微分方程穩(wěn)定性

1、 目錄摘要3ABSTRACT4前言5微分方程穩(wěn)定性分析原理6捕魚業(yè)的持續(xù)收獲模型10種群的相互競爭模型14參考文獻18摘要微分方程穩(wěn)定性理論是微分方程的一個重要的理論。微分方程理論就是通過一些定量的計算來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也就是系統(tǒng)在受到干擾項偏離平衡狀態(tài)后能否恢復(fù)到平衡狀態(tài)或者是平衡狀態(tài)附近的位置。用微分方程描述的物質(zhì)運動的特點依賴于初值，而初值的計算或者測定不可避免的又會出現(xiàn)誤差和干擾。如果描述這個系統(tǒng)運動的微分方程的特解是不穩(wěn)定的，則初值的微小誤差和干擾都會導(dǎo)致嚴(yán)重的后果。因此，不穩(wěn)定的特解不適合作為我們研究問題的依據(jù)，只有穩(wěn)定的特解才是我們需要的。本文就一階微分方程和二階微分方程的平衡

2、點及穩(wěn)定性進行了分析，并且建立了捕魚業(yè)持續(xù)收獲模型和兩種群相互競爭模型。【關(guān)鍵詞】 微分方程；平衡點；穩(wěn)定性；數(shù)學(xué)建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of

3、deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitab

4、le will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences. Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis

5、of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models.

6、【key words】 Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling前言在現(xiàn)實世界里，無論是在自然科學(xué)或者是社會科學(xué)的各領(lǐng)域中，存在著許許多多的變化規(guī)律可以用某些特定的數(shù)學(xué)模型來進行描述。例如我們通過對該數(shù)學(xué)模型進行定性分析或者是數(shù)值模擬，用得到的結(jié)果對描述的變化規(guī)律給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)解釋，進而為人們跟進一步地理解和認(rèn)識相對應(yīng)的現(xiàn)象，或者對某些過程進行控制。但在實際問題中，有時候我們建立數(shù)學(xué)模型的目的并不是單純的為了得到事物變化的某一瞬間的形態(tài)，而是為了得到在一段相當(dāng)長的時間后該變化的趨勢。就像在某種條件下描述的

7、過程變量會無限地接近某個確定的數(shù)值，在某種情況下描述的過程變量會漸漸地偏離該數(shù)值出現(xiàn)過程的不穩(wěn)定。為了分析該種情況下的穩(wěn)定和不穩(wěn)定規(guī)律，我們可以直接利用微分方程的穩(wěn)定性理論來研究平衡狀態(tài)。一微分方程穩(wěn)定性分析原理1.一階方程的平衡點及穩(wěn)定性設(shè)有微分方程 （1.1）如果方程等號右端不是顯然含有自變量t，我們就稱之為自治方程。代數(shù)方程 的實根 稱為方程式（1.1）的平衡點（奇點）。它也是方程（1.1）的解。 如果存在某個領(lǐng)域，使方程式（1.1）的解 從這個領(lǐng)域的某個點 出發(fā)，滿足 (1.2)則稱平衡點是穩(wěn)定的（漸進穩(wěn)定）；否則，稱是不穩(wěn)定的（非漸進穩(wěn)定）。判斷平衡點是否穩(wěn)定通常使用的方法有兩種。利

8、用定義式（1.2）的方法稱為間接法。不求方程式（1.1）的因而不方程式（1.2）的方法稱為直接法。下面介紹直接法。將在點處作泰勒展開，只取一次項，方程式（1.1）可近似為 (1.3)方程式（3）稱為方程式（1）的近似線性方程， 也是方程式（3）的平衡點。關(guān)于點穩(wěn)定有如下結(jié)論： （1）.若<0 ，則 對于方程式（1.3）和（1.1）都是穩(wěn)定的；（2）.若>0 ，則 對于方程式（1.3）和（1.1）都是不穩(wěn)定的。對于方程式（1.3）的穩(wěn)定性很容易通過定義式（1.2）證明。記= ，則方程式（3）的一般解為 其中，c是有初始條件確定的常數(shù)。顯然，當(dāng)<0時，方程式（1.3）成立。2二階

