181921 211 合情推理

1、2.1 合情推理與演繹推理合情推理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解合情推理的含義(易混點(diǎn))2.理解歸納推理和類(lèi)比推理的含義，并能利用歸納和類(lèi)比推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理(重點(diǎn)、難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1歸納推理與類(lèi)比推理歸納推理類(lèi)比推理定義由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納)由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理(簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比)特征歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理思考：歸納推理和類(lèi)比推理的結(jié)論一定正確

2、嗎？提示歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確類(lèi)比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類(lèi)比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠2合情推理基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)利用合情推理得出的結(jié)論都是正確的()(2)類(lèi)比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用()(3)由個(gè)別到一般的推理為歸納推理()答案(1) ×(2)×(3)2魯班發(fā)明鋸子的思維過(guò)程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開(kāi)木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷?lèi)似的因此，它們?cè)谛螤钌弦矐?yīng)該類(lèi)似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的該過(guò)程體現(xiàn)了()A歸納推理B類(lèi)比

3、推理C沒(méi)有推理 D以上說(shuō)法都不對(duì)B推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程，上述過(guò)程是推理，由性質(zhì)類(lèi)比可知是類(lèi)比推理3等差數(shù)列an中有2anan1an1(n2，且nN*)，類(lèi)比以上結(jié)論，在等比數(shù)列bn中類(lèi)似的結(jié)論是_解析類(lèi)比等差數(shù)列，可以類(lèi)比出結(jié)論bbn1bn1(n2，且nN*)答案bbn1bn1(n2，且nN*)4如圖2­1­1所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1，nN*)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為an，則a6_，an_(n>1，nN*). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062121】圖2­1­1解析依

4、據(jù)圖形特點(diǎn)，可知第5個(gè)圖形中三角形各邊上各有6個(gè)點(diǎn)，因此a63×6315.由n2,3,4,5,6的圖形特點(diǎn)歸納得an3n3(n>1，nN*)答案153n3合 作 探 究·攻 重 難數(shù)、式中的歸納推理(1)觀察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)(2)已知：f(x)，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，則f3(x)的表達(dá)式為_(kāi)，猜想fn(x)(nN*)的表達(dá)式為_(kāi)(3)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a13，滿足Sn62an1(nN*)求a2，a3，a4的值；猜想an的表達(dá)式解析

5、(1)121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(12n)(1)n1.(2)f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn(x).答案(1)12223242(1)n1n2(1)n1(2)f3(x)fn(x)(3)因?yàn)閍13，且Sn62an1(nN*)，所以S162a2a13，解得a2，又S262a3a1a23，解得a3，又S362a4a1a2a33，解得a4.由知a13，a2，a

6、3，a4，猜想an(nN*)規(guī)律方法進(jìn)行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律1.已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律； (2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論.2.數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問(wèn)題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和.(1)通過(guò)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解；(3)運(yùn)用歸納推理寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式.跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列5,9,17,33，x，中的x等于_.

7、【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062122】解析因?yàn)?15, 819, 16117,32133猜測(cè)x64165.答案652觀察下列等式：22×1×2；2222×2×3；2222×3×4；2222×4×5；照此規(guī)律，2222_.解析通過(guò)觀察已給出等式的特點(diǎn)，可知等式右邊的是個(gè)固定數(shù)，后面第一個(gè)數(shù)是等式左邊最后一個(gè)數(shù)括號(hào)內(nèi)角度值分子中的系數(shù)的一半，后面第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為×n×(n1)，即n(n1)答案n(n1)幾何圖形中的歸納推理(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖2­

8、1­2的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n個(gè)圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062123】圖2­1­2(2)根據(jù)圖2­1­3中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為_(kāi)圖2­1­3解析(1)觀察圖案知，從第一個(gè)圖案起，每個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)組成首項(xiàng)為6，公差為5的等差數(shù)列，從而第n個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)為6(n1)×55n1.(2)圖形到中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29，因?yàn)?223,5233,13243,29253，因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為293509.答案(1)5n1(2)50

