小學(xué)數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)與思考

1、小學(xué)數(shù)學(xué)根本數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)與考慮小數(shù)教材體系包括兩條主線:其一數(shù)學(xué)知識;其二,數(shù)學(xué)思想。教者只要看教材,就能明確前者;后者有掌握小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法,才能明確為什么要這樣寫,才能從整體上、本質(zhì)去理解教材,也才能科學(xué)地、靈敏地設(shè)計(jì)教學(xué)方法,進(jìn)步課堂教學(xué)效率?；?義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2021年版)?,提出四基的理念,根底知識、根本技能、根本思想、根本活動經(jīng)歷。什么是根本思想?有哪些根本思想?小學(xué)數(shù)學(xué)每冊教材每一課時,都有浸透哪些根本思想?我們努力作一些梳理,便于今后每位數(shù)學(xué)教師都能有參照。因?yàn)槭箤W(xué)生獲得數(shù)學(xué)的根本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目的。數(shù)學(xué)抽象的思想:抽象是對同類事物抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征,

2、舍去其非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。人們在思維中,抽象過程是通過一系列的比較和區(qū)分、舍棄和收括的思維操作實(shí)現(xiàn)的。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區(qū)分開始的。所謂比較,就是在思維中確定對象之間的一樣點(diǎn)和不同點(diǎn);而所謂區(qū)分,那么是把比較得到的一樣點(diǎn)和不同點(diǎn)在思維中固定下業(yè),利用它們把對象分為不同的類。然后再進(jìn)展舍棄與收括,舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質(zhì),收括那么是指把對象的我們所需要的性質(zhì)固定下來,并用詞表達(dá)出來。這就形成了抽象的概念,同時也就形成了表示這個概念的詞,于是完成了一個抽象過程。數(shù)學(xué)推理的思想:推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前

3、提,根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式:演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)那么)推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是:當(dāng)前提為真時,結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有:三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā),憑借經(jīng)歷和直覺,通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有:歸納推理和類比推理。當(dāng)前提為真時,合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。數(shù)學(xué)建模的思想:數(shù)學(xué)建模就是指用數(shù)學(xué)的語言描繪實(shí)際現(xiàn)象,通過設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)方法,最終解決實(shí)際問題的整個過程。在現(xiàn)實(shí)中為了要解決實(shí)際問題,在實(shí)際問題與數(shù)學(xué)之間架設(shè)一座方便之橋。并用數(shù)學(xué)語言概括地或

4、近似地描繪現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)構(gòu)造。通過數(shù)學(xué)的計(jì)算、分析、找到解決問題的有效途徑。數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號表達(dá)式和圖表,因此它與符號化思想有很多相通之處,同樣具有普遍的意義。不過,也有很多數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描繪為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系構(gòu)造。數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和工具,對現(xiàn)實(shí)世界的一些信息進(jìn)展適當(dāng)?shù)暮喕?經(jīng)過推理和運(yùn)算,對相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)展分析、預(yù)測、決策和控制,并且要經(jīng)過理論的檢驗(yàn)。假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的,便可以指導(dǎo)我們的理論?；谏鲜鰯?shù)學(xué)根本思想又可以演變、派生、開展出一些思想,主要表達(dá)如下:一、由數(shù)學(xué)抽象的思想派

5、生出來的有:分類的思想、集合的思想、數(shù)學(xué)形結(jié)合的思想,變中不變的思想、符號表示的思想、對稱的思想、對應(yīng)的思想、有限與無限的思想等。二、由數(shù)學(xué)推理的思想派生出來的有:歸納的思想、演繹的思想、公理化思想、轉(zhuǎn)換化歸的思想、聯(lián)想類比的思想、逐步逼近的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等。三、由數(shù)學(xué)建模的思想派生出來的有:簡化的思想、量化的思想、函數(shù)的思想、方程的思想、優(yōu)化的思想、隨機(jī)的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)的思想等。對各個數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵界定1、分類的思想:所謂分類,就是根據(jù)對象的某一屬性特征把它們不重復(fù)不遺漏地劃分為假設(shè)干類別。分類的思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的一樣點(diǎn)和不同點(diǎn),將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)

6、思想。分類以比較為根底,比較是分類的前提,分類是比較的結(jié)果。所謂數(shù)學(xué)分類討論方法,就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類,分別進(jìn)展討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探究性, 能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類思想可不象一般的數(shù)學(xué)知識那樣,通過幾節(jié)課的教學(xué)就可讓學(xué)生掌握應(yīng)用。而是要根據(jù)學(xué)生的年齡特征,學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)知程度,逐步浸透,螺旋上升,不斷的豐富自身的內(nèi)涵,從而到達(dá)利用數(shù)學(xué)分類討論方法來解決問題的目的。2、集合的思想:把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個整體,就是一個集合(簡稱集),其中每個事物叫做該集合的元素(簡稱元)。給定的集合,它的元素必須是確定

