江蘇省南通市2025屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（南通一模）(含解析)

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省南通市2025屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（南通一模）第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?1≤x≤2}，B={x|lnx≥0}，則A∩B=(

)A.[?1,2] B.[1,2] C.(0,2] D.(0,1]2.已知向量a，b滿足a+2b=(3,1)，2a?3b=(?1,2)，則A.π6 B.π4 C.π33.某正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱與底面的夾角為60°，則該正四棱錐的體積為(

)A.463 B.8234.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+1，Sn，A.1 B.2 C.4 D.95.在某個時期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以p%的增長率呈指數(shù)增長.若增長為原來的54倍經(jīng)過了4天，則增長為原來的2倍需要經(jīng)過的天數(shù)約為(

)(參考數(shù)據(jù)：lgA.6 B.12 C.16 D.206.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4?x)，且f(x)在[?2,2]上單調(diào)遞增.設(shè)a=f(74)，b=f(72)A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a7.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為C的左支上一點(diǎn)，AA.2 B.22 C.3 8.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx?π6)(ω>0)，若f(x)在(0,π2)上有且只有2個零點(diǎn)，且對任意實(shí)數(shù)a，f(x)A.(73,3) B.(73,3]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是(

)A.若z2為實(shí)數(shù)，則z是實(shí)數(shù) B.若z2為虛數(shù)，則z是虛數(shù)

C.若z2=z1，則z110.口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地均相同，顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個球.從口袋內(nèi)無放回地依次抽取2個球，記“第一次抽到紅球”為事件A，“第二次抽到黃球”為事件B，則(

)A.P(A)=13 B.P(B|A)=12 C.A與B為互斥事件 D.11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)A.C1F⊥平面DD1E

B.向量A1E，BF，B1D1不共面

C.平面CEF第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)(2x?1)5=a0+13.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l的傾斜角為45°，且l過點(diǎn)F.若l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓被y軸截得的弦長為14.將1，2，3，4，5，6隨機(jī)排成一行，前3個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)a，后三個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)b.記m=|a?b|，則m的最小值為

，m小于100的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)某學(xué)校舉行運(yùn)動會，為了解學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別是否有關(guān)，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，得到如下數(shù)據(jù)：女男未參加跳繩比賽7590參加跳繩比賽2510(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)?(2)為了進(jìn)一步了解女生的平時運(yùn)動情況，利用分層抽樣的方法從這100人中抽取12人進(jìn)行研究.老師甲從這12人中隨機(jī)選取3人，求至少有1人參加跳繩比賽的概率．附：χ2=n(ad?bcP(0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小題15分)在△ABC中，已知tanA=43(1)求B;(2)若AD為∠BAC的平分線，△ABC的面積為14，求AD．17.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)證明：三棱柱ABC?A1(2)證明：A(3)設(shè)AB1?平面α，BC1/?/平面α，若直線BC118.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax的圖象與x軸的三個交點(diǎn)為A，O，B(O(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)?2ln1?x1+x有三個零點(diǎn)，求(3)若a≠?1，點(diǎn)P在y=f(x)的圖象上，且異于A，O，B，點(diǎn)Q滿足PA?QA=0，PB?19.(本小題17分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，且經(jīng)過點(diǎn)A(2,22).定義第n(n∈N?)次操作為：經(jīng)過(1)求C的方程;(2)若A1為C的左頂點(diǎn)，經(jīng)過3次操作后停止，求k的值(3)若k=?ba，A1是C在第一象限與A不重合的一點(diǎn)，證明：△答案和解析1.B

