幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、§ 3.2幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課時(shí)安排1課時(shí)沉著說(shuō)課本節(jié)依次要講述函數(shù) y=C(常量函數(shù)),y=xn(n Q), y=sinx, y=cosx的導(dǎo)數(shù)公式，這些公 式都是由導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)出的，所以要強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)定義在解題中的作用(1)關(guān)于公式(xn) 'n=n-1(n Q),這個(gè)公式的證明比擬復(fù)雜，教科書中只給了 n N*情況下的證明實(shí)際上，這個(gè)公式對(duì)于n R都成立.在n N*的情況下證明公式，一定要讓學(xué)生自主去探索，特別是f(x x) f(x)x(xnx)要運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開后再證明，化C：( x)n 1 ,當(dāng)&T0時(shí)，其極限為c：xn 1即nxn-1.在講完這xn2仿上述方

2、法用定義求解，這是十分可貴的.也有的學(xué)生要利用二項(xiàng)式定理先將(x-a)n 展開，然后求導(dǎo)5即禾U用(xn)'n=n-1求導(dǎo).y=(x-a)n=C°xn1 n 12 n 22Cnx a Cn x ac；(n n1) ay0 n 11nCnXCn (nn 21)x an 1n 1 n 1(1) Cn a ，利用kkC： nC:11將其合并成二1 n 12為 5X Cn個(gè)公式后教師可以因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生利用定義或這個(gè)公式求y=(x-a)n的導(dǎo)數(shù)，學(xué)生一定會(huì)模項(xiàng)式定理的形式.當(dāng)然有這種解法的，應(yīng)該提出表場(chǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新，同時(shí)也要提出這 要運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的和差運(yùn)算法那么，并告訴學(xué)生這是20

3、03年高考題.sin x運(yùn)用定義證明公式(sinx) ' cosx,(cosx) ' -sinx，要用到極限lim1，根據(jù)學(xué)生的x 0 x情況可以補(bǔ)充證明.第五課時(shí)課 題§ 3.2幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1. 公式1 C ' =C(為常數(shù))2. 公式 2(xn) 'n=n-1(n Q)3. 公式 3 (sinx) 'cosx4. 公式 4 (cosx) ' -sinx5. 變化率二、能力訓(xùn)練要求1. 掌握四個(gè)公式，理解公式的證明過(guò)程 .2. 學(xué)會(huì)利用公式，求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3. 理解變化率的概念，解決一些物理上的簡(jiǎn)單問(wèn)題

4、.三、德育滲透目標(biāo)1. 培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力.2. 培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力.3. 培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)的能力.教學(xué)重點(diǎn)四種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):C ' =C為常數(shù))，(xn) ' n=n-1(x Q),(sinx) 'cosx,(cosx) '-sinx.教學(xué)難點(diǎn)四種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，以及證明的過(guò)程，這些公式是由導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)出的.教學(xué)方法建構(gòu)主義式讓學(xué)生自己根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先證n N的情況.教學(xué)過(guò)程I .課題導(dǎo)入師我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義.我們是用極限來(lái)定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的，我們這節(jié)課來(lái)求幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).以后可以把它

5、們當(dāng)作直接的結(jié)論來(lái)用.n .講授新課師請(qǐng)幾位同學(xué)上來(lái)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. y=C(C是常數(shù))，求y'.學(xué)生板演解：y=f(x)=C, y=f(x+Ax)-f(x)=C-C=O,=0.y' C' =m y =0, y' =0.x 0 x2. y=xn(n N*),求 y'.學(xué)生板演解：y=f(x)=xn, Ay=f(x+Ax)-f(x)=(x+ Ax)n-xnxn c：xn1 x C：xn2( x)2 cn ( x)n xnC：xn1 x C；xn2( x)2C： ( x)n丄 CH Cx： 2 xC：(X)n1x y '務(wù)'y1n

6、12n2nn11n1n1lim lim Cnx Cnx x Cn ( x) Cnx nx x 0 x x 0 y ' =n-1.3. y=x-n(n N ),求 y .學(xué)生板演解：Ay=(x+Ax)-n-x-n11nn(x x) xnnx (x x)n n、n nx) x(x(x x) xyC：Xn1 Cn2xn 2 xC：(X)n1xn n(x x) X ylim yx 0 XClxn1 C：Xn2(X)2Cnn( x)n(x)nxn叫小2 nCnX2J n 1CnXn ,、n 1Cn( x)n n x x y' =x-n-1.4.y=sinx,求 y'叫兩位同學(xué)做)

7、學(xué)生板演生甲 解：Ay=s in( x+ Ax)-s inx=sin xcos Ax+cosxs in Ax-sinx,y sin xcos x cosxsin x sinxxx- ysin x cos x cosxsin x sinx limx 0sin x(cos x limx 0cosxs in2sin x( 2 sin limx 02x)lim cosxsx 0lim ( 2sin x)x 0 2 xsin 一2x 2(1")cosx=-2s inx 1 0+cosx=cosx.- y' cosx.生乙 Ay=si n(x+Ax)-si nxx x=2cos(x+ )

8、sin2 2y2cos(xx)sin x22xx5ylim yx 0 x2 cos(xx、.)sirx I 一lim22x0xX、.xcos(x)sin-lim22x0x2xsin -limcos(x-)lim02x02x 0x2=cosx. y' =sx.如果叫兩位同學(xué)上去做沒(méi)有得到兩種方法，老師可把另一種方法介紹一下探5.y=cosx,求y'也叫兩位同學(xué)一起做生甲 解：Ay=cosx+Ax-cosx=cosxcos Ax-s inxsin Ax-cosx,y lim -x 0 xcosxcos x sinxsin x cosx limx 0cosx(cos x 1) sin

9、xsin x limx 0l'm0(2cosx)cosx( 2sin2.2 xsin2lim sin xsi-xx 0sinx 1=-2cosx 1 0-s in x=-s inx, y' =nx.生乙解:limcos(x x) cosxx 02sin(x)sin2sin(xlimx)sin22=-s inx,/ y' =i nx.師由4、5兩道題我們可以比擬一下，第二種方法比擬簡(jiǎn)便，所以求三角函數(shù)的極 限時(shí)，選擇哪一種公式進(jìn)行三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化，要根據(jù)具體情況而定，選擇好的公式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.上面的第2題和第3題中，只證明了 n N*的情況，實(shí)際上它對(duì)于全體實(shí)數(shù)都 成

10、立.我們把上面四種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為四個(gè)公式，以后可以直接用板書(一)公式1 C ' =C(是常數(shù))公式 2 (xn)' n=n-1 (n R)公式 3 (sinx) ' cosx公式 4 (cosx) ' -=inx(二 )課本例題師下面我們來(lái)看幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用公式求：1 (1)(x3) ； (2)( 2) ' ；(3)O)'x學(xué)生板演(1)解：(x3) ' =31=3x2.& / 1、(2) 解: (T)(x 2) 2x 21 2x3.x1 1 1 1(x2)x221舟x212 x解：(.X)(還可以叫兩個(gè)同學(xué)同做一道題，一個(gè)

11、用極限即定義來(lái)求，一個(gè)用公式來(lái)求，比擬一下)(三)變化率舉例師我們知道在物理上求瞬時(shí)速度時(shí)，可以用求導(dǎo)的方法來(lái)求.知道運(yùn)動(dòng)方程s=s(t),瞬時(shí)速度V=s'tX板書物體按s=s(t)作直線運(yùn)動(dòng)，那么物體在時(shí)刻to的瞬時(shí)速度V0=s 'to(.vo=s 'to(叫做位移s在時(shí)刻to對(duì)時(shí)間t的變化率.師我們引入了變化率的概念，函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo的導(dǎo)數(shù)也可以叫做函數(shù) f(x)在點(diǎn)xo對(duì)自變量x的變化率.很多物理量都是用變化率定義的，除了瞬時(shí)速度外，還有什么？板書函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo對(duì)自變量x的變化率.生例如角速度、電流等.師它們是分別對(duì)哪些

12、量的變化率呢？生角速度是角度(作為時(shí)間的函數(shù))對(duì)時(shí)間的變化率；電流是電量(作為時(shí)間的函數(shù)) 對(duì)時(shí)間的變化率.師下面來(lái)看兩道例題.例1物質(zhì)所吸收的熱量Q=Q(T)(熱量Q的單位是J,絕對(duì)溫度T的單位是K),求熱量對(duì)溫度的變化率 C(即熱容量).學(xué)生分析由變化率的含義，熱量是溫度的函數(shù)，所以熱量對(duì)溫度的變化率就是熱量 函數(shù)Q(T)對(duì)T求導(dǎo).解：C=Q'T(,即熱容量為Q'T(J/K.師單位質(zhì)量物質(zhì)的熱容量叫做比熱容，那么上例中，如果物質(zhì)的質(zhì)量是v kg,那么比熱容怎么表示？1生比熱容是Q'T(J"kg K).-例2如圖3-9，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為10 cm的圓上逆時(shí)針作

