DEBA，交AC于E），如圖乙。    延長BA至E，使AEAB，連結(jié)CE（或過C作CEAD交BA的延長線于E），如圖丙。    （2）在ABC中，若AD是BAC的平分線，常采用的作法是：    延長BA至E，使AEAC，連結(jié)CE（或過C作CEAD，交BA的延長線于E），如圖甲。    在較長邊AB上截取AEAC，連結(jié)DE，如圖乙。    過C作CEAB，交AD的延長線于E，如圖丙。  &

11、#160; 過D作DEAB，交AC于E，如圖丁。    （3）在ABC中，若D是AB的中點(diǎn)，常采用的作法是：    過D作DEBC，交AC于E。    取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE。    連結(jié)CD，用中線的性質(zhì)。    若已知ABC為特殊三角形，可利用特殊三角形的性質(zhì)：如為等腰三角形，考慮頂點(diǎn)平分線；若為直角三角形，考慮斜邊中線；若為有一個角是30°的直角三角形，考慮斜邊中線及30°角所對邊之間的關(guān)系，?？勺鞒鲋芯€。 

12、七、數(shù)學(xué)思想方法  1. 通過學(xué)習(xí)，逐步學(xué)會運(yùn)用分析、綜合、歸納、概括及類比的方法，逐步發(fā)展有條理的思考和表達(dá)能力。  2. 轉(zhuǎn)化的思想：將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化，分解，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成幾何問題解決。  3. 圖形處理方法：    （1）分解圖形法：    復(fù)雜圖形都是由較簡單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。    （2）構(gòu)造圖形的方法：    當(dāng)直接說明問題有困難時，常添加輔助線，構(gòu)造圖形達(dá)到解題目的。 八、掌握以下8類問題及其解

13、法，并領(lǐng)會其中的數(shù)學(xué)思想：  1. 能夠利用三角形全等的判定及其性質(zhì)，證明線段或角相等，領(lǐng)會全等形的思想。  2. 能夠利用等腰三角形和直角三角形的特殊性質(zhì)解題，領(lǐng)會一般與特殊的關(guān)系。  3. 能夠理解旋轉(zhuǎn)，角平分線的概念及其性質(zhì)，領(lǐng)會對稱思想。  4. 能夠理解逆命題與逆定理的概念，領(lǐng)會對立統(tǒng)一的思想。  5. 通過幾何問題一題多解的研究和推理論證分析綜合的訓(xùn)練，滲透轉(zhuǎn)化思想和辨證唯物主義觀點(diǎn)。  6. 通過對實(shí)際問題的研究體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際的思想。  7. 通過用代數(shù)方法解決幾何問題又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方程的思想。&#

14、160; 8. 能夠運(yùn)用尺規(guī)作圖，將作圖問題轉(zhuǎn)化為基本作圖，領(lǐng)會化歸思想。 【典型例題】（一）構(gòu)造全等三角形法：  例1. 已知：如圖，ABCD，ADBC，證明：ABDC，ADBC    分析：需得到ABDC，ADBC，需構(gòu)造三角形，因此可添加輔助線：連結(jié)AC。    證明：連結(jié)AC    ABCD    12    又ADBC    34    在ADC和CBA中&

15、#160;       ADCCBA（ASA）    ABDC，ADBC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）   例2. 如圖，ABC中，A90°，ABAC，BD平分ABC交AC于D，CEBD的延長線于E，求證：BD2CE。    分析：和CEBD”，想到延長CE、BA相交于F，因此先證明CF2CE，再證明BDCF。由此知需要證明ABDACF。    證明：延長CE、BA相交于F    在FBE和CBE中&

16、#160;       BEFBEC        CF2CE    在RtBEF中，290°F    同理190°F    12    在ABD和ACF中        ABDACF    BDCF    BD2CE 

17、   小結(jié)：在題目中如果含有角平分線且含有和這條角平分線垂直的條件時，要想到翻折圖形，此題所作的輔助線，實(shí)質(zhì)上是將RtBCE以BE所在的直線為軸翻折過去得RtBFE。    此題圖中，可以把BE、CA看成是FBC的兩條高，注意“12”這個結(jié)論。 （二）巧用勾股定理  例3. 已知：如圖，ABC中，ABAC，D為BC上任一點(diǎn)，求證：AB2AD2BD·DC（ABAD）    分析：此題的求證中出現(xiàn)了AB2和AD2，由此可聯(lián)想到把它們放到兩個直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式

18、子，因此想到作輔助線AEBC于E。    證明：過A作AEBC于E    ABAC，AEBC    BECE，AEBAEC90°    在RtAEB和RtAED中，由勾股定理得：               例4. 如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD邊上，且AF    求證：EFCE 

19、60;  分析：此題中的已知條件告訴了我們邊之間的關(guān)系，若設(shè)AFa，則可得正方形邊長為4a，AEBE2a，DF3a，由直角三角形和這些邊的關(guān)系，我們很容易想到勾股定理和其逆定理來證明兩條直線互相垂直。    證明：連結(jié)FC，設(shè)AFa，則正方形邊長為4a，    AEBE2a，DF3a    由勾股定理得：    在RtAEF中，        在RtBCE中，     

20、;            在RtCDF中，                    由勾股定理的逆定理知EFC為直角三角形    且CF為斜邊    EFEC （三）截長補(bǔ)短法：  例5. 如圖甲，ABC中，C2B，12，求證：ABACCD  