【解析】解：集合B={x|lnx≥0}={x|x?1}，

又集合A={x|?1≤x≤2}，

∴A∩B={x|1≤x≤2}．

故選：B．2.B

【解析】解：設(shè)a=x1,y1，b=x2,y2，

因?yàn)閍+2b=(3,1)，則cosa,b=a所以?a故選：B．3.A

【解析】解：由題意，棱錐的高為2×tan60°=6，

則該正四棱錐的體積為4.C

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

因?yàn)镾n+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，

則2Sn=Sn+1+Sn+2，

若q=1，則2na1=n+1a15.B

【解析】解：設(shè)藍(lán)藻每天增長率為p%，則經(jīng)過t天后藍(lán)藻數(shù)量為初始數(shù)量的(1+p100)t倍，

已知經(jīng)過4天增長為原來的54倍，則有(1+p100)4=54，求解得p=100(454?1)，

設(shè)增長為原來的2倍需要經(jīng)過x天，則有(1+p6.D

【解析】解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x)=f(4?x)，

∴fx+4=f?x=?fx，

∴fx+8=?fx+4=fx，

∴函數(shù)f(x)為周期為8的周期函數(shù)，

∴a=f(74)，b=f(72)=f(4?72)=f(12)7.C

【解析】解：由題意，在△AF1F2中，|AF2|=|F1F2|=2c，|AF1|=2c?2a，

tan∠AF1F2=8.D

【解析】解：由題意，當(dāng)x∈(0,π2)時，ωx?π6∈(?π6,π2ω?π6)，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ωx?π6)(ω>0)，若f(x)在(0,π2)上有且只有2個零點(diǎn)，

則，解得73<ω≤133．

又對任意實(shí)數(shù)a，f(x)在(a,a+9.BC

【解析】解：對于A，z2=?1為實(shí)數(shù)時，z=±i為虛數(shù)，故A錯誤；

對于B，設(shè)z=a+bi，(a,b∈R)，，因?yàn)閦所以2ab≠0，所以a≠0且b≠0，因此z是虛數(shù)，故B正確；

對于C，設(shè)z1=a+bi，(a,b∈R)，則z2=z1=a?bi，

z1z2=(a+bi)(a?bi)=a2+b2是實(shí)數(shù)，故C正確；

對于10.AB

【解析】解：由題意，P(A)=13，A正確；

在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為12A,B可同時發(fā)生，即“即第一次取紅球，第二次取黃球”，A,B

不互斥，C錯誤；∵P(B)=23×12+13×0=13，P(AB)=1311.AC

【解析】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,0,2)，A1(2,0,2)，

B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，

對于A，C1F=(1,?2,0)，DE=(2,1,0)，DD1=(0,0,2)，

所以C1F·DE=0，C1F·DD1=0，所以C1F⊥DE，C1F⊥DD1，

又DE∩DD1=D，DE、DD1?平面DD1E，所以C1F⊥平面DD1E，故A正確；

對于B，A1E=(0,1,?2)，BF=(?1,?2,2)，B1D1=(?2,?2,0)，

假設(shè)向量A1E，BF，B1D1共面，則存在實(shí)數(shù)m、n，使得A1E=mBF+nB1D1，

所以0=?m?2n1=?2m?2n?2=2m，解得m=?1，n=12，所以向量A1E，BF，B1D1共面，故B錯誤；

對于C，設(shè)平面CEF的法向量為a=(x,y,z)，

又CE=(2,?1,0),CF=(1,?2,2)，

則CE·a=0CF·a=0，即2x?y=0x?2y+2z=0，取x=2，則y=4，z=3，所以a=(2,4,3)，

易知平面ABCD的一個法向量為b=(0,0,1)，

設(shè)平面CEF與平面ABCD的夾角為α，

所以cosα=|a·b||a|·|b|=31·29=329，所以tanα=1?cos2αcosα12.122

【解析】解：∵(2x?1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x413.2【解析】解：由題意，F(xiàn)(1,0)，直線l的方程為y=x?1，

由y=x?1y2=4x，得x2?6x+1=0，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，圓心D(x0,y0)，半徑為R，

則x0=?x1+x2214.47；1【解析】解：第一問：

將1，2，3，4，5，6隨機(jī)排成一行，前3個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)a，后三個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)b，