9、9規(guī)律方法歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略通過(guò)一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問(wèn)題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理解答該類(lèi)問(wèn)題的一般策略是：跟蹤訓(xùn)練3如圖2­1­4，由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個(gè)圖形中由n個(gè)正方形組成：圖2­1­4通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)：第5個(gè)圖形中，火柴棒有_根；第n個(gè)圖形中，火柴棒有_根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062124】解析數(shù)一數(shù)可知各圖形中火柴的根數(shù)依次為：4,7,10,13，可見(jiàn)后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多3根火柴，它們構(gòu)成等差數(shù)列，故第五個(gè)圖形中有火柴棒16根，第n個(gè)圖形中有火柴棒(3n1)根答案1

10、63n1類(lèi)比推理及其應(yīng)用探究問(wèn)題三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線所圍成的圖形通過(guò)類(lèi)比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，完成下列探究點(diǎn)：1在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個(gè)面的面積之間有什么關(guān)系？提示：四面體中的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積2三角形的面積等于底邊與高乘積的，那么在四面體中，如何表示四面體的體積？提

11、示：四面體的體積等于底面積與高的積的.(1)在等差數(shù)列an中，對(duì)任意的正整數(shù)n，有an.類(lèi)比這一性質(zhì)，在正項(xiàng)等比數(shù)列bn中，有_(2)在平面幾何里有射影定理：設(shè)ABC的兩邊ABAC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2BD·BC.拓展到空間，在四面體ABCD中，DA平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類(lèi)比平面三角形射影定理，寫(xiě)出對(duì)ABC、BOC、BDC三者面積之間關(guān)系，并給予必要證明思路探究(1)類(lèi)比等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)求解(2)將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類(lèi)比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類(lèi)比到ABC在底面的

12、射影OBC及底面BCD的面積可得SSOBC·SDBC.解析(1)由a1a2a2n1類(lèi)比成b1·b2·b3b2n1，除以n，即商類(lèi)比成開(kāi)n次方，即在正項(xiàng)等比數(shù)列bn中，有bn.答案bn(2)ABC、BOC、BDC三者面積之間關(guān)系為SSOBC·SDBC.證明如下：如圖，設(shè)直線OD與BC相交于點(diǎn)E，AD平面ABE，ADAE，ADBC，又AO平面BCD，AODE，AOBC.ADAOA，BC平面AED，BCAE，BCDE.SABCBC·AE，SBOCBC·OE, SBCDBC·DE.在RtADE中，由射影定理知AE2OE·D

13、E，SSBOC·SBCD.母題探究：1.(變條件)把本例(2)中的射影定理的表示換為“ab·cos Cc·cos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊”類(lèi)比上述定理，寫(xiě)出對(duì)空間四面體(如圖2­1­5所示)性質(zhì)的猜想圖2­1­5解如圖所示，在四面體PABC中，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小我們猜想射影定理類(lèi)比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為SS1·cos S2·cos S3·cos .2(

14、變條件)把本例(2)條件換為“在RtABC中，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，有成立”那么在四面體A­BCD中，類(lèi)比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明猜想是否正確及理由解猜想：類(lèi)比ABAC，ADBC，可以猜想四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE平面BCD.則.下面證明上述猜想成立如圖所示，連接BE，并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正確規(guī)律方法類(lèi)比推理的一般步驟當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類(lèi)比三角形的面

15、積公式S，可知扇形面積公式為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062125】ABC D無(wú)法確定C扇形的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對(duì)應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公式S.2觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫(huà)上合適的圖形為()圖2­1­6A. B.C. D.A觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果. 3等差數(shù)列an中，an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若bn>0，q>1，寫(xiě)出b5，b7，b4，b8的一個(gè)不等關(guān)系_解析將乘積與和對(duì)應(yīng)，再注意下標(biāo)的對(duì)應(yīng)，有b4b8>b5b7.答案b4b8>b5b74觀察下列等式：1323(12)2,132333(123)2,13233343(1234)2，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062126】解析由前三個(gè)式子可得出如下規(guī)律：每個(gè)式子等號(hào)的左邊是從1開(kāi)始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個(gè)數(shù)依次加1，等號(hào)的