全等三角形總結(jié)與復(fù)習(xí)練習(xí)題

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形總結(jié)與復(fù)習(xí)練習(xí)題【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：    全等三角形復(fù)習(xí)與小結(jié) 二. 教學(xué)目標(biāo)：  1. 回顧思考本章內(nèi)容，會(huì)靈活運(yùn)用本章知識(shí)進(jìn)行計(jì)算和證明。  2. 進(jìn)一步鞏固三角形全等的性質(zhì)及判定三角形全等的方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。  3. 進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題的解法，拓展學(xué)生的發(fā)散思維能力。 三. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：    重點(diǎn)：全等三角形的概念和性質(zhì)，三角形全等的判定方法和直角三角形的性質(zhì)和判定。  &

2、#160; 難點(diǎn)：三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，靈活選用判定三角形全等的方法解決問(wèn)題，并能用基本尺規(guī)作圖進(jìn)行綜合作圖。 四. 本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖：     五. 本章知識(shí)要點(diǎn)總結(jié)：  1. 旋轉(zhuǎn)的定義：    將一個(gè)平面圖形F上的每一個(gè)點(diǎn)，繞這個(gè)平面內(nèi)一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角，得到圖形F'，圖形的這種變換叫旋轉(zhuǎn)。  2. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：    性質(zhì)1：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。    性質(zhì)2：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等，且

3、等于旋轉(zhuǎn)角。    性質(zhì)3：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。  3. 全等三角形及其性質(zhì)：    （1）全等形：能夠完全重合的圖形叫做全等形。    （2）全等三角形：能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。    （3）全等三角形的表示方法：比如BCDAEF    （4）全等三角形的性質(zhì)：    全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；    全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；  

4、0; 全等三角形周長(zhǎng)、面積相等。  4. 三角形全等的判定定理    （1）一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS。    （2）直角三角形：HL，SAS，ASA，AAS，SSS。  5. 直角三角形：    （1）直角三角形的性質(zhì)：    直角三角形中兩銳角互余。    如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。    在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。&

5、#160;   在直角三角形中，有一個(gè)角為90°。    在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°在直角三角形中，兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2。    （2）直角三角形的判定：    有一個(gè)角為90°的三角形為直角三角形。    有兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形。    如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c，有下面關(guān)系：  

6、;  a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。  6. 作三角形    （1）已知三邊作三角形。    （2）已知兩邊及其夾角作三角形    （3）已知兩角及其夾邊作三角形 六、規(guī)律與方法  1. 三角形的邊角關(guān)系：    （1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。    （2）三角形內(nèi)角和等于180°。    （3）三角形的任一個(gè)外角等于與它不

7、相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。  2. 三角形的分類(lèi)：      3. 證明線段相等的方法：    （1）可證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。    （2）角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。    （3）等角對(duì)等邊。    （4）等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。    （5）垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。    （6）等式的性質(zhì)。 

8、;   （7）中點(diǎn)的定義。  4. 證明角相等的方法：    （1）同角（等角）的余角相等。    （2）同角（等角）的補(bǔ)角相等。    （3）平行線的性質(zhì)：    兩直線平行，同位角相等。    兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。    （4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。    （5）等邊對(duì)等角。    （6）角平分線的定義。 &

9、#160;  （7）等式的性質(zhì)。    （8）對(duì)頂角相等。  5. 證明垂直的方法    （1）證鄰補(bǔ)角相等。    （2）證和已知直角三角形全等。    （3）勾股定理的逆定理。  6. 常見(jiàn)輔助線的作法：    （1）在ABC中，如AD是中線，常采用的作法是：    延長(zhǎng)AD到E，使DEAD，連結(jié)BE（或過(guò)B作BEAC，交AD的延長(zhǎng)線于E），如圖甲。   