則最小的三位數(shù)為123，最大的三位數(shù)是654，

記m=|a?b|，

當(dāng)|a?b|的值取最小時，則a，b兩數(shù)接近，

取a=365，b=412，此時|a?b|的值取最小，即m=412?365=47，

即m的最小值為47;

第二問：

當(dāng)m小于100時，則a，b的百位數(shù)字差值只能是1，

即a的百位數(shù)字是1時，b的百位數(shù)字只能是2，這樣有5種情況，

則m小于100的概率為：5A44A615.解：(1)假設(shè)學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別無關(guān)，

則χ2=200(75×10?90×25)2100×100×165×35=60077≈7.792>6.635，

所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān);

(2)利用分層抽樣的方法從女生這100人中抽取12人，

則未參加跳繩比賽的有9人，參加跳繩比賽的有3人．

老師甲從這12人中隨機(jī)選取3人，

記“至少有1人參加跳繩比賽”為事件A，

16.解：(1)在△ABC中，

tanA=43>0，

所以0<A<π2，

因?yàn)?<B<π，

所以?π<A?B<π2，

因?yàn)閟in(A?B)=210>0，

所以0<A?B<π2，

所以cos(A?B)=1?sin2(A?B)=7210．

所以tan(A?B)=sin(A?B)cos(A?B)=17，

所以tanB=tan[A?(A?B)]=tanA?tan(A?B)1+tanA?tan(A?B)=43?171+43×17=1，

所以B=17.證明：(1)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

因?yàn)锽B1=CC1=AA1，∠ABB1=∠BCC1=∠CAA1=90°，

又因?yàn)锳B1=BC1=CA1，

所以△ABB1≌△BCC1≌△CAA1，

所以AB=BC=CA，

所以三棱柱ABC?A1B1C1為正三棱柱．

證明：(2)取AC，A1C1的中點(diǎn)D，D1，連接BD，DD1，

由(1)知三棱柱ABC?A1B1C1為正三棱柱.，

所以BD⊥AC，AA1/?/DD1，

因?yàn)锳A1⊥平面ABC，

所以DD1⊥平面ABC．

以{DB,DC,DD1}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

不妨設(shè)AC=2a，AA1=b，

則A(0,?a,0)，B(3a,0,0)，C(0,a,0)，A1(0,?a,b)，C1(0,a,b)，B1(3a,0,b)，

所以BC1=(?3a,a,b)，CA1=(0,?2a,b)18.解：(1)由已知得，f(x)=0有三個根，

令x3+ax=0，得x=0或x2+a=0，

所以x2+a=0有兩個不同的解，所以a<0．

令f′(x)=3x2+a>0，得x<??3a3或x>?3a3;令f′(x)<0，得??3a3<x<?3a3，

所以當(dāng)a<0時，f(x)在(?∞,??3a3)和(?3a3,+∞)上單調(diào)遞增;

在(??3a3,?3a3)上單調(diào)遞減．

(2)令1?x1+x>0，得?1<x<1．

令g(x)=x3+ax?2ln1?x1+x，

因?yàn)間(?x)+g(x)=?x3?ax?2ln1+x1?x+x3+ax?2ln1?x1+x=0，

所以g(x)為奇函數(shù)．

因?yàn)間(0)=0，所以0是g(x)的一個零點(diǎn)，

要使g(x)=f(x)?2ln1?x1+x有三個零點(diǎn)，只需要g(x)在(0,1)有且僅有一個零點(diǎn)．

g′(x)=3x2+a+41?x2在(0,1)上單調(diào)遞增，g′(0)=a+4．

當(dāng)a+4≥0，即a≥?4時，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

由g(0)=0，得g(x)在(0,1)上無零點(diǎn)，不合題意，舍去．

當(dāng)a+4<0，即a<?4時，g′(1+4a)>a+41?(1+4a)=0，

所以存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0．

當(dāng)0<x<x0時，g′(x)<0，所以g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x019.解：(1)因?yàn)闄E圓C:x2a2+y2b2=1(a>b