概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)講義版

1、 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)講義主講：名師，博士，著名數(shù)學(xué)輔導(dǎo)，教育部“精品課程建設(shè)骨干教師”，暢銷書高等數(shù)學(xué) 18 講、數(shù)學(xué)題源探析經(jīng)典 1000 題作者，高等教育入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)參考書（大綱）編者之一，2007 年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會受邀（15 分鐘主旨）。首創(chuàng)“題源教學(xué)法”，對數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和體系有全新的解讀，對數(shù)學(xué)題與復(fù)習(xí)思路有極強(qiáng)的把握和預(yù)測能力，讓學(xué)生輕松高效奪取高分。歡迎使用目錄第一講第二講第三講第四講第五講如何處理復(fù)雜？. 1如何求分布？5如何求數(shù)字特征？10如何使用極限定理？12如何作估計(jì)？13 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一講如何處理復(fù)雜？1

2、. 預(yù)備知識（1）隨機(jī)試驗(yàn)稱一個(gè)試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，如果1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2) 試驗(yàn)所有可能結(jié)果是明確可知道的，并且不止一個(gè)；3) 每一次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果事先不能確定【評注】我們是通過研究隨機(jī)試驗(yàn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的，為方便起見，將隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn)，并用字母 E 或 E1, E2 , En ,表示在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)字母 A ，B ，C 等表示，為討論需要，將每次試驗(yàn)一定發(fā)生的，簡稱為稱為必然，并用大寫，記為W 每稱為不可能，記為Æ 次試驗(yàn)一定不發(fā)生的或樣本點(diǎn)，記為w 每次試驗(yàn)?zāi)茈S機(jī)試驗(yàn)每一最簡單、最基本的結(jié)果稱為基本且只能發(fā)生一個(gè)基本基

3、本(或樣本點(diǎn))的全體稱為基本空間(或樣本空間)，記W= w ，隨機(jī)為W ，即A 總是由若干個(gè)基本組成，即 A 是W 的子集，A ÌW 事件 A 發(fā)生等價(jià)于A 的基本有一個(gè)發(fā)生在不少情況下，我們不能確切知道某一隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果，但可以知道它不超出某個(gè)范圍這時(shí)，也可以用這個(gè)范圍來作為該試驗(yàn)的全部可能結(jié)果例如我們需要某個(gè)城市一天的交通事故數(shù)量，則試驗(yàn)結(jié)果將是非負(fù)數(shù) x 我們無法確定 x 的可能取值的確切范圍，但可以把這范圍取為0, +¥) ，它總能包含一切可能的試驗(yàn)結(jié)果，盡管我們明知，某些結(jié)果，如x10000，是出現(xiàn)的，我們甚至可以把這范圍取為(-¥, +

4、5;) 也無妨這里就有了一定的數(shù)學(xué)抽象，它可以帶來很大的方便（2）的運(yùn)算的、運(yùn)算與集合的、運(yùn)算相當(dāng)，且具有相同的運(yùn)算法則：吸收律：若 A Ì B ，則 AÈ B = B ， AB = A ； 交換律： AÈ B = B È A， AB = BA；結(jié)合律： ( A È B) È C = A È (B È C)， ( AB)C = A(BC) ；分配律： A(B È C) = AB È AC ， A È BC = ( A È B)( A È C) ； A(B - C)

5、= AB - AC ；對偶律： AB = AB , AB = AB .2. 古典概型定義：如果其基本空間(樣本空間)滿足(1)只有有限個(gè)基本(樣本點(diǎn))；(2)每個(gè)基本(樣本點(diǎn))發(fā)生的可能性都一樣稱隨機(jī)試驗(yàn)(隨機(jī)現(xiàn)象)的概率模型為古典概型.如果古典概型的基本總數(shù)為 n ，A 包含k 個(gè)基本，即有利于 A 的基本k1 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)個(gè)則 A 的概率定義為A所含基本的個(gè)數(shù)P( A) =n基本總數(shù)由上式計(jì)算的概率稱為 A 的古典概率【例】將n 個(gè)球隨意放入 N (n £ N ) 個(gè)盒子中，每個(gè)盒子可放任意多球，求 P 恰有n 個(gè)盒子中各有一球.【注】假設(shè)有 12 個(gè)人回母校參加