10、; 取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE（或過(guò)D作DEBA，交AC于E），如圖乙。    延長(zhǎng)BA至E，使AEAB，連結(jié)CE（或過(guò)C作CEAD交BA的延長(zhǎng)線于E），如圖丙。    （2）在ABC中，若AD是BAC的平分線，常采用的作法是：    延長(zhǎng)BA至E，使AEAC，連結(jié)CE（或過(guò)C作CEAD，交BA的延長(zhǎng)線于E），如圖甲。    在較長(zhǎng)邊AB上截取AEAC，連結(jié)DE，如圖乙。    過(guò)C作CEAB，交AD的延長(zhǎng)線于E，如圖丙。  &

11、#160; 過(guò)D作DEAB，交AC于E，如圖丁。    （3）在ABC中，若D是AB的中點(diǎn)，常采用的作法是：    過(guò)D作DEBC，交AC于E。    取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE。    連結(jié)CD，用中線的性質(zhì)。    若已知ABC為特殊三角形，可利用特殊三角形的性質(zhì)：如為等腰三角形，考慮頂點(diǎn)平分線；若為直角三角形，考慮斜邊中線；若為有一個(gè)角是30°的直角三角形，考慮斜邊中線及30°角所對(duì)邊之間的關(guān)系，?？勺鞒鲋芯€。 

12、七、數(shù)學(xué)思想方法  1. 通過(guò)學(xué)習(xí)，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用分析、綜合、歸納、概括及類(lèi)比的方法，逐步發(fā)展有條理的思考和表達(dá)能力。  2. 轉(zhuǎn)化的思想：將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化，分解，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題解決。  3. 圖形處理方法：    （1）分解圖形法：    復(fù)雜圖形都是由較簡(jiǎn)單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。    （2）構(gòu)造圖形的方法：    當(dāng)直接說(shuō)明問(wèn)題有困難時(shí)，常添加輔助線，構(gòu)造圖形達(dá)到解題目的。 八、掌握以下8類(lèi)問(wèn)題及其解

13、法，并領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想：  1. 能夠利用三角形全等的判定及其性質(zhì)，證明線段或角相等，領(lǐng)會(huì)全等形的思想。  2. 能夠利用等腰三角形和直角三角形的特殊性質(zhì)解題，領(lǐng)會(huì)一般與特殊的關(guān)系。  3. 能夠理解旋轉(zhuǎn)，角平分線的概念及其性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)對(duì)稱(chēng)思想。  4. 能夠理解逆命題與逆定理的概念，領(lǐng)會(huì)對(duì)立統(tǒng)一的思想。  5. 通過(guò)幾何問(wèn)題一題多解的研究和推理論證分析綜合的訓(xùn)練，滲透轉(zhuǎn)化思想和辨證唯物主義觀點(diǎn)。  6. 通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的研究體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際的思想。  7. 通過(guò)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方程的思想。&#

14、160; 8. 能夠運(yùn)用尺規(guī)作圖，將作圖問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本作圖，領(lǐng)會(huì)化歸思想。 【典型例題】（一）構(gòu)造全等三角形法：  例1. 已知：如圖，ABCD，ADBC，證明：ABDC，ADBC    分析：需得到ABDC，ADBC，需構(gòu)造三角形，因此可添加輔助線：連結(jié)AC。    證明：連結(jié)AC    ABCD    12    又ADBC    34    在ADC和CBA中&

15、#160;       ADCCBA（ASA）    ABDC，ADBC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）   例2. 如圖，ABC中，A90°，ABAC，BD平分ABC交AC于D，CEBD的延長(zhǎng)線于E，求證：BD2CE。    分析：和CEBD”，想到延長(zhǎng)CE、BA相交于F，因此先證明CF2CE，再證明BDCF。由此知需要證明ABDACF。    證明：延長(zhǎng)CE、BA相交于F    在FBE和CBE中&