9、方程的平衡點和穩(wěn)定性二階方程可用兩個一階方程表示為 （1.4）等號右端不顯然含t，是自治方程。代數(shù)方程組的實根，稱為方程式（1.4）的平衡點。記作。如果存在謀和領(lǐng)域，使方程式（1.3）的解， 從這個領(lǐng)域的某個 出發(fā)，滿足 （1.5）則稱平衡點是穩(wěn)定的（漸進穩(wěn)定）；不然，稱是不穩(wěn)定的（不漸進穩(wěn)定）。 為了用直接法討論方程式（1.4）的平衡點的穩(wěn)定性，先看線性系數(shù)方程 （1.6）系數(shù)矩陣記作 為研究方程式（1.6）的唯一平衡點 的穩(wěn)定性，假定A的行列式 （1.7）的穩(wěn)定性由式（1.6）的特征方程 （1.8）的根 （特征根）決定。方程式（1.8）可以寫成更加清晰的形式 將特征根記作，則因此方程式（1

10、.6）的一般解的形式為或其中，為任意常數(shù)。根據(jù)穩(wěn)定性的定義式（1.5）可知，當(dāng)為負(fù)數(shù)或有負(fù)實部時，是穩(wěn)定平衡點；當(dāng)有一個為正數(shù)或有正實部時，是不穩(wěn)定平衡點。在式（1.7）的條件下，不可能為零。微分方程穩(wěn)定性理論講平衡點分為結(jié)點，焦點，鞍點，中心等類型，完全由特征根或者是相對應(yīng)的取值決定。表一簡單明了地給出了這些結(jié)果，表中最后一列值是按照定義式（1.5）得到的關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。由表一可以看出，根據(jù)特征方程系數(shù)的正負(fù)可以判斷平衡點的穩(wěn)定性，準(zhǔn)則如下：（1） 若p>0,q>0,則平衡點穩(wěn)定；（2） 若p<0或q<0，則平衡點不穩(wěn)定。表一·穩(wěn)定性條件判定平衡點類型穩(wěn)定

11、性<<0>0,>0,>穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定>>0<0,>0,>不穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定<0<<0鞍點不穩(wěn)定=<0>0,>0,=穩(wěn)定退化結(jié)點穩(wěn)定=>0<0,>0,=不穩(wěn)定退化結(jié)點不穩(wěn)定=,<0>0,<0,<穩(wěn)定焦點穩(wěn)定=,>0<0,>0,<不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定=,=0=0,>o中心不穩(wěn)定以上是對線性方程式（1.6）的平衡點穩(wěn)定性的結(jié)論，對于一般的非線性方程式（1.4），可以用近似線性方法判斷其平衡點的穩(wěn)定性。在點處將和做泰勒展開，只取一次項，得到非線

12、性方程式（1.4）的近似線性方程。 （1.9） 記系數(shù)矩陣為特征方程系數(shù)為 顯然，點對于近似方程（1.9）的穩(wěn)定性由表一或者準(zhǔn)則（1.1），（1.2）決定，而且得出以下結(jié)論，若近似線性方程式（1.9）的特征根不為零或者實部不為零，那么點對于方程式（1.4）的穩(wěn)定性與對于近似線性方程式（1.9）的穩(wěn)定性相同，即由準(zhǔn)則（1），（2）決定。最后，提出幾點注意事項：（1）平衡點及其穩(wěn)定性的概念只對自治方程和方程式（1.4）才有意義。（2）非線性方程式（1.4）及式（1.7）的平衡點穩(wěn)定性分別與相對應(yīng)的近似線性方程式（1.6）和近似線性方程式（1.9）的平衡點穩(wěn)定性相同,且是在 非臨界情況下（或者，）才

13、相同。在臨界情況下（或 者，）二者的平衡點穩(wěn)定性可能不相同。（3）在討論平衡點穩(wěn)定性時，對初始點式的要求是存在一個領(lǐng)域，這是局部穩(wěn)定的定義。如果要求對任意的初始點，方程式（1.5）和方程式（1.8）成立，稱為全局穩(wěn)定。對于線性方程，局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定是等價的，對于非線性方程，二者不同。（4）對于臨界情況和非線性方程的全局穩(wěn)定，可以用相軌線分析方法討論。二捕魚業(yè)的持續(xù)收獲模型漁業(yè)資源是一種可再生資源，再生資源我們也要注意開發(fā)利用。我們既不能為了一時高產(chǎn)而竭澤而漁，那樣肯定后破壞漁業(yè)資源的再生產(chǎn)；反過來，如果我們過分限制了漁業(yè)資源的捕撈，又會造成漁業(yè)資源的浪費。在一個漁場中，其中的魚按照自然規(guī)律生

14、長。如果捕撈量等于增長量，那么漁場的總量將保持在某一數(shù)值上。最佳捕撈量的確定就是本章節(jié)研究的內(nèi)容。模型假設(shè)：1.設(shè)在t時刻下漁場的魚量為；2.在無捕撈的條件下魚量的增長服從Logistic規(guī)律。即其中，為固有增長率；為環(huán)境的最大容納魚量；為單位時間增長量；3.單位時間的捕撈量與漁場魚量成正相關(guān)，比例系數(shù)稱為捕撈強度： 模型建立（產(chǎn)量模型）：根據(jù)以上假設(shè)，我們可以得出捕撈情況下漁場魚量的一個微分方程，記為： （2.01）我們關(guān)心的是k在取何值的時候才能保證在漁業(yè)穩(wěn)定的情況下獲得最大持續(xù)產(chǎn)量。為此我們可以直接求出方程式（2.01）的平衡點并分析其穩(wěn)定性。模型求解：令，得到兩個平衡點： ，。 （2.