6、校慶，則 P 12 個(gè)人生日全不相同=.3. 幾何概型引例定義：如果(1)樣本空間(基本空間) W 是一個(gè)可度量的幾何區(qū)域；(2)每個(gè)樣本點(diǎn)(基本)發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點(diǎn)落入W 的某一可度量的子區(qū)域 A 的可能性大小與 A的幾何度量成正比，而與 A 的位置及形狀無關(guān)稱隨機(jī)試驗(yàn)(隨機(jī)現(xiàn)象)的概率模型為幾何概型.在幾何概型隨機(jī)試驗(yàn)中，如果 SA 是樣本空間W 一個(gè)可度量的子區(qū)域，則A “樣本點(diǎn)落入?yún)^(qū)域 SA ”的概率定義為P( A) = SA的幾何度量W的幾何度量由上式計(jì)算的概率稱為 A 的幾何概率.【例】甲、乙有約，上午 9:0010:00 到校門口見面，等 20 分鐘即離開.求 P 相遇

7、=.2 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4. 重要公式求概率 P( A) = 1- P( A) ； P( A - B) = P( A) - P( AB) ； P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) ；P( A + B + C) = P( A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P(BC) - P( AC) + P( ABC) ；大于 3 個(gè)時(shí)，只考查【注】當(dāng)nnAn (n ³ 3) 兩兩互斥，則 P(Ai ) = å P( Ai ) ；1） A1, A2 ,i=1i=1An (n ³ 3) 相互2） A1, A2 ,，則nn

8、È An ) = 1- Õ1- P( Ai ) .i=1Ai ) = P( A1 È A2 È A3 ÈP(i=1An ，若對其中任意有限個(gè) Ai1, Ai2 , Aik (k ³ 2) ，都有相互：設(shè) A1, A2,P(Ai1 Ai2Aik ) = P(Ai1)P(Ai2 )P(Aik ) ，則稱 A1, A2 ,An 相互.相互Û 它們中任意一部分n 個(gè)換成各自的對立所得n 個(gè)新相互 P(B | A) = P( AB)( P( A) > 0 )P( A) P( AB) = P( A)P(BA) ； P(ABC) =

9、 P(AB)P(CAB) = P(A)P(BA)P(CAB) ；全概率公式（全集分解公式）引例 假設(shè)一個(gè)村子里有三個(gè)小偷，求失竊的概率P失竊.n定義：如果UAi = W, Ai Aji-1= f(i =/j), P( Ai ) > 0 ，則對任一B ，有nnB = UAi B, P(B) = åP( Ai )P(B | Ai ).i -1i -1公式3 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)n如果UAi = W, Ai Aji=1= f(i =/j), P( Ai ) > 0 ，則對任一件事 B ，只要 P(B) > 0 ，有P( A | B) = P( Ai )P(B |

10、Ai ) (i = 1,2,L, n)inåP( Ai )(B | Ai )i=1射擊，輪流對同一目標(biāo)射擊. P 甲命中=a ， P 乙命中= b .甲【例】有甲、唯一先射擊，誰先命中誰獲勝.制作所有-歡迎咨詢、乙獲勝的概率.4 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二講如何求分布？1. 基本概念（1）隨量量就是“其值隨機(jī)會而定”的變量設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間為W= w ，如隨果對每一個(gè)w ÎW ，都有唯一的實(shí)數(shù) X (w) 與之對應(yīng)，并且對任意實(shí)數(shù) x ，w : X (w) £ x是隨機(jī)，則稱定義在W 上的實(shí)單值函數(shù) X (w) 為隨量簡記為隨量 X 一般用大寫字母

