垂直于弦的直徑公開(kāi)課版

1、24.1.2 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑木雙中學(xué)木雙中學(xué):袁石林袁石林問(wèn)題：趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1 400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37 m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7. 23 m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位） 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實(shí)踐探究實(shí)踐探究 剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一剪一個(gè)圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折條直徑對(duì)折, 重復(fù)做幾次重復(fù)做幾次, 你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么? 由此你能得到什么結(jié)論由此你能得到什么結(jié)論?你能證明你的結(jié)你能證明你的結(jié)論嗎？論嗎

2、？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸是圓的對(duì)稱軸證明：證明：分析：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對(duì)稱軸）分析：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上。的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上。連接連接OA，OA.在在OAA中：中：OA=OAOAA是等腰三角形。是等腰三角形。又又 AACDAM=MA即即CD是是AA的垂直平分線。這就是說(shuō)，的垂直平分線。這就是說(shuō)，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線，在圓上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A,因此因此

3、O關(guān)于直線關(guān)于直線CD對(duì)稱。對(duì)稱。如圖，設(shè)如圖，設(shè)CD是是 O的任意一條直徑，的任意一條直徑， A為為 O上點(diǎn)上點(diǎn)C，D以外的任意一點(diǎn)。以外的任意一點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作作AACD ,交交 O于點(diǎn)于點(diǎn)A，垂足為，垂足為M，OAA CDM垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧所對(duì)的兩條弧即：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在即：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸。直線都是圓的對(duì)稱軸。你能從上面的證明中，你能從上面的證明中

4、，找到哪些等量？找到哪些等量？AM=AM 弧弧AC=弧弧AC 弧弧AD= 弧弧AD判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE【解析解析】定理中兩個(gè)條件（直徑垂直于弦）缺一不可，故定理中兩個(gè)條件（直徑垂直于弦）缺一不可，故前兩個(gè)圖均不能，第三四個(gè)圖可以！前兩個(gè)圖均不能，第三四個(gè)圖可以！定理辨析定理辨析1如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE練習(xí)練習(xí)解：解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答：

5、O的半徑為的半徑為5cm.118422AEAB 例例2 趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1 400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37 m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7. 23 m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位） 分析：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖分析：解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫(huà)出幾何圖形畫(huà)出幾何圖形解：如下圖，用解：如下圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的所在圓的圓心為圓心為O，半徑為，半徑為R經(jīng)過(guò)圓心 O作弦 AB的垂線 OC，D為垂足，OC與 相交于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理，D

6、是AB的中點(diǎn)，C是 的中點(diǎn)，CD就是拱高由題設(shè)可知 AB37 m，CD7. 23 m，所以 ODOCCDR7.23在RtOAD中，由勾股定理，得 OA2AD2OD2，即 R218.52(R7.23)2解得 R27.3 m因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3 mAD AB 3718.5（m），），2121弓形的弦長(zhǎng)為弓形的弦長(zhǎng)為6cm，弓形的高為，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為則這弓形所在的圓的半徑為. D C A B O134cm本節(jié)課我們學(xué)了些什么？本節(jié)課我們學(xué)了些什么？作業(yè)：課本作業(yè)：課本P83頁(yè)練習(xí)頁(yè)練習(xí)2，P89習(xí)題習(xí)題 1-2垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所 對(duì)的兩條弧對(duì)的兩條弧推論：平分弦推論：平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧分弦所對(duì)的兩條弧2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE