垂直于弦的直徑

1、24.1.2 垂直于弦的直徑 1.1.理解圓的軸對稱性及垂徑定理及其它的推證過程；理解圓的軸對稱性及垂徑定理及其它的推證過程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算和證明能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算和證明. .2.2.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力的能力. .3.3.通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美觀，并通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美觀，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo) 學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解圓的軸對稱性，掌握垂徑理解圓的軸對稱性，掌握垂徑定理及其推論，學(xué)會運(yùn)用垂徑定理等結(jié)論定理及其推論，學(xué)會運(yùn)用垂徑定理等結(jié)論解決一

2、些有關(guān)證明、計算和作圖問題。解決一些有關(guān)證明、計算和作圖問題。 學(xué)習(xí)難點(diǎn)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：垂徑定理及其推論。垂徑定理及其推論。自學(xué)指導(dǎo) 認(rèn)真看書認(rèn)真看書81-83頁，獨(dú)立完成以下問題，看頁，獨(dú)立完成以下問題，看誰做得又對又快？誰做得又對又快？ 1、結(jié)合、結(jié)合81探究探究，同學(xué)們動手操作，你發(fā)現(xiàn)同學(xué)們動手操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？你得到什么結(jié)論？你會證明你的了什么？你得到什么結(jié)論？你會證明你的結(jié)論結(jié)論嗎？嗎？ 2、什么什么是垂徑定理是垂徑定理？它的推論是什么？它的推論是什么？ 3、你知道解例你知道解例2的每步依據(jù)的每步依據(jù)嗎？嗎？問題問題 &探究探究1 1 用紙剪一個圓（課前布置學(xué)生準(zhǔn)備好）用紙剪一個

3、圓（課前布置學(xué)生準(zhǔn)備好） 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形 ，任何一條，任何一條直徑直徑所在直線所在直線都是它的對稱軸都是它的對稱軸2探究新知探究新知 不借助任何工具，你能找到圓形不借助任何工具，你能找到圓形紙片的圓心嗎紙片的圓心嗎? ?由此你能得到圓的什么特性？由此你能得到圓的什么特性？ 實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸它的對稱軸如圖，如圖，AB

4、是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？OABCDE活活 動動 二二（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對稱軸直線是它的對稱軸（2） 線段：線段： AE=BE?。海。?，把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，兩側(cè)的兩個半圓重合，點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重合，重合，和和 重合，重合，和和

5、重合重合疊疊 合合 法法垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分平分這條弦這條弦，并并且且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的兩條弧。題設(shè)題設(shè)結(jié)論結(jié)論（1）過圓心）過圓心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)弧）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣?。┢椒窒宜鶎Φ牧踊?獲得新知獲得新知垂徑定理垂徑定理垂直于弦垂直于弦的的直徑直徑平分弦平分弦, ,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧CDABCDAB CD CD是直徑，是直徑， AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE 老師提示老師提示: : 垂徑定理是

6、圓中一個重要的定理垂徑定理是圓中一個重要的定理, ,三種語言要相互轉(zhuǎn)化三種語言要相互轉(zhuǎn)化, ,形成整體形成整體, ,才能運(yùn)用自如才能運(yùn)用自如. .3獲得新知獲得新知知二推三知二推三問題問題 &探究探究3 3 問題：把垂徑定理中的題設(shè)問題：把垂徑定理中的題設(shè)垂直于弦垂直于弦的的直徑換為直徑換為平分弦平分弦的直徑。你會得到什么結(jié)論？的直徑。你會得到什么結(jié)論？ 垂徑定理推論垂徑定理推論 平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂的直徑垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直徑，是直徑， AE=BE AE=BE AC =BC,

7、 AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE（2 2）“不是直徑不是直徑”這個條件能去掉嗎？如這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例。果不能，請舉出反例。 平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂直于的直徑垂直于弦弦, ,并且平分弦所對的兩條弧。并且平分弦所對的兩條弧。OABCD CD CD是直徑是直徑, , CDAB, CDAB, AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD. 如果具備上面五個條件中的任何兩個，那如果具備上面五個條件中的任何兩個，那么一定可以得到其他三個結(jié)論嗎？么一定可以得到其他三個結(jié)論嗎？ 一條直線一條直線滿足滿足:(1):(1

8、)過圓心過圓心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）; (4); (4)平分弦所對優(yōu)弧平分弦所對優(yōu)弧;(5);(5)平分弦所對的劣弧平分弦所對的劣弧. .OABCDM課堂討論課堂討論根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)：根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)：過圓心過圓心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所對優(yōu)弧平分弦所對優(yōu)弧 平分弦所對劣弧平分弦所對劣弧（1 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所 對的兩條弧。對的兩條弧。（3 3）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所

