181922 221　雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握雙曲線的定義，會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問題(重點(diǎn))2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn))3.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1雙曲線的定義2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系式c2a2b2思考1：雙曲線中a，b，c的關(guān)系如何？與橢圓中a，b，c的關(guān)系有何不同？提示雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形

2、條件，這里b2c2a2，即c2a2b2，其中c>a，c>b，a與b的大小關(guān)系不確定；而在橢圓中b2a2c2，即a2b2c2，其中a>b>0，a>c，c與b的大小關(guān)系不確定思考2：如何確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型？提示焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，若x2的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上，若y2的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程1中，a>0，b>0且ab.()(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是a>b.(

3、)提示(1)×差的絕對(duì)值是常數(shù)，且02a|F1F2|才是雙曲線(2)×a與b大小關(guān)系不定，a和b相等時(shí)叫等軸雙曲線(3)×2雙曲線1的焦距為()A3 B4C3 D4D解a210，b22，c2a2b212，c2，2c4，故選D.3已知雙曲線的a5，c7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122127】1或1b2c2a2492524，雙曲線方程為1或1.合 作 探 究·攻 重 難雙曲線定義的應(yīng)用探究問題1如何理解雙曲線定義中的“大于零且小于|F1F2|”？提示：若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1，F(xiàn)2為

4、端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))；若將“小于|F1F2|改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；若常數(shù)為零，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線2若|MF1|MF2|F1F2|，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？提示：(1)定義中距離的差要加絕對(duì)值，否則只為雙曲線的一支設(shè)F1，F(xiàn)2表示雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|MF1|MF2|2a，則點(diǎn)M在右支上；若|MF2|MF1|2a，則點(diǎn)M在左支上(2)雙曲線定義的雙向運(yùn)用：若|MF1|MF2|2a(0<2a<|F1F2|)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線；若動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線上，則|MF1|MF2|2a.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)，若

5、P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|32.試求F1PF2的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122128】思路探究根據(jù)雙曲線的定義及余弦定理求出F1PF2即可解由1得a3，b4，c5.由雙曲線定義及P是雙曲線左支上的點(diǎn)得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|36，又|PF1|·|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100，由余弦定理得cosF1PF20，F(xiàn)1PF290°，S|PF1|·|PF2|16.母題探究：1.(變換條件)若本例中雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不變，且其上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為10，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離

6、解由1得a3，b4，c5，由雙曲線定義得|PF1|PF2|6，即|PF1|PF2|±6，|PF2|10±6，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為4或16.2(變換條件)若把本例條件“|PF1|·|PF2|32”換成“|PF1|PF2|25”，其他條件不變，試求F1PF2的面積解由1得a3，b4，c5，由|PF1|PF2|25，可設(shè)|PF1|2k，|PF2|5k.由|PF2|PF1|6可得k2，|PF1|4，|PF2|10，由余弦定理得cosF1PF2，sinF1PF2，S|PF1|·|PF2|·sinF1PF2×4×10×8.規(guī)

7、律方法雙曲線上的點(diǎn)P與其兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2連接而成的三角形PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2，因|F1F2|2c，所以有(1)定義：|r1r2|2a.(2)余弦公式：4c2rr2r1r2cos .(3)面積公式：Sr1r2sin .一般地，在PF1F2中，通過以上三個(gè)等式，所求問題就會(huì)順利解決.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a4，經(jīng)過點(diǎn)A；(2)經(jīng)過點(diǎn)(3,0)，(6，3)思路探究先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組求解解(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1(b0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2×0，不符合題

8、意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為1(b0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b29，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn<0)，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,0)，(6，3)，解得所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(2)待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的四個(gè)步驟定位置：根據(jù)條件確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，還是兩種都有可能設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)其方程為1或1(a0，b0)，焦點(diǎn)位置不定時(shí)，亦可設(shè)為mx2ny21(mn0)尋關(guān)系：根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，c(m，n)的方程組得方程：解方程組，將a，b(m，n)代入所設(shè)方程即可得(求)標(biāo)準(zhǔn)方程

9、提醒：求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，選取合適的形式跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)c，經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，焦點(diǎn)在x軸上；(2)與橢圓1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)(3，)解(1)設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，c，b2c2a26a2.由題意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(2，0)依題意，則所求雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，可以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則a2b220.又雙曲線過點(diǎn)(3，)，1.a2202，b22.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.與雙曲線有關(guān)的軌跡問題 如圖2­2­1，在ABC中

10、，已知|AB|4，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin Asin C2sin B，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122129】圖2­2­1解以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2，0)，B(2，0). 由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R為ABC的外接圓半徑)2sin Asin C2sin B，2ac2b，即ba，從而有|CA|CB|AB|2|AB|.由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))a，c2，b2c2a26，即所求軌跡方程為1(x)規(guī)律方法求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌

11、跡問題，常見的方法有兩種：(1)列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得到方程；(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系，雙曲線的定義，得出對(duì)應(yīng)的方程.求解雙曲線的軌跡問題時(shí)要特別注意：(1)雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；(2)檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.跟蹤訓(xùn)練3如圖2­2­2所示，已知定圓F1：(x5)2y21，定圓F2：(x5)2y242，動(dòng)圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程圖2­2­2解圓F1：(x5)2y21，圓心F1(5,0)，半徑r11；圓F2：(x5)2y242，圓心F2(5,0)，半徑r24.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有|MF1|R1，|MF2|R4，|

12、MF2|MF1|310|F1F2|.點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a，c5，于是b2c2a2.動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為1.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1若點(diǎn)M在雙曲線1上，雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且|MF1|3|MF2|，則|MF2|等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122130】A2 B4C8 D12B雙曲線中a216，a4,2a8，由雙曲線定義知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4.2“ab<0”是“方程ax2by2c表示雙曲線”的()A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件 D既不充分也不必要條件A當(dāng)方程表示雙

13、曲線時(shí)，一定有ab<0，反之，當(dāng)ab<0時(shí)，若c0，則方程不表示雙曲線3若方程3表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則m的取值范圍是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：73122131】A(1,2)B(2，) C(，2)D(2,2)C由題意，方程可化為3，解得：m2.4已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x3)2y29外切且與圓C2：(x3)2y21內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是_1(x2)設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r.因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C1外切且與圓C2內(nèi)切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1.相減得|MC1|MC2|4.又因?yàn)镃1(3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|64，所以點(diǎn)M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且有a2，c3