7、的,即任何一個事物是否屬于這個集合,是明確的。如學(xué)習(xí)成績好的同學(xué)不能構(gòu)成一個集合,因?yàn)闃?gòu)成它的元素是不確定的;而語文和數(shù)學(xué)的平均成績在90分及以上的同學(xué)就是一個集合。一個給定集合中的元素是互不一樣的,即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。只要兩個集合的元素完全一樣,就說這兩個集合相等。集合的表示法一般用列舉法和描繪法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來,并用花括號括起來表示集合的方法。描繪法就是在花括號內(nèi)寫出規(guī)定這個集合元素的特定性質(zhì)來表示集合的方法。列舉法的局限性在于當(dāng)集合的元素過多或者有無限多個時,很難把所有的元素一一列舉出來,這時描繪法便表達(dá)出了優(yōu)越性。此外,有時也可以用封閉的曲線(文恩圖)來直觀地

8、表示集合及集合間的關(guān)系,曲線的內(nèi)部表示集合的所有元素。3、數(shù)學(xué)形結(jié)合:數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和互相轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué),數(shù)和形之間是既對立又統(tǒng)一的關(guān)系,在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等,這里的形是指幾何圖形和函數(shù)圖象。數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡捷化,使得本來需要通過抽象思維解決的問題,有時借助形象思維就可以解決,有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)開展和優(yōu)化解決問題的方法。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微。這句話深化地提醒了數(shù)形之間的辯證關(guān)

9、系以及數(shù)形結(jié)合的重要性。4、變中不變的思想:變與不變,是具有辯證關(guān)系的范疇。當(dāng)指事物及其相關(guān)聯(lián)的因素,在不斷地變化著,但這些變化的趨勢和因素中,又同時存在不變的狀況,或者現(xiàn)象變,本質(zhì)不變;局部變,整體不變;暫時變,最終不變,等等。有些考慮和思想對象,往往是千變?nèi)f化,令人眼花繚亂的,但假設(shè)抓住其本質(zhì),就可以不變應(yīng)萬變,以靜制動,最終有效解決問題。顯然,變中抓不變的思想方法,有利于解決錯綜復(fù)雜的問題,能透過現(xiàn)象看本質(zhì),根據(jù)局部把握全局等等。這是一個很有哲學(xué)意義的方法。5、符號表示的思想:符號,一般說來就是某種事物的代號,它的意義是采用對應(yīng)的方式,把一個復(fù)雜的事物用簡便的形式表現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)符號是進(jìn)展

10、空間形式和數(shù)量關(guān)系表示、計(jì)算、推理的工具,是人們對于客觀事物運(yùn)動規(guī)律的最直觀、最簡明的表達(dá)方式,是交流與傳播數(shù)學(xué)思想的媒介。所謂符號化思想就是用一種符號代替原物,不用原物而用符號進(jìn)展表示、交流、運(yùn)算等活動的思想。數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的語言,數(shù)學(xué)世界是一個符號化的世界,數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)展表示、計(jì)算、推理和解決問題的工具,符號起到了非常重要的作用;因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號,才使得數(shù)學(xué)具有簡明、抽象、明晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn),同時也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和開展;國際通用的數(shù)學(xué)符號的使用,使數(shù)學(xué)成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法,具有普遍的意義。對稱,顧名思義,就是兩個事物(或同一事物的兩個方面)相對而又相稱.假設(shè)A、

11、B是具有對稱性的兩個事物(或同一事物的兩個方 面), 那么把A、B交換順序,其結(jié)果不變,這就是對稱原理.在數(shù)學(xué)問題中,經(jīng)常出如今某種意義下對稱的形或式,如幾何中的平行四邊形、正柱體、正錐體、圓錐曲線;代數(shù)中的一些不等式、方程;函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)及它們的圖象等等。充分利用好對稱原理,可使我們在解決這類問題時多一條有效的通道, 而且常能起到化繁為簡,出奇制勝的效果。7、對應(yīng)的思想:對應(yīng),比喻在一個系統(tǒng)中的某一項(xiàng)在性質(zhì)、作用或數(shù)量上等情況中,同另一系統(tǒng)中的某一項(xiàng)相當(dāng)。對應(yīng)思想,是人們對兩個集合因素之間的聯(lián)絡(luò)的一種思想方法,就是利用數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系來考慮數(shù)學(xué)問題。集合、函數(shù)、坐標(biāo)等問題