9、對的兩條弧。（2 2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分 弦所對的另一條弧。弦所對的另一條弧。只要具備上述五個條件中任兩個只要具備上述五個條件中任兩個,就可以推出其余三個就可以推出其余三個.(4)若若 ，CD是直徑是直徑,則則 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直徑是直徑, 則則 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直徑是直徑, 則則 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB, 則則 、 、 .1.如圖所示如圖所示:練習(xí)練習(xí)OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直徑是直徑 A

10、C=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD EDCOAB下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂徑定理的幾個基本圖形：垂徑定理的幾個基本圖形：CDCD過圓心過圓心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD1 1、如圖，、如圖，ABAB是是O O的直徑，的直徑，CDCD為弦，為弦，CDABCDAB于于E E，則下列結(jié)論中則下列結(jié)論中不成立不成立的是（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、

11、BD=BCBD=BC OABECDC C2 2、如圖，、如圖，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半徑為的半徑為10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,則則AB=AB= cmcm。OABE解：解：連接連接OAOA， OEABOEABcmOEOAAE8=610= =2222 AB=2AE=16cm AB=2AE=16cm3 3、如圖，在、如圖，在O中，弦中，弦ABAB的長為的長為8cm8cm，圓，圓心心O到到AB的距離為的距離為3cm3cm，求，求O的半徑。的半徑。OABE解：解：過點(diǎn)過點(diǎn)O O作作OEABOEAB于于E E，連接，連接OAOAcmOEcmABAE3=4=21=cm

12、OEAEAE5=34= =2222即即O的半徑為的半徑為5 5cm.cm.4 4、如圖，、如圖，CDCD是是O的直徑，弦的直徑，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直徑，求直徑CDCD的長。的長。OABECD解：解：連接連接OAOA， CD CD是直徑，是直徑，OEABOEAB AE=1/2 AB=5 AE=1/2 AB=5設(shè)設(shè)OA=xOA=x，則，則OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13 OA=13 CD=2OA=26 CD=2OA=26即直徑即直

13、徑CDCD的長為的長為26.26.如圖，如圖，1 400 多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）是主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）是 37 m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為 7.23 m，你能求趙州橋，你能求趙州橋主橋拱的半徑嗎？主橋拱的半徑嗎？例例 2 237m7.23mABOCD關(guān)于弦的問題，常關(guān)于弦的問題，常常需要常需要過圓心作弦過圓心作弦的垂線段的垂線段，這是一，這是一條非常重要的條非常重要的輔助輔助線線。圓心到弦的距離、圓心到弦的距離、半徑、弦半徑、弦構(gòu)成構(gòu)成直角直角三角形三角形，便

14、將問題，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。的問題。ABOCD解：解：如圖，用如圖，用ABAB表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè)ABAB所在的圓的圓心為所在的圓的圓心為O O，半徑為，半徑為R R. .經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OCOC垂足為垂足為D D，與，與ABAB交于點(diǎn)交于點(diǎn)C C，則，則D D是是ABAB的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，C C是是ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37m AB=37m，CD=7.2CD=7.23 3m m AD=1/2 AB=18. AD=1/2 AB=18.5 5m m，OD=OC-CD=OD=OC-CD=R

15、R-7.2-7.23 3 222ADODOA解得解得R R27.27.3 3（m m）即即主橋拱半徑約為主橋拱半徑約為27.27.3 3m.m.22223. 75 .18RR2.2.（湖州（湖州中考）如圖，已知中考）如圖，已知O O的直徑的直徑ABAB弦弦CDCD于點(diǎn)于點(diǎn)E E，下列結(jié)論中一定正確的是（，下列結(jié)論中一定正確的是（ ）A AAEAEOE OE B BCECEDEDE12CECEC COEOED DAOCAOC6060B B1.1.（紹興（紹興中考）已知中考）已知O O的半徑為的半徑為5,5,弦弦ABAB的弦心的弦心距為距為3,3,則則ABAB的長是的長是( )( )A.3 B.4 C.6 D.8A.3 B.4 C.6 D.8D D四、當(dāng)堂檢測四、當(dāng)堂檢測 鞏固新知鞏固新知2 2、已知：如圖，在以、已知：如圖，在以O(shè) O為圓為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦心的兩個同心圓中，大圓的弦ABAB交小圓于交小圓于C C，D D兩點(diǎn)兩點(diǎn). .求證：求證：ACACBD.BD.證明：證明：過過O O作作OEABOEAB，垂足為，垂足為E E，則則AEAEBEBE，CECEDE.DE.AEAECECEBEBEDE.DE.所以，所以，ACACBDBDE E. .A AC CD DB BO O通過本課時的學(xué)