高一抽象函數(shù)模型化(定稿)教

1、高一數(shù)學培優(yōu)抽象函數(shù)（教）抽象函數(shù)常見題型解法一、定義域問題例1. 已知函數(shù)的定義域是1，2，求f(x)的定義域。解：的定義域是1，2，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是1，4例2. 已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是 例3. 函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是_。 分析：因為相當于中的x，所以，解得或。二、求值問題例3. 已知定義域為的函數(shù)f(x)，同時滿足下列條件：；，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因為，所以又取得2. f(x)的定義域為，對任意正實數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)

2、=2 ，則 （ ） 例4.定義在的函數(shù)滿足，則等于（ ） A2 B3 C6 D9法二：所以法三： 二. 求參數(shù)范圍 這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中，關鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內的增減性，去掉“”符號，轉化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內遞減，求滿足的實數(shù)的取值范圍。解：由得，為函數(shù)，又在（-1，1）內遞減，變式：（較難） 已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。 解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)， 由得。 （1）當時， ，不等式不成立。 （2）當時， （3）當時， 綜上所

3、述，所求的取值范圍是。五、單調性問題例. 設f(x)定義于實數(shù)集上，當時，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當時，；當時，而所以又當時，所以對任意，恒有設，則所以所以在R上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯(lián)。變式：.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有，且當x>0時，0<f(x)<1。（1）判斷f(x)的單調性；解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當時，所以當時而所以又當x=

4、0時，所以，綜上可知，對于任意，均有。設，則所以所以在R上為減函數(shù)。評析：（1）要討論函數(shù)的單調性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)>0的結論。這是解題的關鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。六、奇偶性問題根據(jù)已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求與的關系。例. 已知的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。 分析：在中，令， 得 令，得 于是故是偶函數(shù)。變式. 已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。

5、 所謂抽象函數(shù)，是指沒有明確給出函數(shù)表達式，只給出它具有的某些特征或性質，并用一種符號表示的函數(shù)。抽象來源于具體。抽象函數(shù)是由特殊的、具體的函數(shù)抽象而得到的，高中大量的抽象函數(shù)都是以中學階所學的基本函數(shù)為背景抽象而得，解題時，若能從研究抽象函數(shù)的“模型”入手，根據(jù)題設中抽象函數(shù)的性質，通過類比、猜想出它可能為某種基本函數(shù)，變抽象為具體，變陌生為熟知，?？刹聹y出抽象函數(shù)所蘊含的重要性質，并以此作為解題的突破口，必能為我們的解題提供思路和方法。常見的抽象函數(shù)對應的初等函數(shù)模型如下:初等函數(shù)模型抽象函數(shù)性質正比例函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)（a0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指數(shù)函數(shù) 對數(shù)

6、函數(shù) 冪函數(shù) （備注：解小題可用具體函數(shù)，解大題得賦值（要求書寫格式），只能通過賦值解決問題。）一以正比例函數(shù)為模型的抽象函數(shù)正比例函數(shù)是滿足函數(shù)恒等式的最常見的模型。若我們能從這個具體的模型出發(fā)，根據(jù)解題目標展開聯(lián)想，給解題帶來了思路。例1、已知函數(shù)對任意實數(shù)，均有，且當時，求在區(qū)間2，1上的值域。分析：由題設可知，函數(shù)是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)的值域，關鍵在于研究它的單調性。解：設，當，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域為4，2。 例

7、2 已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且當時，求在上的值域。 解：設 且， 則， 由條件當時， 又 為增函數(shù)， 令，則 又令 得 故為奇函數(shù)， ， 上的值域為10、已知函數(shù)對任意非零實數(shù)都有，且時,。 （1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)在上的值域；（3）解不等式。10、解：（1）令 再令令，得 為偶函數(shù)（2）又且在上是單調遞增函數(shù) 解得故不等式的解集為二、以一次函數(shù)為模型的抽象函數(shù)一次函數(shù)y=ax+b是滿足函數(shù)恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常見的模型。例5 已知函數(shù)對任意有，當時，求不等式的解集。分析：由題設條件可猜測：f（x）是yx2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調增函數(shù)，如果這一猜想

8、正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。 解：設且 則 ， 即， 故為增函數(shù)， 又 因此不等式的解集為。以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)由指數(shù)函數(shù)的性質知是滿足恒等式的重要函數(shù)之一。例5、設函數(shù)的定義域為，且滿足對任意，有，且當時，。（1） 求的值；（2）判斷的單調性并證明的你的結論；解：（1）令（2）任取 令令（或）函數(shù)在上單調遞減。變式：已知函數(shù)對于一切實數(shù)、滿足(0)0，且當<0時，1 （1） 當0時，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調性分析：由可知f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想解：（1）對于一切、R，且(0)0令=0，則(0)=1，現(xiàn)設0，則-0，f(-)

9、 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）設<，、R，則<0，()1且1， f(x)在R上為單調減函數(shù)六、以對數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)由對數(shù)函數(shù)的性質知是滿足恒等式的重要函數(shù)之一。例、已知函數(shù)定義域為(0,+)且單調遞增，滿足，(4)=1（1） 證明：(1)=0； (2)求(16)； （3）若+ (-3)1，求的范圍；分析：由 可知f（x）是對數(shù)函數(shù) 的抽象函數(shù)，解:（1）令=1，=4，則(4)=(1×4)=(1)+(4)(1)=0（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2(3)+(3)=(3)1=(4)在（0，+）上單調遞增 （3，4變式：設f（x）是定

10、義在（0，）上的單調增函數(shù)，滿足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍。分析：由題設可猜測f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），從而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函數(shù)，故，解之得：8x9。三、以冪函數(shù)為模型的抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。由冪函數(shù)的運算法則知是我們最熟悉的滿足恒等式的函數(shù)。例3、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）f（x）·f（y），且f（1）1，f（27）9，當時，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在0，）上的單調性

11、，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設可知f（x）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在0，）上是增函數(shù)。解：（1）令y1，則f（x）f（x）·f（1）， f（1）1，f（x）f（x）， f（x）為偶函數(shù)。（2）設，時，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函數(shù)。（3）f（27）9，又，又，故。抽象函數(shù)練習題第一組 1、 若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_ 2、 若，且，則_ 3、 定義上的函數(shù)，且，則_ 4、 定義在區(qū)間上的減函數(shù)滿足：若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_ 5、 已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，對正實數(shù)，都有：成立則不等式的解集是_ 6、

12、 已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，已知對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_ 7、 已知定義在上的單調函數(shù)，存在，使得，總有恒成立，則_第二組 8、 函數(shù)對于有意義，且滿足條件，是減函數(shù) 證明：； 若成立，求的取值范圍 9、 已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有且當，又 判斷的奇偶性； 求在區(qū)間上的最大值； 解關于的不等式 10、 定義在上的函數(shù)滿足： ； 當時，； ， 求證：； 求證：對任意的，恒有； 證明：是上的增函數(shù)； 若，求的取值范圍 11、 已知函數(shù)的定義域為滿足： 任意實數(shù)都有； 當時， 證明：，且時； 證明：在上單調遞減；參考答案1. 【答案】2. 【答案】3. 【答案】4. 【答案】5. 【答案】6. 【答案】7. 【答案】8. 【答案】 9.【答案】 奇函數(shù)； ； 當時，；當時，；當時，；當時，；當時，10. 【答案】 11.【答案】 練習：1、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對都有成立，若，則=（ B ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0提示：先令2. f(x)的定義域為，對任意正實數(shù)x