15、02）可以算出，則 ，所以1.若，有<0，>0；則點穩(wěn)定，點不穩(wěn)定。2.若，有>0，<0；則點不穩(wěn)定，點穩(wěn)定。3.若，為最大增長率。上述分析表明只要捕撈適度，即捕撈強度小于自然增長率（）就可以使魚量保持在點處，并獲得持續(xù)產(chǎn)量；當(dāng)捕撈過度，即捕撈強度大于自然增長率（）就會導(dǎo)致魚量減至=0，當(dāng)然就談不上持續(xù)產(chǎn)量了。在近一步討論當(dāng)魚量穩(wěn)定在了點時，如何控制捕撈強度使得持續(xù)產(chǎn)量取得最大的問題。建立直角坐標(biāo)系作出和的圖形，如圖（1）所示。圖表（1）注意到在原點處的切線為，在下必然與有交點，的橫坐標(biāo)就是穩(wěn)定平衡點。在兩條直線之間，當(dāng)與在拋物線頂點相交時，可以獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，此時穩(wěn)

16、定平衡點為 （2.03）且單位時間的最大持續(xù)產(chǎn)量為 （2.04）此時可以算出保持漁場魚量穩(wěn)定的最大捕撈強度為綜上所述，產(chǎn)量模型的結(jié)論是將最大捕撈強度控制在自然生長率的一半，或者說是使?jié)O場魚量保持在最大魚量的一半時，可以獲得持續(xù)的最大產(chǎn)量。建立模型（效益模型）：問題提出：從經(jīng)濟角度看，保持產(chǎn)量最大，效益不一定就最好，為此我們在保證漁場魚量穩(wěn)定的情況下還得考慮怎樣的捕撈強度才能使得經(jīng)濟效益的最大化。模型假設(shè)：4.假設(shè)經(jīng)濟效益是捕撈所獲得的收入來扣除捕撈開支后的利潤來進行計量；5.假設(shè)魚的單價為，單位捕撈強度為，單位時間的利潤為。模型建立（效益模型）： （2.05）模型求解：在穩(wěn)定條件（）下，將方程

17、式（2.02）代入方程式（2.05）中得到 （2.06）為了求出最大利潤，我們對方程式（2.06）求導(dǎo) 當(dāng)時可以得到滿足利潤達到最大時的捕撈強度為： （2.07）將代入可得最大利潤下漁場穩(wěn)定魚量以及單位時間持續(xù)產(chǎn)量為： （2.08） （2.09）通過產(chǎn)量模型與效益模型的結(jié)果比較可以看出，在最大效益前提下捕撈強度和持續(xù)產(chǎn)量都有所減少，漁場魚量有所增多。并且當(dāng)捕撈成本（）增加時，捕魚強度和單位時間持續(xù)產(chǎn)量將減小，漁場穩(wěn)定魚量將增多；當(dāng)銷售價格（）增加時捕撈強度和單位時間持續(xù)產(chǎn)量將增大，漁場穩(wěn)定魚量將減少，這顯然是符合實際情況的。建立模型（捕撈過度）：在上述模型中均是以封閉式捕撈為前提，即漁場是由單

18、獨的經(jīng)營者經(jīng)營并進行有計劃的捕撈。如果是開放式捕撈，那么眾多的經(jīng)營者必然會為了最求自己經(jīng)濟效益的最大化而進行盲目的捕撈，從而造成捕撈過度，那么上述模型將不適用。下面討論這個模型。方程式(2.06)給出了利潤與捕撈強度的關(guān)系，令的解為，可以解得： （2.10）當(dāng)時利潤，眾多的經(jīng)營者必然會加大捕撈強度；當(dāng)時利潤，他們肯定會減小捕撈強度。所以是開放式捕撈下的臨界強度。我們將方程式（2.10）代入式（2.02）中可以得出在開放式捕撈下漁場的穩(wěn)定魚量為：我們可以看出在開放式捕撈下漁場的穩(wěn)定魚量完全有成本價格的比例所決定了，隨著價格的上漲和成本的降低，將迅速減小，出現(xiàn)捕撈過度。通過將方程式（2.10）和方