16、#160;       BEFBEC        CF2CE    在RtBEF中，290°F    同理190°F    12    在ABD和ACF中        ABDACF    BDCF    BD2CE 

17、   小結(jié)：在題目中如果含有角平分線且含有和這條角平分線垂直的條件時(shí)，要想到翻折圖形，此題所作的輔助線，實(shí)質(zhì)上是將RtBCE以BE所在的直線為軸翻折過(guò)去得RtBFE。    此題圖中，可以把BE、CA看成是FBC的兩條高，注意“12”這個(gè)結(jié)論。 （二）巧用勾股定理  例3. 已知：如圖，ABC中，ABAC，D為BC上任一點(diǎn)，求證：AB2AD2BD·DC（ABAD）    分析：此題的求證中出現(xiàn)了AB2和AD2，由此可聯(lián)想到把它們放到兩個(gè)直角三角形中，利用勾股定理可得有AB2和AD2的式

18、子，因此想到作輔助線AEBC于E。    證明：過(guò)A作AEBC于E    ABAC，AEBC    BECE，AEBAEC90°    在RtAEB和RtAED中，由勾股定理得：               例4. 如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD邊上，且AF    求證：EFCE 

19、60;  分析：此題中的已知條件告訴了我們邊之間的關(guān)系，若設(shè)AFa，則可得正方形邊長(zhǎng)為4a，AEBE2a，DF3a，由直角三角形和這些邊的關(guān)系，我們很容易想到勾股定理和其逆定理來(lái)證明兩條直線互相垂直。    證明：連結(jié)FC，設(shè)AFa，則正方形邊長(zhǎng)為4a，    AEBE2a，DF3a    由勾股定理得：    在RtAEF中，        在RtBCE中，     

20、;            在RtCDF中，                    由勾股定理的逆定理知EFC為直角三角形    且CF為斜邊    EFEC （三）截長(zhǎng)補(bǔ)短法：  例5. 如圖甲，ABC中，C2B，12，求證：ABACCD  

21、0; 分析：此題是證兩條線段的和等于第三邊，這類(lèi)型的題我們通常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法，截長(zhǎng)法即為在這三條最長(zhǎng)的線段截取一段使它等于較短線段中的一條，然后證明剩下的一段等于另一條較短的線段。補(bǔ)短法即為在較短的一條線段上延長(zhǎng)一段，使它們等于最長(zhǎng)的線段，然后證明延長(zhǎng)的這一線段等于另一條較短的線段。    證明一：截長(zhǎng)法：    如圖乙，在AB上截取AEAC，連結(jié)DE    在ADE和ADC中        ADEADC（SAS）  

22、0; DEDC，AEDC    CAEDBBDE2B    EBDEDB    BEDE    BEDC    ABAEEBACDC    即ABACDC    證明二：補(bǔ)短法    如圖丙，延長(zhǎng)AC至E，使AEAB，連結(jié)DE    在ABD和AED中        A

23、BDAED    BE    ACB2BEEDC                      BEDC    EEDC    CDCE    ABAEACCEACCD    即ABACCD 【模擬試題】

24、（答題時(shí)間：50分鐘）（一）填空題：  1. 已知一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角是120°，腰長(zhǎng)是a，則它腰上的高是_。  2. 一直角三角形的兩邊長(zhǎng)是12，5，則第三邊長(zhǎng)是_。  3. AB是RtABC的斜邊，中線AD7，中線BE4，則AB_。  4. 已知ABCDEF，且DEF的周長(zhǎng)為13，若AB4，BC6，則DF的長(zhǎng)是_。  5. 如圖1，已知ABC是直角三角形，C90°，A60°，AB8cm，CD是AB邊上的高，則AD_，BD_。圖1  6. 如圖2，已知ABAC10cm，ABCD，CDAD，若B75&