12、都以這一思想為根底。尋找數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系,也是解容許用題的一種重要的思維方式。對應(yīng)思想主要分類有:數(shù)形對應(yīng)、量率對應(yīng)、量與量的對應(yīng)、函數(shù)對應(yīng)。8、有限與無限的思想:有限與無限的思想就是將無限的問題化為有限來求解,將有限的問題化為無限來解決,利用已經(jīng)掌握的無限問題的結(jié)論來解決新的無限問題。9、歸納的思想:歸納法是通過對一些個別的、特殊的情況加以觀察、分析,進(jìn)而導(dǎo)出一個一般性結(jié)論的推理方法。歸納法是一種從特殊到一般的推理方法。歸納法的本質(zhì)特征是從到未知,從特殊性到一般,從個性到共性,從經(jīng)歷事實(shí)到事物內(nèi)在規(guī)律的飛躍的過程。10、演繹的思想:所謂演繹推理,就是從一般性的前提出發(fā),通過推導(dǎo)即演繹,得出

13、詳細(xì)陳述或個別結(jié)論的過程。11、公理化思想:簡單地說,公理就是大家公認(rèn)的、不證自明的道理,它是人們研究問題和交流觀點(diǎn)的共同根底。所謂公理化,就是指在建構(gòu)一門學(xué)科理論體系時,從盡可能少的原始概念(不加定義的概念)和一組公理出發(fā),遵循邏輯規(guī)那么,定義其他概念,演繹和推理其他命題,從而把門理論建成演繹系統(tǒng)的方法。在一個數(shù)學(xué)理論體系中,我們盡可能少地選取原始概念和不加證明的一組公理,以此為出發(fā)點(diǎn),利用純邏輯推理的規(guī)那么,把該理論體系建立成一個演繹系統(tǒng),這樣一種構(gòu)建理論體系的思想就是公理化思想。12、轉(zhuǎn)換化歸的思想:人們在面對數(shù)學(xué)問題,假設(shè)直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時,往往將需要解決的問題不斷

14、轉(zhuǎn)化形式,把它歸結(jié)為可以解決或比較容易解決的問題,最終使原問題得到解決,把這種思想方法稱為化歸(轉(zhuǎn)化)思想。從小學(xué)到中學(xué),數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)一個由易到難、從簡到繁的過程;然而,人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過程中,卻經(jīng)常通過把陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、把繁難的知識轉(zhuǎn)化為簡單的知識,從而逐步學(xué)會解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。因此,化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法,具有普遍的意義;同時,化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一,具有重要的意義和作用。13、聯(lián)想類比的思想:聯(lián)想是在學(xué)習(xí)的過程中由此及彼地溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)拓寬研究問題的思路。類比是通過比較來發(fā)現(xiàn)新舊知識的異同點(diǎn),從而有效地實(shí)現(xiàn)知識遷移、因此聯(lián)想

15、、類比好似一對孿生兄弟,往往同時作用于某一數(shù)學(xué)對象,是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法。14、逐步逼近的思想:根據(jù)問題的條件確定解決問題的大致范圍,然后通過不斷改進(jìn)方法或者排除不可能的情形,逐步縮小問題的解的存在范圍,從而最終獲得問題的結(jié)果。這種思想稱之為逐步逼近思想。15、代換的思想:等量代換的定義:用一種量(或一種量的一局部)來代替和它相等的另一種量(或另一種量的一局部)。等量代換是指一個量用與它相等的量去代替,它是數(shù)學(xué)中一種根本的思想方法,也是代數(shù)思想方法的根底,狹義的等量代換思想用等式的性質(zhì)來表達(dá)就是等式的傳遞性:假設(shè)a=b,b=c,那么 a=c。真正使用到的等量代換為:8704;f(a=ba

16、nd;f(a)rarr;f(b),其中f是合式公式廣義的等量代換舉例來說就是:假設(shè)李四是張三的同義詞,張三是人,那么李四是人。這個數(shù)學(xué)思想方法不僅有著廣泛的應(yīng)用,而且是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根底,是一個非常重要的知識點(diǎn),甚至到了大學(xué)都會使用。16、特殊與一般的思想:所謂特殊與一般的思想包括兩個方面:通過對某些個體的認(rèn)識與研究,逐漸積累對這類事物的理解,再逐漸形成對這類事物的總體認(rèn)識, 發(fā)現(xiàn)特點(diǎn),掌握規(guī)律,形成公式,由淺入深,由現(xiàn)象到本質(zhì),由局部到整體,從理論到理論,這種認(rèn)識事物的過程就是由特殊到一般的認(rèn)識過程;在理論指導(dǎo)下,用已有的規(guī)律解決這類事物中的新問題,這種認(rèn)識事物的過程就是由一般到特殊的