19、程式（2.07）進行比較，可得，即在開放式捕撈下的捕撈強度是最大效益下捕撈強度的2倍。模型評價與應(yīng)用：為了研究漁業(yè)的產(chǎn)量，經(jīng)濟效益和捕撈過度的問題，首先在自然增長和捕撈情況的合乎常理的假設(shè)下，建立了方程式（2.01），并且運用平衡點穩(wěn)定性對保持漁場魚量穩(wěn)定的條件進行了分析。產(chǎn)量模型，效益模型和過度捕撈模型都是在穩(wěn)定的前提下一步步進行，一步步深入，推導(dǎo)過程簡單，但結(jié)果在定性關(guān)系上卻是與實際情況相符合的。如果改變了自然增長和捕撈情況的假設(shè)，那么模型和結(jié)果將改變。三兩種群的相互競爭模型在自然界中一直以來就有著這么一句話“適者生存，不適者淘汰”。在同一個自然環(huán)境中有多個種群共同存在，它們相互依存或相互

20、競爭亦或是相互捕食。近年來，隨著環(huán)境問題的日益頻發(fā)和自然生態(tài)平衡的打破，生態(tài)學(xué)越來越為人們所重視，數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)也應(yīng)運而生。數(shù)學(xué)中的抽象概念和推理方法對未來生態(tài)學(xué)起到了顯著地作用。在研究實際問題中，我們關(guān)心的或許并不是系統(tǒng)與時間變化的過程，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展?fàn)顟B(tài)（穩(wěn)定）。問題提出：在同一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間是相互競爭關(guān)系，即它們會為了生存而去爭奪它們共同的食物和生存空間。在這種情況下，隨著時間的推移必然后有一種生物滅亡，另一種生物達到該自然環(huán)境下的最大容納量。本章將從穩(wěn)定狀態(tài)角度建立一個模型來分析這種局面的產(chǎn)生條件。模型假設(shè)：1.假設(shè)存在A，B兩個種群，它們在時刻下的數(shù)量分別為，；

21、，為關(guān)于的連續(xù)函數(shù)；2.當(dāng)它們分別在同一自然環(huán)境下生存時，數(shù)量的增長服從Logistic規(guī)律，即： 其中，分別為A,B兩個種群在該自然環(huán)境下的固有增長率和最大容納量；表示的是該物種自身對環(huán)境資源的消耗對它本身增長的阻滯作用?？梢钥闯墒窃诩僭O(shè)環(huán)境資源總量為1下，相對于最大容納量而言單位數(shù)量的該物種所消耗的環(huán)境資源。模型建立：當(dāng)這兩個種群在該自然環(huán)境下共同生存時，A消耗的生物資源必然會對B的增長產(chǎn)生一定的影響，故而我們可以合理的在中減少一項，該項與A的數(shù)量成正比，我們可以得到種群B的增長方程為： （3.01）表示的是相對于單位數(shù)量的種群A消耗的生物資源量是相對于單位數(shù)量的種群B消耗的生物資源量的倍

22、。同樣的B的存在于影響了A的增長，種群B的增長方程為： （3.02）表示的是相對于單位數(shù)量的種群B消耗的生物資源量是相對于單位數(shù)量的種群A消耗的生物資源量的倍。我們可以看出：如果>1，那么在消耗供養(yǎng)種群A的生物資源中，種群B消耗的多于種群A消耗的，故而種群B對種群A的阻滯作用大于種群A本身對于自己的阻滯作用，即種群B的競爭力強于種群A；如果>1，那么在消耗供養(yǎng)種群B的生物資源中，種群A消耗的多于種群B消耗的，故而種群A對于種群B的阻滯作用大于種群B本身對于自己的阻滯作用，即種群A的競爭力強于種群B。由于，b之間沒有確切的數(shù)量關(guān)系，故我們認(rèn)為兩個種群在消耗資源中對物種A的阻滯作用和對物種B的阻滯作用是相同的。因為單位數(shù)量的種群A和B消耗的供養(yǎng)種群A的生物資源的比為1:，消耗供養(yǎng)種群B的生物資源的比為:1，阻滯作用相同即1:=:1，我們可以定量表示為 =1我們假設(shè)=100，=100，=2，=0.5，=3，=2，=10，=10，運用MATLAB編程如下：function dx=shier(t,x,r1,r2,N1,N2,a,b) N1=100,N2=100,a=2,b=