13、勻角速運(yùn)動(dòng)，角速度為1 rad/s,設(shè)A為起始點(diǎn)，求時(shí)刻t時(shí)，點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn) M的速度.學(xué)生分析要求時(shí)刻t時(shí)M點(diǎn)的速度，首先要求出在 y軸的運(yùn)動(dòng)方程，是關(guān)于 t的函 數(shù)，再對(duì)t求導(dǎo)，就能得到 M點(diǎn)的速度了 .解：時(shí)刻t時(shí)，角速度為1 rad/s,/Z P0A=1 t=t rad./ MPO= Z POA=t rad./ OM=OP sinZ MPO=10 -sint.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為 y=10sint. v=y' =0sint) ' =COst,即時(shí)刻t時(shí)，點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn) M的速度為10cost cm/s.師我們學(xué)習(xí)了有關(guān)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，對(duì)于一些物理問(wèn)題，就可以利用導(dǎo)數(shù)

14、知識(shí)輕而易舉 地解決了 .求導(dǎo)時(shí)，系數(shù)可提出來(lái).川.課堂練習(xí)1. ( 口答)求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x5;(2)y=x6;(3)x=sint;(4) u=cos ©生(1)yf)'=5生(2)y'珀=6生(3)x =(nt)'cost.生(4)u' =Os©'-oin ©.2.求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y13 x;(2) y 3 x .(1) 解:/y1韋)點(diǎn))-3x-3-1_-3x-4.x解:yL丄1-1(3 x) (x3)- x33213x33. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是 s=t3(s單位：m,t單位：s),求質(zhì)點(diǎn)在t=3時(shí)的速

15、度. 解：v=s' =() ' =31=3t2, 當(dāng) t=3 時(shí)，v=3X32=27(m/s), 質(zhì)點(diǎn)在t=3時(shí)的速度為27 m/s.一 1 2 24物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)= gt (s單位：m,t單位：s,g=9.8 m/s ),求t=3時(shí)的速度.解：V s (t)(2 gt2) 2g 2t2 1 gt,當(dāng) t=3 時(shí)，v=g 3=9.8 X3=29.4(m/s), t=3時(shí)的速度為 29.4 m/s.師該題也用到求導(dǎo)時(shí)系數(shù)可提出來(lái)根據(jù)Cf(x) ' Cf' x)(C是常數(shù)).這由極限的知識(shí)可以證得.rCf (x x) Cf(x)廠 f (x x

16、) f (x),Cf (x) limlim C=Cf x).x 0xx 0x5.求曲線y=x4在點(diǎn)P(2, 16)處的切線方程.解：y' =0 ' =41=4x3.- y'x=2=4 X23=32.點(diǎn)P(2, 16)處的切線方程為 y-16=32(x-2),即 32x-y-48=0.IV .課時(shí)小結(jié)學(xué)生總結(jié)這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了四個(gè)公式(C' =C是常數(shù))，(xn) ' n=n-1 (n R),(sinx) ' cosx,(cosx) '-=nx)以及變化率的概念：vo=s't(叫做位移s在時(shí) 刻to對(duì)時(shí)間t的變化率，函數(shù)y=f(x)在

17、點(diǎn)xo的導(dǎo)數(shù)f'x0)叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo對(duì)自變量x的變 化率.V .課后作業(yè)(一) 課本 P116習(xí)題 3.22, 4, 5.(二) 1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本 P118119和(或差)、積的導(dǎo)數(shù).2. 預(yù)習(xí)提綱：(1)和(或差)的導(dǎo)數(shù)公式、證明過(guò)程.積的導(dǎo)數(shù)公式、證明過(guò)程.預(yù)習(xí)例1、例2、例3，如何運(yùn)用法那么1、法那么2.板書設(shè)計(jì)§ 3.2幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1C ' =0(為常數(shù))公式 2(xn) ' n=n-1(n R)公式 3(sinx) ' cosx公式 4(cosx) ' -sinxV0=s ' t(是位移s在t0對(duì)時(shí)間t的變化率.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0對(duì)自變量x的變化率.1. y=C(C是常數(shù)),求y '.2. y=xn(n N*),求 y'.3. y=x-n(n N*),求 y'.4. y=sinx,求y'兩種方法)5. y=cosx,求y'兩種方法)課本例題1(1)(x3) ' ；(2鬆)；(3)(X)'.X,求熱量對(duì)溫度的變化率 C