25、#176;，則DAC_，AD_cm。圖2  7. 等邊三角形繞它的三條高線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°，240°，都能與自己重合，它的旋轉(zhuǎn)中心是_，對(duì)應(yīng)線段是_。  8. 若圖形甲按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°得到圖形乙，那么圖形乙按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)_就得到圖形甲。  9. 正五角星繞著它的中心至少旋轉(zhuǎn)_可以與原圖重合。  10. 已知線段a，求作等邊三角形，使其邊長(zhǎng)為a，其作法是    （1）作線段AB_。    （2）分別以A、B為圓心，以_為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C。 &

26、#160;  （3）連結(jié)_和_。    則ABC為所求的等邊三角形。 （二）選擇題：  1. 下列作圖語(yǔ)言，敘述正確的是（    ）    A. 以A、B為端點(diǎn)，作直線AB    B. 以B為端點(diǎn)，作射線AB    C. 作線段AB，使ABa    D. 連結(jié)AB，使ABa  2. 已知直角三角形的一直角邊為2，一銳角為60°，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（ &

27、#160;  ）    A.                             B.     C.              

28、;            D.   3. 如圖3，ABCD，ABD和BCE都是等腰直角三角形，若CD8，BE3，則AC為（    ）圖3    A. 8                      B. 5

29、60;                     C. 3                      D.   4. 下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（    ）&

30、#160;   A. 摩托車(chē)在急剎車(chē)時(shí)向前滑動(dòng)    B. 空中飛舞的雪花    C. 擰開(kāi)自來(lái)水龍頭的過(guò)程    D. 飛機(jī)起飛沖向空中的過(guò)程  5. 某三角形三邊長(zhǎng)分別是整數(shù)，周長(zhǎng)是11，一邊長(zhǎng)是4，則這個(gè)三角形可能的最大邊長(zhǎng)是（    ）    A. 7             &#

31、160;        B. 6                      C. 5                   

32、0;  D. 4  6. 有六根細(xì)木棒，它們的長(zhǎng)度分別是2，4，6，8，10，12（單位：cm），從中取出三根首尾順次連結(jié)搭成一個(gè)直角三角形，則這三根細(xì)木棒的比度分別為（    ）    A. 2，4，8                          B. 4，8，

33、10    C. 6，8，10                 D. 8，10，12  7. 下列條件中，能判定ABCA'B'C'的是（    ）    AA'，BB'，CC'    ABA'B'，AA'，CC' 

34、60;  ABA'B'，ACA'C'，BCB'C'    BCB'C'，ACA'C'，CA'    A. 只有                           B. 只有

35、0;   C. 只有                    D. 只有  8. 如圖5，將BAC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°至DAE位置，若BAC120°，則ABD是_三角形。圖5    A. 等邊三角形           

36、60;                      B. 等腰三角形    C. 直角三角形                      

37、60;           D. 等腰直角三角形  9. 如圖6，ADAB，AEAC，ADAB，AEAC，則下列各式中正確的是（    ）圖6    A. ABDACE                      

38、;     B. ADFAEG    C. BMFCMG                          D. ADCABE （三）已知：在ABC中，AD是BC邊上的高，ABAC，BAC120°，DEAB于E，DFAC于F。   

39、; 求證：。（四）如圖7，在ABC中，BAC90°，D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，將ADB繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至AD'C，AD'C與ADB能完全重合，求DAD'的度數(shù)。圖7（五）已知：如圖8ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BDC是頂角BDC120°的等腰三角形，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，且MDN60°    求證：AMN的周長(zhǎng)l2圖8 【試題答案】（一）  1.             

40、0;                   2.   3.                              &#

41、160; 4. 3  5. 2，6                                   6. 60°，5  7. 三條高線交點(diǎn)，三邊  8. 330°  9. 72°

42、0; 10. a，a，AC，BC （二）  1. C                   2. D               3. D          &#

43、160;    4. C  5. C    解析：設(shè)最大邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為7x，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：47xx，解得，因?yàn)閤是整數(shù)，所以x5。  6. C                   7. B