11、X ， Y ， Z 或希臘字母 x ，h ，來表示隨（2）分布函數(shù)量PÎ R) 為隨設(shè) X 是隨量， x 是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù) F(x)量 X 的分布函數(shù)，或稱 X 服從分布 F (x) ，記為 XF (x) （3）離散型隨量如果隨量 X 只可能取有限個(gè)或可列個(gè)值 x1, x2 ,，則稱 X 為離散型隨量，稱= PX= xi ， i = 1, 2,pi，為 X 的分、分布律或概率分布，記為 Xpi 概率分Lö÷ .2布常用表格形式或矩陣形式表示，即或ppLøè12量 X 的概率分布為 pi = PX = xi ，則 X 的分布函數(shù)設(shè)離散型隨F (

12、x) = P( X £ x) = åP( X = xi )xi £ x（ -¥ < x < +¥）（4）連續(xù)型隨量對于某一隨便變量 X ，若非負(fù)可積函數(shù) f (x) ，使得xòF (x) =f (t)dt ， -¥ < x < +¥-¥則稱 X 為連續(xù)型隨2. 重要分布（1） 0 -1 分布（兩點(diǎn)分布）量.5 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)æ 1ö01 - P= 0 = 1- p ，則稱 X 服從= 1 = p ， P X如果 X 的概率分布為 X çP

13、÷ø即 P XèB(1, p)(0 < p < 1) 參數(shù)為 p 的 0-1 分布，記為 X（2）二項(xiàng)分布【注】n 重試驗(yàn)：1）相互；2）每次試驗(yàn)出現(xiàn) A 的概率相同；3）只有兩個(gè)結(jié)果PX = PX=k=k=k k)nk -1(p-，k = 0,1,A ，A . A 發(fā)生的次數(shù)記為 X ，則C p, n .nn-k如果 X 的概率分布為 p = P X = k = C p (1- p)， k = 0,1, n ， 0 < p < 1 ，k kkn則稱 X 服從參數(shù)為(n, p) 的二項(xiàng)分布，記為 XB(n, p) .（3）幾何分布（與幾何無

14、關(guān)?。笆字屑赐Ｖ埂保ǖ却头植迹? PX = k = qk-1 p ， k = 1, 2, n ， 0 < p < 1 ，如果 X 的概率分布為 pkq = 1- p ，則稱 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布（4）超幾何分布假N 件， M 件正品，n 件，取到k 個(gè)正品的概率 p ？n-kN -M ， k = 0,1,如果 X 的概率分布為， min(M , n) ， N ，CnNM ， n 為正整數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 N ， M ， n 的超幾何分布（5）泊松分布在某場合，某時(shí)間段內(nèi)，源源不斷地質(zhì)點(diǎn)來流的個(gè)數(shù) X 服從泊松分布.l kk !如果 X 的概率分布為 PX = k

15、 =e，k = 0,1,-l，l > 0 ，則稱 X 服從參數(shù)為l的泊松分布.（6）均勻分布（與幾何概型若隨量 X 在區(qū)間 I 上的）區(qū)間取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比，則稱ì1a < x < b,其他f (x) = ïb - a,XU (I ) .也即 X，記為 XU (a, b) .íïî0,（7）指數(shù)分布6 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ìle,-l xx > 0,x £ 0f (x) =（ l > 0 ），則稱 XE(l) .若 Xíî0,（8）正態(tài)分布-( x-m

16、)21N(m,s 2) .若 Xf (x) = e2s 2， -¥ < x < +¥，則稱 X2ps3. 例題分析【例】已知某由若干零部件組成，其中有i 個(gè)(i = 0,1, 2) 非優(yōu)質(zhì)品零件的可能性相同.服從參數(shù)l = i +1 的指數(shù)分布，求有i 個(gè)非優(yōu)質(zhì)品零件時(shí)，其使用當(dāng)使用X 的分布函數(shù) F (x) 與概率密度 f (x) .4.（二維）隨量及其分布分布、邊緣分布、條件分布、性（1）二維隨量如果 X ， Y 是定義在同一個(gè)樣本空間W 上的二個(gè)隨量，則稱二元總體( X ,Y ) 為n 是定義在同一樣本空間W 上的 n 個(gè)二維隨量(或二維隨機(jī)向量)如果隨量