21、0; 分析：此題是證兩條線段的和等于第三邊，這類型的題我們通常采用截長補(bǔ)短法，截長法即為在這三條最長的線段截取一段使它等于較短線段中的一條，然后證明剩下的一段等于另一條較短的線段。補(bǔ)短法即為在較短的一條線段上延長一段，使它們等于最長的線段，然后證明延長的這一線段等于另一條較短的線段。    證明一：截長法：    如圖乙，在AB上截取AEAC，連結(jié)DE    在ADE和ADC中        ADEADC（SAS）  

22、0; DEDC，AEDC    CAEDBBDE2B    EBDEDB    BEDE    BEDC    ABAEEBACDC    即ABACDC    證明二：補(bǔ)短法    如圖丙，延長AC至E，使AEAB，連結(jié)DE    在ABD和AED中        A

23、BDAED    BE    ACB2BEEDC                      BEDC    EEDC    CDCE    ABAEACCEACCD    即ABACCD 【模擬試題】

24、（答題時間：50分鐘）（一）填空題：  1. 已知一個等腰三角形的一個外角是120°，腰長是a，則它腰上的高是_。  2. 一直角三角形的兩邊長是12，5，則第三邊長是_。  3. AB是RtABC的斜邊，中線AD7，中線BE4，則AB_。  4. 已知ABCDEF，且DEF的周長為13，若AB4，BC6，則DF的長是_。  5. 如圖1，已知ABC是直角三角形，C90°，A60°，AB8cm，CD是AB邊上的高，則AD_，BD_。圖1  6. 如圖2，已知ABAC10cm，ABCD，CDAD，若B75&

25、#176;，則DAC_，AD_cm。圖2  7. 等邊三角形繞它的三條高線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°，240°，都能與自己重合，它的旋轉(zhuǎn)中心是_，對應(yīng)線段是_。  8. 若圖形甲按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到圖形乙，那么圖形乙按順時針方向旋轉(zhuǎn)_就得到圖形甲。  9. 正五角星繞著它的中心至少旋轉(zhuǎn)_可以與原圖重合。  10. 已知線段a，求作等邊三角形，使其邊長為a，其作法是    （1）作線段AB_。    （2）分別以A、B為圓心，以_為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C。 &

26、#160;  （3）連結(jié)_和_。    則ABC為所求的等邊三角形。 （二）選擇題：  1. 下列作圖語言，敘述正確的是（    ）    A. 以A、B為端點(diǎn)，作直線AB    B. 以B為端點(diǎn)，作射線AB    C. 作線段AB，使ABa    D. 連結(jié)AB，使ABa  2. 已知直角三角形的一直角邊為2，一銳角為60°，則這個直角三角形的周長為（ &

27、#160;  ）    A.                             B.     C.              

28、;            D.   3. 如圖3，ABCD，ABD和BCE都是等腰直角三角形，若CD8，BE3，則AC為（    ）圖3    A. 8                      B. 5

29、60;                     C. 3                      D.   4. 下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（    ）&

30、#160;   A. 摩托車在急剎車時向前滑動    B. 空中飛舞的雪花    C. 擰開自來水龍頭的過程    D. 飛機(jī)起飛沖向空中的過程  5. 某三角形三邊長分別是整數(shù)，周長是11，一邊長是4，則這個三角形可能的最大邊長是（    ）    A. 7             &#

31、160;        B. 6                      C. 5                   

32、0;  D. 4  6. 有六根細(xì)木棒，它們的長度分別是2，4，6，8，10，12（單位：cm），從中取出三根首尾順次連結(jié)搭成一個直角三角形，則這三根細(xì)木棒的比度分別為（    ）    A. 2，4，8                          B. 4，8，

33、10    C. 6，8，10                 D. 8，10，12  7. 下列條件中，能判定ABCA'B'C'的是（    ）    AA'，BB'，CC'    ABA'B'，AA'，CC' 

34、60;  ABA'B'，ACA'C'，BCB'C'    BCB'C'，ACA'C'，CA'    A. 只有                           B. 只有

35、0;   C. 只有                    D. 只有  8. 如圖5，將BAC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°至DAE位置，若BAC120°，則ABD是_三角形。圖5    A. 等邊三角形           

36、60;                      B. 等腰三角形    C. 直角三角形                      

37、60;           D. 等腰直角三角形  9. 如圖6，ADAB，AEAC，ADAB，AEAC，則下列各式中正確的是（    ）圖6    A. ABDACE                      

38、;     B. ADFAEG    C. BMFCMG                          D. ADCABE （三）已知：在ABC中，AD是BC邊上的高，ABAC，BAC120°，DEAB于E，DFAC于F。   

39、; 求證：。（四）如圖7，在ABC中，BAC90°，D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，將ADB繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至AD'C，AD'C與ADB能完全重合，求DAD'的度數(shù)。圖7（五）已知：如圖8ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC是頂角BDC120°的等腰三角形，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，且MDN60°    求證：AMN的周長l2圖8 【試題答案】（一）  1.             

40、0;                   2.   3.                              &#

41、160; 4. 3  5. 2，6                                   6. 60°，5  7. 三條高線交點(diǎn)，三邊  8. 330°  9. 72°

42、0; 10. a，a，AC，BC （二）  1. C                   2. D               3. D          &#

43、160;    4. C  5. C    解析：設(shè)最大邊長為x，則另一邊長為7x，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：47xx，解得，因?yàn)閤是整數(shù)，所以x5。  6. C                   7. B