17、認(rèn)識過程。由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程,就是人們認(rèn)識世界的根本過程,這一過程在數(shù)學(xué)的認(rèn)識活動中有著重要的應(yīng)用。17、簡化的思想:簡化是一定范圍內(nèi)縮減對象(事物)的類型數(shù)目,使之在一定時間內(nèi)足以滿足一般需要的標(biāo)準(zhǔn)化形式。簡化一般是在事后進(jìn)展的,是在不改變對象質(zhì)的規(guī)定性,不降低對象功能的前提下,減少對象的多樣性、復(fù)雜性。18、量化的思想:量化思想方法在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的運(yùn)用成果是數(shù)(字母和式是數(shù)的代表),而在幾何、統(tǒng)計(jì)、概率中的運(yùn)用成果是量幾何量與統(tǒng)計(jì)量。量化就是數(shù)學(xué)的一個根本思想方法,數(shù)學(xué)不管研究哪個領(lǐng)域,都會貫徹這個戰(zhàn)略;而在不同領(lǐng)域,貫徹的詳細(xì)策略又會有所差異。例如:運(yùn)用量化思想方法

18、得出幾何量面積。首次研究面積是三年級下冊第九單元?長方形和正方形的面積?,教材是按如下順序展開的。第一步提出研究動因,74頁該單元第一句話:看看黑板的外表和課本的封面,說說哪一個面比較大,哪一個面比較小要研究和比較這一點(diǎn),需要給這一點(diǎn)即這個幾何屬性取個名字。第二步取名字即命名一個幾何量,故緊接著說:黑板外表的大小是黑板的面積,即物體外表的大小叫面積。第三步給這個幾何量賦值即使每個圖形外表的面積數(shù)值化。在量化程序中賦值是奠基的、最關(guān)鍵的一步,所以教材不吝用5頁篇幅來細(xì)致展開:74-78頁比較多組圖形的面積大小,黑板和課本、桌面和椅子面、手掌和樹葉、正方形和長方形、四個省在地圖上的圖形、四個不規(guī)那

19、么多邊形等等,各組比較標(biāo)準(zhǔn)不一、只管本組誰大誰小。但這些活動中暗藏一大轉(zhuǎn)折力圖確定一個統(tǒng)一、公用的比較標(biāo)準(zhǔn):75頁例題,比較等寬的正方形和長方形面積用了兩個方法,一是我用重疊的方法,二是 我用同一張紙分別去量這二就是轉(zhuǎn)折;76頁?想想做做?第3題,四個不規(guī)那么多邊形比較大小,因?yàn)槎籍嬙诜礁窦埳?于是算算它們分別占了多少格就行了格這個小正方形就成了統(tǒng)一、公用的比較標(biāo)準(zhǔn)。轉(zhuǎn)折的成果是規(guī)定面積單位,作為比較任何物體外外表積大小的共同標(biāo)準(zhǔn),即78頁中間那句話:為了準(zhǔn)確測量或計(jì)算面積的大小,要用同樣大小的正方形的面積作為面積單位。邊長是1厘米的正方形,面積是1平方厘米,以及第79頁一句話邊長是1米的正方

20、形,面積是1平方米。用面積單位給面積這個幾何量作了賦值,就能計(jì)算任何物體外表的面積,于是得出83頁長方形的面積=長times;寬和正方形的面積=邊長times;邊長。第四步規(guī)定面積這個幾何量本身的加法計(jì)算:面積可加,面積+面積=面積。教材第82頁探究長方形面積公式時已經(jīng)未加證明地應(yīng)用了這個可加性,在以后計(jì)量多面體外表積時也予以了應(yīng)用。第五步探究面積本身的其他運(yùn)算這一步看不到,為什么?因?yàn)槊婵煞指罴疵娣e可減,很顯然故不用Up嗦;面積的乘、除那么不允許,因?yàn)槊娣e與面積的積或商沒有幾何意義(長度不同,其和、差仍是長度如折線長與多邊形周長,積那么是面積)。量化程序的第六步導(dǎo)出算律無必要,因?yàn)橛?jì)算時處理好單位之后只剩下純數(shù)值計(jì)算,故數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域已得出的五條算律都可應(yīng)用。19、函數(shù)的思想:函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系,因變量隨著自變量的變化而變化,通過對這種變化的探究找出變量之間的對應(yīng)法那么,從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想表達(dá)了運(yùn)動變化的、普遍聯(lián)絡(luò)的觀點(diǎn)。20、方程