17、，則稱 n 元總體(n ) 為 n 維隨量或n 維隨機(jī)向量 Xi 稱為第i 個(gè)分量（2）分布函數(shù)設(shè)( X ,Y ) 為二維隨量，對任意的實(shí)數(shù) x, y ，稱二元函數(shù)PX £ x,Y £ y (x, y) Î RF(x, y)為二維隨量( X ,Y ) 的分布函數(shù)，簡稱為分布函數(shù)，記為( X ,Y )F (x, y) （3）離散型隨量7 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)量( X ,Y ) 只能取有限對值或可列對值(x1, y1) ， (x1, y2 ) ，如果二維隨(xn , yn )，則稱( X ,Y ) 為二維離散型隨量稱P(X = xi ,Y = yj ) ， i

18、, j = 1, 2,pij為( X ,Y ) 的概率分布或分布，記為( X ,Y )pij 分布常用表格形式表示) = P( X = xi ,Y = y j ) =pij條件分布： P( X = xY = y( X 在Y = y 條件下的條件分布)ijP(Y = y )jpjj= xi ,Y = y j ) =X = x ) = P( Xpij pP(Y = y( Y 在 X = x 條件下的條件分布)jiP( X = x )iii性： pi × p j = pij (i, j = 1, 2,) Û X ,Y.（4）連續(xù)型隨量量( X ,Y ) ，如果非負(fù)可積函數(shù) f (

19、x, y) ，使得對于二維隨xyò òF (x, y) =f (u, v)dudv (x, y) Î R-¥ -¥則稱( X ,Y ) 為二維連續(xù)型隨量.+¥邊緣概率密度： f X (x) = ò-¥ f (x, y)dyfY ( y) = ò-¥ f (x, y)dx( X ,Y ) 關(guān)于 X 的概率密度+¥( X ,Y關(guān)于Y 的概率密度f (x, y) ( fy) =( y) > 0)= y 條件下的條件密度)條件概率密度： f(x( X 在YYX Y f ( y)Yf (x

20、, y) ( fx) =(x) > 0)= x 條件下的條件密度)f( y( Y 在 XXY X f (x)XfX (x) fY ( y) = f (x, y) Û X ,Y性：.= x (0 < x < 1) 的條件下，Y 在(0, x) 內(nèi)服從均勻分布.【例】設(shè) X8U (0,1) ，在 X 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)求：（） f (x, y) ；（） fY ( y) .【總結(jié)】求誰不積誰，不積先定限，限內(nèi)畫直線，先交寫下限，后交寫上限.9 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三講如何求數(shù)字特征？1. 數(shù)學(xué)期望（1）離散型隨量ö¥÷ ，

21、則 EX = å xi pi .n若 Xç pppè 1øi=12n（2）連續(xù)型隨量+¥= ò-¥若 Xf (x) ，則 EXxf (x)dx .ìï¥åg(x ) p離散型ii【注】若Y = g( X )，則 EY = íi=1.ï+¥òg(x) f (x)dx,連續(xù)型î -¥2.方差 DX設(shè) X 是隨量，如果 E(X - EX，則稱 E(X - EX )2 為 X 的方差，記為 DX .2即 DX = E(X - EX )

22、2 .ìï¥å(x - EX )2 p離散型ii從定義角度， DX = íi=1ï+¥ò(x - EX ) f (x)dx,連續(xù)型2î -¥【注】 DX = EX 2 -(EX )2 ， EX 2 = DX + (EX )23.協(xié)方差如果隨量 X 與Y 的方差 DX > 0 ， DY > 0，則稱 E( X - EX )(Y - EY ) 為隨量 X 與Y 的協(xié)方差并記為cov( X ,Y ) .cov( X ,Y ) = EXY - EX × EY .若Y = X ，則c

23、ov( X ,Y ) = cov( X , X ) = DX .4.相數(shù)cov( X ,Y )r=，稱為隨量 X 與Y 的相數(shù).XYDX ×DY10 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)= EXY - EX × EYÞ rXYDX × DY唯一【例】設(shè)某商品每周的需求量 X制作所有-歡迎咨詢U10, 30.當(dāng)商店進(jìn)貨數(shù)為10, 30 中的某一整數(shù)時(shí)，商店每售出一件商品可獲利 500 元.1）若供大于求，則降價(jià)處理，處理的每件商品虧損 100 元；2）若供不應(yīng)求，則可從外調(diào)貨供應(yīng)，此時(shí)每件商品僅獲利 300 元.為使商店所獲利潤的期望值不少于 9280 元，試確定

24、最少進(jìn)貨量.11 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四講如何使用極限定理？1.依概率收斂設(shè)數(shù)列Xn ， n = 1, 2,， X 為一隨量（或a 為一常數(shù)）.任給正數(shù)e > 0 ，恒有l(wèi)im P Xn - X< e = 1（或lim P Xn - a< e = 1），則稱隨量序列n®¥n®¥n ,依概率收斂于 X （或a ）.2.大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律：假設(shè)Xn , n ³ 1 是相互的隨量序列，如果方差D(Xk )(k ³1)且一致有上界，即常數(shù)C ，使 D(Xk ) £ C ，n(一切k ³ 1

25、 )，則X , n ³ 1 服從大數(shù)定律： 1 ånX - 1 åEX0.®Pniinn=i 1i 1大數(shù)定律：假設(shè) mn 是 n 重A 發(fā)生的次數(shù)，在每次試驗(yàn)中試驗(yàn)中A 發(fā)生的概率為 p(0 < p < 1) ，則 mn ®Pp ，即對任意e > 0 ，有l(wèi)im P| mn - p |³ = 0.nn大數(shù)定律：假設(shè)Xn , n ³ 1 是n®¥同分布的隨量序列，如果 EXn = m(n ³1)n1n1nåXi i=1å，則X ® m ，即對任意e

26、 > 0 ，有l(wèi)im P|- m |³ = 0.Pin i =1n®¥3.中心極限定理同分布中心極限定理)：假設(shè)Xn , n ³ 1 是中心極限定理（同分布的隨量序列，如果，則Xn , n ³ 1 服從中心極限定理，即對任意的實(shí)EXn = m ， DXn = s (n2數(shù) x ，有n1)åXi - nmx - 1 x12òlim P i=1£ x =edt = (x).2ns-¥n®¥棣拉斯中心極限定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為其極限分布定理)：假設(shè)隨量YnB(n, p) ， (0

27、< p < 1, n ³ 1) ，則對任意實(shí)數(shù) x ，有Yn - np12xò- x/2 £ x =edt = (x).lim Pnp(1 - p)n®¥-¥12 數(shù)學(xué)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講如何作估計(jì)？1.總體與樣本總體 X 某全體研究對象的某一指標(biāo)樣本只研究“簡單隨機(jī)樣本”： Xi同分布于 X2.統(tǒng)計(jì)量設(shè)(X1, Xn ) 為總體 X 的樣本， g(x1, xn ) 為 n 元函數(shù)，如果 g 中不含任何未知參數(shù)，則稱 g(X1, Xn ) 為樣本(X1, Xn ) 的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量若(x1, xn ) 為樣本值，則稱g(x1, xn ) 為 g(X1, Xn ) 的觀測值3.矩估計(jì)ìï¥åx p ,離散型1nni iå Xi i=1EX = íi=1ï+¥òxf (x)dx,連續(xù)型î -¥x < 1,，求q 的矩估計(jì)量.其他【例】設(shè)總體0,î4.最大似然估計(jì)對未知參數(shù)q 進(jìn)行估計(jì)時(shí)，在該參數(shù)可能的取值范圍 內(nèi)選取使“樣